第五讲 二次函数压轴题型（专项练习）（解析版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第五讲二次函数压轴题型（解析版）【考点一】二次函数与线段最值问题。【方法点拨】一、平面内任意两点距离公式。若则或二、平面直角坐标系中构造相似。借助平面直角坐标系的直角特点，作平行线或垂线，构造出“A”“X”型相似或“一线三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比转化，列出数量关系求解。三、铅垂线法求最值。1.图形示例：图1图2CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽2.铅垂线最值一般解法为：一设（设出P点坐标并表示出D点）；二列（表示出PD长度）；三配（把PD的长度看做关于点P横坐标的二次函数，配方求最值）。【典型例题】（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．【答案】(1)，(2)当时，【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，可得，求解即可得点的坐标；（2）由两点坐标求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而得出结论；【详解】（1）解：由题意，将点、代入，可得，解得，∴，当时，可有，解得，，∴；（2）设直线的解析式为，将点、代入，可得，解得，∴，设点，，∴，∴当时，有；【对应练习1】如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为多少？【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得−4k+b=0b=4，解得k=1∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【对应练习2】如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+3经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y【解题思路】设出E的坐标，表示出M坐标，进而表示出EM，化成顶点式即可求得EM的最大值．【解答过程】解：∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴点E的坐标是（m，−38m2+34m+3），点M的坐标是（m∴EM=−38m2+34m+3﹣（−34m+3）=−38m2+32m=−38（∴当m＝2时，EM有最大值为32故答案为32【对应练习3】对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）。（1）求点B的坐标。（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A（﹣3，0）与点B关于直线x＝﹣1对称，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴9−3b+c=0∴解得：b=2c=−3∴y＝x2+2x﹣3，且点C的坐标为（0，﹣3）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，则−3m+n=0n=−3解得：m=−1n=−3∴y＝﹣x﹣3如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．则有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）∵﹣3≤−32≤0，∴当x=−32∴线段QD长度的最大值为94【考点二】二次函数与将军饮马模型（线段周长问题）。【方法点拨】将军饮马模型1.【两定一动模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小。作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A/、P、B三点共线的时候，PA/+PB=A/B，此时为最小值（两点之间线段最短）2.【一定两动之点点模型】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P/M+MN+NP//，当P/、M、N、P//共线时，△PMN周长最小。3.【两定两动之点点模型】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P/M+MN+NQ/，当P/、M、N、Q/共线时，四边形PMNQ的周长最小。4.【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P/，将折线段PM+MN转化为P/M+MN，即过点P/作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）。5.模型拓展：【将军过桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可，问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A/位置。问题化为求A/N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置。【典型例题1】（2021·四川眉山·统考三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；【答案】(1)y＝x2﹣4x+3(2)点P的坐标为（2，﹣1）【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，由已知易得△EPQ和△EFC是等腰直角三角形；设P（t，t2-4t+3），则Q（t，-t+3），利用已知条件得出用字母t表示PE+EF的关系式，再利用二次函数的性质求得符合条件的t值，结论可求；（1）解：由题意得：，解得：；∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；（2）解：过点P作PQ∥FC，交直线BC与点Q，设直线EF交x轴于点K，如图，由题意：F（0，m），K（-m，0），∴OF=OK=-m．∴∠OFP=∠OKF=45°．∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°．∴∠ECF=∠EFC=45°．∵PQ∥FC，∴△EPQ和△EFC都是等腰直角三角形．∴PE=PQ，EF=FC．∵FC=OF+OC，∴FC=3-m．∴EF=（3-m）．设直线BC的解析式为y=kx+m，∴，解得：．∴直线BC的解析式为：y=-x+3．设P（t，t2-4t+3），1＜t＜3，则Q（t，-t+3），∴PQ=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴PE=（-t2+3t）．∵抛物线y=x2-4x+3与直线y=x+m相交于点P，∴t2-4t+3=t+m，∴t2-5t=m-3．∴PE+EF=（-t2+3t）+（3-m）=-（t2-4t）=-（t-2）2+4．∵-＜0，∴当t=2时，PE+EF取得最大值为4．此时点P的坐标为（2，-1）；【典型例题2】（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周长最小值是2+2；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周长最小值是：2+2．（3）解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．【对应练习1】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．(1)求a、b、c的值．(2)点E在抛物线上，过点E作轴，交直线AC于点F，若点E由点A运动到点D的过程中，求线段EF的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D点坐标，最后再用待定系数法求出a、b、c；（2）设E，则F，则EF=，根据二次函数的性质求出最大值即可；（1）解：设直线AC为y=kx+b，则，解得∴直线AC的解析式为：∴，解得

