专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）（解析版）

专题02相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4）共边模型条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；例1．（2023·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当时，．

【答案】【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2023·成都市·九年级专题练习）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．例6．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可；（2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可；（3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD=即可．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴，又∵，∴∽，∴．（2）证明：如图2，∵，∴，AD=BC，∵，，，∴，∴，，∴，∵∠EAC=∠CAB，∴∽，∴，即，∴．∴；（3）解：如图3，连接OA交于点，连接，∵，，∴AC=2AE，∴，，∴，∵∠BAC=∠EAB，∴∽，∴，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABD=∠ADB，∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径，∴，BF=DF，∵，，∴BF=DF=，在Rt△OBF中，根据勾股定理OF=，∴，∴，∵，∴，，∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=，∴．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴；（3）过点作交的延长线于点，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．课后专项训练1．（2023秋·广东佛山·九年级校考期中）如图，为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】利用相似三角形的判定逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、，，故A能判定，不符合题意；B、，，故B能判定，不符合题意；C、，，，，故C能判定，不符合题意；D、，但不一定等于，D不能判定，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键．2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】求证，，，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得中，，中，，于是，从而可得出结论．【详解】解：∵，，∴∴∴，故A正确，不符合题意；∵，，∴又∴∴∴，故B正确，不符合题意；中，，中，，∴，故D正确，不符合题意．∵，∴∴∵，故C错误，符合题意；故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键．3．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，再利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：，，，，设，则，，与的面积比为，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．【详解】解：由题意得，，平分，∵在中，，，∴∵平分，∴，故A正确；∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正确；∵，∴，∴，设，则，∴，∴，解得，∴，∴，故C错误；过点E作于G，于H，

∵平分，，，∴∴，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；

②；

③四边形是菱形；

④其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形，∴，，∴，∴，∴平分；正确；②∵，，∴，∴，∵，∴，即，故②错误；③∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；正确；④∵，，∴，∴，∴，即，正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．6．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为．【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形中，，∵绕点逆时针旋转到，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．【答案】．【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．8．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为．

【答案】3【分析】首先证明，得，从而，即可得出答案．【详解】解：，，，，，的面积为9，，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．9．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∵将折叠，使边落在边上，∴，，∴，；故答案为：；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，整理，得：，解得：（负值已舍掉）；经检验是原分式方程的解．∴；拓展应用：如图，连接，延长至点，使，连接，

∵在菱形中，，，∴，∴，∴，∴，∴为黄金三角形，∴，∴．即菱形的较长的对角线的长为．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．11．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．12．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．13．（2023·广西梧州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：．【答案】见解析【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【详解】解：∵∠A=∠A，B=ACP，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2=AP•AB．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似．14．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．(1)求证：；(2)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)AE=9【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴，，，，∵，∴，∴．（2）∵，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．15．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．(1)说明．(2)，，求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似得比例，即可求出的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．【答案】（1）详见解析；（2）6．【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．