专题06 填空小压轴18题（旋转、翻折、新定义25题）（解析版）

专题06填空小压轴18题（旋转、翻折、新定义25题）（解析版）题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含旋转、翻折、新定义等18题常考类型题。一、填空题1．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为.

【答案】【分析】设与交点为，过作交于，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，由翻折变换的性质得出：，，同理由三角形中位线定理得出，设，则，，得出，，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可得出结果．【详解】解：设与交点为，过作交于，如图所示：

为的中点，为的中点，为的中位线，，由翻折变换的性质得：，，同理：是的中位线，，设，则，，，，，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出，是解决问题的关键．2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）在中，，，，点，分别在边、上，且，将沿直线翻折，翻折后点落在点处，如果，那么.【答案】/0.5【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质等，延长交于点D，先解，求出，，由折叠的性质可得，，设，则，，由推出，再解和求出x的值，进而即可求解．【详解】解：如图，延长交于点D，中，，，，，，，由折叠的性质可得，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．3．（2024上·上海长宁·九年级统考期末）如图，在矩形中，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是．【答案】【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围．【详解】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图：由折叠的性质知，，，又矩形中，，四边形是正方形，，；当点的对应点恰好落在边上时，如图，由折叠的性质知，，又矩形中，，，，又，，，即，，，线段的取值范围是．故答案为：．4．（2024上·上海浦东新·九年级统考期末）在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为．【答案】/0.75【分析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案．【详解】解：延长、交于点，四边形是菱形，，，，，由折叠得，，，，，，，，，在和中，，，，点为边的中点，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，的值为．故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．5．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于．【答案】或【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”，则∴∴∴；当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线，作于E，则，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得．综上，的长等于或．故答案为：或．【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．6．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么．【答案】【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，证明，得到，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∴，，∴，设，则：，∴，在中，，即：，解得：或（不合题意，舍去）；∴．故答案为：．【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．7．（2023·上海静安·统考二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是．【答案】【分析】根据点在直线上，可求得点的“关联点”为，根据点与圆的位置关系可得，根据勾股定理即可得答案．【详解】解：∵点A在直线上，∴，∴，，∴点的“关联点”为，当时，，此时点在上，整理得，解得：，∵点在的内部，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内，；点在圆上，，点在圆外，，正确得出点坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键．8．（2023·上海长宁·统考二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为．（参考数据：）【答案】【分析】由，四边形为平行四边形，折叠的性质可得是等腰三角形，，设，则，由三角形的内角和定理解得，由外角性质可证明为等腰三角形，继而得到，解得，分别过点作，利用余弦定理分别解得的长，最后求得平行四边形的周长．【详解】解：，四边形为平行四边形，翻折是等腰三角形设，则在中，由三角形内角和定理可得分别过点作在中，在中，平行四边形的周长为故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、图形的翻折变换等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在中，，点D是边的中点，点M在边上，将沿所在的直线翻折，点A落在点E处，如果，那么．【答案】【分析】画出图形，过点D作的垂线段，交于点F，过点C作AB的垂线段，交于点G，证明为等腰三角形，，即可解答．【详解】解：如图，过点D作的垂线段，交于点F，过点C作的垂线段，交于点G，，，点D是边的中点，，沿所在的直线翻折，点A落在点E处，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，面积法，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，画出图形并且作出正确的辅助线是解题的关键．10．（2023·上海普陀·统考二模）在中，，，，为中点（如图），为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，如果，那么．

【答案】或6【分析】当点在线段上时，根据已知条件得出三点共线，在中，勾股定理求得的长，当在的延长线上时，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图所示，当点在线段上时，∵将沿着翻折得到，，∴，，∴三点共线，设，则，，∵，为中点，∴，∴，在中，，∴，解得：；

当在的延长线上时，如图所示，∵，∴∴，又∵，，∴，解得：，故答案为：或6．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分论讨论是解题的关键．11．（2023·上海杨浦·统考三模）如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长．