∴D．∵抛物线为经过点A、B、D三点，∴，解得．（2）解：设E，则F，∴EF=，∵a=，∴EF有最大值，当x=时，EF的最大值为．【对应练习2】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；【答案】(1)(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），

由轴对称的性质可知CQ=EQ，∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，∴，∴，∴直线AE的解析式为，当时，，∴点Q的坐标为（1，-2）；【对应练习3】如图，抛物线y=53x2−203x+5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点【解题思路】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，理由：连接AC，由点的对称性知，MA＝MB，△MAC的周长＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC为最小，令y=53x2−203x+5＝0，解得x＝1或3，令故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x=1设直线BC的表达式为y＝kx+b，则0=3k+bb=5，解得k=−故直线BC的表达式为y=−53当x＝2时，y=−53x+5故点M的坐标为（2，53【考点三】二次函数与三角形面积最值问题。【方法点拨】三角形面积的常见求法。一、公式法。二、割补法。三、铅锤法：“铅垂高、水平宽”。1.图形示例：歪三角形（没有边与对称轴平行）图1图2S△ABC=S△ACD+S△BCDS△ABC=S△ACD－S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·AE－CD·BF=CD（AE+BF）=CD·BG=CD·BGCD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽，S△ABC=ah2.解题步骤：（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；（4）根据C、D坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【典型例题】（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（-2，-4）【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为：．（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵时，，，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，∴，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，，∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；【对应练习1】（2022春·四川泸州·九年级专题练习）如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．(1)求二次函数的解析式；(2)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.【答案】(1)(2)当，时，△BCN的面积最大，最大面积为【分析】（1）根据题中所给的解析式及A（1，0）和C（0，3）利用待定系数法求解析式即可；（2）平面直角坐标系中三角形面积问题，找平行于坐标轴的边为底，然后表示出面积即可得出结论．【详解】（1）解：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，3），，解得，二次函数的解析式为（2）解：设直线，把C（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为，设，∴，∴，∴，当时，最大，当时，，∴，当时，，∴综上所述，当，时，△BCN的面积最大，最大面积为．【对应练习2】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线与x轴交于点C，且(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使的面积最大？若存在求出的最大面积；若不存在，试说明理由．【答案】(1)，(2）存在，8（1）解：∵抛物线过，解得∴抛物线的解析式为∴抛物线与y轴的交点又∵直线过∴，∴∴直线的解析式为：（2）解：如图连接，过点P作平行于y轴，交直线于D，设点，则∴∴∵∴当时，的面积最大，最大面积为8．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与等腰三角形、三角形面积有关的问题．【对应练习3】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．【详解】（1）解：，，对称轴为，，解得：，抛物线解析式为：；（2）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，即，抛物线解析式为：，,即，设是第三象限内抛物线上的动点，则且，，开口向下，当时有最大值，面积的最大值为．【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．【考点四】二次函数与直角三角形存在问题。【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点P的坐标。【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为x==2，∴a=，即y=x2+2x+c，∵OA=1，A在抛物线上，则将A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，即抛物线的解析式为：y=x2+2x+.（2）由（1）知，抛物线对称轴为x=2，设P（2，m）△BCP为直角三角形在y=x2+2x+中，当y=0时，x=-1，x=5；当x=0时，y=，即B（5,0），C（0，），方法一：勾股定理分类讨论：①当BC2=BP2+PC2，即25+=32+m2+22+（m-）2解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②当BP2=BC2+PC2，即32+m2=25++22+（m-）2解得：m=，即P（2，），③当PC2=BC2+BP2即22+（m-）2=25++32+m2解得：m=-6，即P（2，-6），方法二：相似三角形分类讨论①当∠CPB=90°时，如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作BM⊥PN于M易证：△PNC∽△BMP∴即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如图，当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于H，同理可得：,即，解得：m=即P（2，）③当∠CBP=90°时，如图所示，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）方法三：三角函数分类讨论①当∠CPB=90°时，易知∠NCP=∠BPM，∴tan∠NCP=tan∠BPM即即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如图，当∠PCB=90°时，同理可得：tan∠PCH=tan∠CBO，即,即，解得：m=即P（2，）③当∠CBP=90°时，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）【对应练习1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设成抛物线解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论；（3）运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（﹣1，n），根据A（﹣3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出：AC2，CQ2，AQ2，由于△QAC为直角三角形，可以分三种情况：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可．【解答过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴9a−3b+c=0a+b+c=0解得：a=−1∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴S△ACP=12PE•（xC﹣xA）=12×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）=−32（m2﹣3m）=−∴当m=−32时，S△PAC最大（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1=3+172，n∴Q3（﹣1，3+172），Q4（﹣1，综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【对应练习2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，列方程组求出b、c的值即可；（2）先求BM所在直线的解析式，用含m的代数式表示点P的坐标及△PCD的面积，求出S关于m的函数关系式，用函数的性质判断并求出S的最值；（3）存在符合条件的点P，分三种情况根据点P的位置或勾股定理列方程求出m的值及点P的坐标．【解答过程】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得−9+3b+c=0c=3，解得b=2∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）S有最大值．如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得k+a=43k+a=0，解得k=−2∴y＝﹣2x+6，∵D（m，0），∴P（m，﹣2m+6）；由S△PCD=12PD•得S=12m（﹣2m+6）＝﹣m2+3∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，∴1≤m＜3，∴S不存在最小值；∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m−32）2∴当m=32时，S最大∴S的最大值为94（3）存在．若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2m+6＝3，解得m=3∴P（32若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝（32−3，m2∴P（32−3，若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝PC2，∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．综上所述，点P的坐标为（32，3）或（32−3【对应练习3】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．(1)求a、b、c的值．(2)点P、Q分别在线段AB、AD上，连接PQ、BQ，若点P由点A运动到点B的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)P或P（2，0）或P【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D点坐标，最后再用待定系数法求出a、b、c；（3）分①AP=PQ，∠PQB=90°，②PB=PQ，∠APQ=90°，③PQ=BP，∠PQA=90°，设PQ=a，分别表示出AP和BP，再根据AB=AP+BP=6，求出a的值，进而求出P点坐标．（1）解：设直线AC为y=kx+b，则，解得∴直线AC的解析式为：∴，解得