【答案】【分析】由旋转变换易证，，，，由，得；设，由三角函数得，；在中，运用勾股定理求解得，所以．【详解】如图，由旋转知，，，，为等边三角形，∴，，，

∴，∵∴设，则，中，∴，解得（负值舍去），故答案为：【点睛】本题主要考查旋转变换、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及特殊角三角函数；能够灵活运用相关知识导出线段间的数量关系是解题的关键．12．（2023·上海闵行·校联考模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则．【答案】10【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．【详解】解：，（为正整数），，，，，则，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．13．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，在中，，，点在边上，且，将绕着点逆时针旋转，点落在的一条边上的点处，那么旋转角的度数是．

【答案】或【分析】分类讨论：当点在上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点在上，根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得．【详解】当点在上，如图：

∵，∴，∴，当点在上，如图：

∵，∴，∴，故答案为：或【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．14．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是．【答案】【分析】根据已知，作出图形，求出AD、CD、AE．利用相似三角形的性质求出，即可利用EC＝B′C﹣B′E求解．【详解】解：根据已知，作出的图形∵△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB的中线．∴AD＝CD＝DB＝AB＝3，∴∠DAC＝∠ACD，根据旋转性质：∠B′AE＝∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴，∵=3，∴，∴，∴B′C＝8，B′E＝，∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣＝，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．15．（2023·上海静安·校考一模）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标．【答案】【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可．【详解】∴∴解得：故答案为：【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎．16．（2024上·上海松江·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接、，若，则．【答案】【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，解答该题的关键是掌握以上知识点；过A作，设证明，根据相似三角形的性质得出，再运用勾股定理列方程解答即可；【详解】将边绕点A逆时针旋转，如图所示，过A作，则，设，，，，，，，在中，，（负值舍去），故答案为：．17．（2022上·上海浦东新·九年级上海市建平实验中学期末）如图，中，，，，点在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，若是等腰三角形，则的长是．

【答案】或【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，若是等腰三角形，则，勾股定理求出，再证明，求出，根据，即可求出；当点在边之间上动，且点在线段的延长线上时，同理即可求解．．【详解】解：∵在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，

在中，，根据翻折的性质，可得：，当点在边之间上动，且点在线段上时，故，若是等腰三角形，则，根据等腰三角形的三线合一的性质知，点为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，过作的垂线，交于，

在中，，根据翻折的性质，可得：，当点在边之间上动，且点在线段的延长线上时，故，若是等腰三角形，则，根据等腰三角形的三线合一的性质知，点为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，故答案为：或．【点睛】此题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．18．（2023上·上海杨浦·九年级期末）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则．

【答案】【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于，

∵平分交于点，∴,∴∴∵折叠，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，则，∴∴，，∵设，，则，则，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，则∴故答案为：．【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是．【答案】或【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，交于点O，，，∵四边形是矩形，.∴，，，根据折叠的性质得，，，设，则，，，，，，，在中，，，即∠BDE的正切值是；如图，交于点O，，，同理得，，，，，在中，，，，，，，即的正切值是；综上，的正切值是或，故答案为：或．20．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段．【答案】【分析】根据勾股定理求得，根据旋转的性质得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】在Rt中，，，，点、分别是边、的中点，∴,，如图所示，点落在线段上，设旋转角为，∴，旋转，∴，∵，∴，∴，∵，．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，，连接DE，将沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果，那么CG的长是．

【答案】/【分析】延长交于点，根据已知得出，证明，求得，根据折叠的性质以及平行线的性质得出，在中，，进而得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点，

∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，

∴，∴，∵折叠，∴，，，则，又∵，∴∴，∴∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的性质是解题的关键．22．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是．

【答案】2【分析】过点作于点M，由折叠得再证明从而证明设，则求出再证明得，由勾股定理求出，进一步可求出的正切值．【详解】解：∵四边形是正方形，∴过点作于点M，

∵∴∴由折叠得，∴∴∵∴∴∴设，则在中，由勾股定理得，∵∴又∴∴∴，在中，在中，∴，故答案为2【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及求正切值等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．23．（2024·上海普陀·统考一模）如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是．【答案】【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理；根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得的最小值与最大值