∴D．∵抛物线为经过点A、B、D三点，∴，解得．（2）解：①当AP=PQ，∠PQB=90°时，作QH⊥AB于H，如图，设QH=a，则AH=2a，设AP=PQ=x，则PH=2a-x，∵，∴，∴，∴PH=．∵QH⊥AB，PQ⊥BQ，∴∠QBP=∠PQH，∴tan∠QBP=tan∠PQH，∴，即∴BH=．∵AH+BH=AB=6，∴，∴，∵OP=AP-OA=∴P；②当PB=PQ，∠APQ=90°时，如图，设QP=a，则AP=2a，PB=a，∴AB=AP+PB=3a=6，∴a=2，∴P（2，0）；③当PQ=BP，∠PQA=90°时，如图，设PQ=a，则PB=a，∵tan∠QAP=，∴AQ=2a，，∴AB=，∴，∴OP=AP-OA=，∴P综上所述，P或P（2，0）或P．【考点五】二次函数与等腰三角形存在问题。【典型例题】如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式。（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【解题思路】（1）令直线y=−12x+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．【解答过程】解：（1）对直线y=−12x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，∴B（4，0），C（0，2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a=−1∴y=−12（x﹣4）（x+1）=−12x（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），∴对称轴为x=4−1∴D（32∵C（0，2），∴CD=2①如图1，当CD＝PD时，PD=5∴P1（32，52），P②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，∵CD＝CP3，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴P3H＝2，∴P3D＝4，∴P3（32综上所述：存在P1（32，52），P2（32，−52），P【对应练习1】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且点为；(1)求抛物线及直线的函数关系式；(2)点为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；(3)若点是轴上一点，且，请直接写出点的坐标．【答案】(1)，；(2)，，，；(3)或【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）先求出AF长，再根据AF为腰或底边分三种情况进行讨论，即可解答；（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题．(1)抛物线与轴交于、两点，设抛物线的解析式为，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为，直线经过、，设直线的解析式为，则，解得，，直线的解析式为；(2)∵抛物线，∴顶点坐标，当点A为顶点，AF为腰时，AF=AG，此时点G与点F是关于x轴的对称，故此时；当点F为顶点，AF为腰时，FA=FG，此时当点G为顶点，AF为底时，设，，解得，综上所述：(3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，，直线的解析式为，，将线段绕点顺时针旋转得到，，则直线的解析式为，设交轴于点，则，，综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．【对应练习2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．【解析】【详解】分析：（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．本题解析：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣，故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0时，y=，∴C（0，）．y=0时，﹣x2﹣x+=0，解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2．设P（﹣1，m），当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2；当PB=PC时，=，解得m=0，综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，∵B、B′关于直线AC对称，∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，所以此时△QBM的周长最小．由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．设直线MB′的解析式为y=kx+n，将M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直线MB′的解析式为y=x+．同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）．所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．【考点六】二次函数与等腰直角三角形存在问题。【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．【答案】(1)、、；(2)；(3)，．【解析】【分析】（1）对于，令，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，故点A、B、C的坐标分别为(-1，0)、(3，0)、(0，3),，函数的对称轴为x=1，当x=1时，=4，即可求解；（2）△DEF是等腰直角三角形，EF∥x轴轴，则根据函数的对称性，只有∠EDF为直角一种情况，即HF=DH，即可求解；（3）由△PBC面积，即可求解．(1)解：对于，令=0，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，故点、、的坐标分别为、、，函数的对称轴为，当时，，故点的坐标为，故，，三点坐标分别为、、；(2)是等腰直角三角形，轴，则根据函数的对称性，只有为直角一种情况，设点，点和点关于函数对称轴对称，故点，过点作与点，是等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，故，即，则，解得（舍去）或0，故，则；(3)过点作轴交于点，由点、的坐标得，直线的表达式为，设点的坐标为，则点，则面积，，故面积存在最大值，此时，故点，．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【对应练习1】将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．【答案】(1)C1：y＝（x﹣2）2﹣6，C2：y＝x2﹣6(2)A（4，﹣2）或（5，3）(3)见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数平移的规律，即可求解；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，可证得△ABD≌△OAC，可得BD＝AC，然后设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，从而得到a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，即可求解；（3）根据直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，可得xE+xF＝k，从而得到M（），同理得到N（，），然后求出直线MN的解析式，即可求解．(1)解：∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；(2)解：过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∵C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∴对称轴l为直线，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A（4，﹣2）或（5，3）；(3)解：∵直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，∴把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∵M为线段EF的中点，∴M（），∵直线yx与抛物线C2交于G，H两点，∴把yx代入y＝x2﹣6中得，x2x﹣6＝0，∴，∵N为线段GH的中点．∴N（，），设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线MN的解析式为：，当x＝0时，y＝2，∴直线MN：经过定点（0，2），即直线MN经过一个定点．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的平移规律，二次函数与一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．【对应练习2】已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6(2)P（3，）(3)存在，P点坐标（4，6）或（5﹣，3﹣5）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=-x+6，设P（t，-t2+2t+6），则N（t，-t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得答案．(1)解：（1）∵点A（0，6），∴OA＝6，∵tan∠ABO＝1，∴OB＝6，∴B（6，0），将点A（0，6），C（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+c，得∴∴y＝﹣x2+2x+6；(2)如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴∴∴y＝﹣x+6，设P（t，-t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，-t+6），∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（-t2+3t）×6=-t2+9t=-（t-3）2+，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；﹣t2+2t+6=∴P（3，）；(3)如图，∵PE∥x轴∴PE⊥PD若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，∵，∴b=4-a，∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，又∵PD=-a2+2a+6-（-a+6）=-a2+3a，∴-a2+3a=2|2-a|，解得：a=4或a=5-，所以P（4，6）或P（5-，3-5）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．【对应练习3】二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．【答案】(1)yx2x+2(2)2(3)D(1，3)或D(3，2)(4)Q点坐标分别为(，)，(，)【解析】【分析】(1)将A(﹣1，0)，B(4，0)两点代入解析式中即可求解；(2)求出直线BD的解析式为yx+2，当t求出M(2，0)，分别将x=2代入直线BD解析式和抛物线中求出D点和N点纵坐标，最后利用即可求解；(3)设P(2t﹣1，m)，且C(0，2)，B(4，0)，由△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形得到PB2＝PC2，进而得到m＝4t﹣5，进一步求出PC2=PB2＝20t2-60t+50，再由即可求出t的值进而求解；(4)当t时，直线MN刚好为抛物线对称轴，以M为圆心AB为直径构造圆，过点A作AC的垂线交圆于点G，由圆周角定理得到∠AQ1C＝∠CGA，由半径相等得到∠MAG=∠CGA，进而得到∠OAC+∠AQ1C＝90°刚好满足题意要求即可求解．(1)解：将点A(﹣1，0），B(4，0)代入y＝ax2+bx+2，得到，解得：a，b，∴二次函数解析式为yx2x+2；(2)解：令yx2x+2中x=0，得到y=2，∴C(0，2)，设直线BC的解析式为：，代入点B(4，0)和点C(0，2)，∴，解得：∴BC的直线解析式为yx+2，当t时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M(2，0)，将x=2代入yx+2中，得到N(2，1)，将x=2代入yx2x+2中，得到D(2，3)，∴DM=3，MN=1，∴；(3)解：∵动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，运动时间为t，∴BM＝5﹣2t，M(2t﹣1，0)，设P(2t﹣1，m)，且C(0，2)，B(4，0)，∵PC2＝(2t﹣1)2+(m﹣2)2，PB2＝(2t﹣5)2+m2，∵PB＝PC，∴(2t﹣1)2+(m﹣2)2＝(2t﹣5)2+m2，整理得到：m＝4t﹣5，∴P(2t﹣1，4t﹣5)，∴PC2=PB2＝(2t﹣1)2+(4t-5-2)2=20t2-60t+50，∵△PBC为等腰直角三角形，且∠BPC=90°，∴，且，即，∴，整理得到：∴t＝1或t＝2，此时动点M运动了1或2秒，∴M(1，0)或M(3，0)，将x=1或x=3分别代入二次函数yx2x+2中，∴D(1，3)或D(3，2)；(4)解：当t时，M(，0)，此时MN为抛物线对称轴，点Q在抛物线对称轴x上，如下图所示：以M为圆心AB为直径构造圆，过点A作AC的垂线交圆于点G，圆与x的交点分别为Q1与Q2，∵AB＝5，∴AM，由同弧所对的圆周角相等可知：∠AQ1C＝∠CGA，∵AM=MG，∴∠MAG=∠CGA，∵∠OAC+∠MAG＝90°，∴∠OAC+∠AQ1C＝90°刚好满足题意要求，∴Q1(，)，∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2(，)，∴Q点坐标分别为(，)，(，)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，“割补法”求三角形的面积，圆周角定理，等腰三角形的性质，用圆周角定理来处理∠AQC+∠OAC=90°是解题的关键．【考点七】二次函数与平行四边形存在问题。【典型例题】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，二次函数顶点为，设二次函数解析式为，将点代入得，，，；（2）如图，连接，当时，，或2，，点P在抛物线上，点P的纵坐标为，；（3）设，当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，综上：或或．【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．【对应练习1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【分析】（1）由待定系数法求函数的解析式即可；（2）①求出直线BO的解析式，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，可得E（t，﹣t）再由S=−32（t+32②设E（﹣1，m），根据平行四边形对角线的情况，分三种情况讨论：当AO为平行四边形的对角线时，当AP为平行四边形的对角线时，当AE为平行四边形的对角线时；利用中点坐标公式求解即可；【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将A（﹣2，0），B（﹣3，3）代入，∴4a−2b=09a−3b=3解得a=1b=2∴y＝x2+2x，∴C（﹣1，﹣1）；（2）①∵P的横坐标为t，∴P（t，t2+2t），设直线BO的解析式为y＝kx，∴﹣3k＝3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，∴E（t，﹣t）∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，∴S=12×3×（﹣t2﹣3t）=−32（t∵﹣3＜t＜0，∴t=−32时，S有最大值②∵y＝x2+2x，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设E（﹣1，m），当AO为平行四边形的对角线时，−2=t−10=解得t=−1m=1∴P（﹣1，﹣1）；当AP为平行四边形的对角线时，t−2=−1t解得t=1m=3∴P（1，3）；当AE为平行四边形的对角线时，−2−1=tm=解得t=−3m=3∴P（﹣3，3）；综上所述：P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，3）或（﹣3，3）；【对应练习2】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是（−32，3（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将B（1.0），A（﹣3.0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解析式；（2）求出直线AC的解析式，即可知D（m．m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），再求S△ACE=12×3×（﹣m2﹣3m）=−32（m（3）设Q（n，t），分①当BC为平行四边形的对角线时，②当BE为平行四边形的对角线时，③当BQ为平行四边形的对角线时三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），，AB＝4，∴A（﹣3，0），将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴z+b+3=09a−3b+3=0解得：a=−1b=−2∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b′（k≠0），则−3k+b'=0b'=3解得：k=1b'=3∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝﹣m2﹣3m，∴S△ACE==12×3×（﹣m2﹣3m）=−32（m∴当x=−32时，S△∴D（−32，故答案为：（−32，（3）解：存在，理由如下：∵m＝﹣2，∴E（﹣2.3），设Q（n．t），如图：①当BC为平行四边形对角线时，1+0=−2+n0+3=3+t解得：n=3t=0∴Q1（3，0）；②当BE为平行四边形对角线时，则1−2=0+n0+3=3+t解得：n=−1t=0∴Q2（﹣1，0）；③当BQ为平行四边形对角线时，则1+n=0−20+t=3+3解得：n=−3t=6∴Q3（﹣3，6）．综上所述，当点Q为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．【对应练习3】（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结，当四边形为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（或）(2)①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；（2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值；②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案．（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为，∴设二次函数的表达式为，又∵，∴，解得：，∴（或）；（2）①∵点P在x轴正半轴上，∴，∴，由旋转可得：，∴，过点作轴于点E，∴，，在中，，当四边形为矩形时，，∴，又，∴，∴，∴，解得；②由题可得点与点C关于点成中心对称，∴，∵点M在直线上，∴点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）、当以为边时，平行四边形为，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴代入，解得：，∴，2）、当以为边时，平行四边形为，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴代入，解得：，∴，3）、当以为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，∴代入，得：，∴，综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．【考点八】二次函数与菱形存在问题。【典型例题】（2022·四川广元·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中，是OA的中点．(1)求该二次函数的解析式．(2)如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时的最小值．(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，M为抛物线上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；点的坐标为或【分析】（1）根据点D坐标求出点A坐标，进而求出点B和点C坐标，根据点A，B，C坐标使用待定系数法即可得到二次函数解析式．（2）过点作轴交于点，连接BE，与二次函数对称轴的交点则为F，连接CF，设直线CD解析式为y=kx+b，点E坐标为．根据点C和点D坐标使用待定系数法求出直线CD解析式，结合点E坐标求出点H坐标，进而求出EH的长度，根据三角形面积公式求出△ECD的面积，再根据二次函数的最值确定当m=3时，△ECD面积取得最大值，进而求出点E坐标；根据轴对称的性质确定BF=CF，根据两点之间，线段最短确定当B，E，F三点共线时EF+CF取得最小值为BE，然后根据勾股定理即可求出BE的长度．（3）