专题02 线段的垂直平分线与角平分线（五种考法）（解析版）

专题02线段的垂直平分线与角平分线（五种考法）线段垂直平分线的性质1．【黑龙江省哈尔滨市工大附中2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】下列命题中正确的是（

）A．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；D．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形．【答案】A【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、轴对称图形判断即可．【详解】解：A、如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；B、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项命题错误，不符合题意；C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项命题错误，不符合题意；D、两个三角形全等，它们不一定是关于直线成轴对称的图形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．2．【广西壮族自治区玉林市玉州区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，∵的周长，∴，∴，∴，∴的长为；故选D．3．【云南省昭通市永善县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，则的周长是（

）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】C【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【详解】解：的垂直平分线交于点，∴，∴的周长，∵，，∴的周长，故选：．4．【甘肃省庆阳市西峰区北京师范大学庆阳实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】给出下列说法：①若直线是线段的垂直平分线，则，②若，，则直线垂直平分线段；③若，则点必是线段垂直平分线上的点；④若，则经过点的直线垂直平分线段．其中错误的有几个(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题主要考查垂直平分线的相关知识，根据线段的垂直平分线的性质和判定，可得结论．【详解】解：①若直线是线段的垂直平分线，则，，正确；②若，，则直线垂直平分线段，正确；③若，则点必是线段垂直平分线上的点，正确；④若，则点一定在线段的垂直平分线上，但不一定经过点的直线垂直平分线段，错误．故选：A．5．【江西省上饶市余干县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的度数为．【答案】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到．【详解】解：在中，∵，，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∴．故答案为：．线段垂直平分线的判定6．【江苏省无锡市梁溪区江南中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】纸片上有一点P，量得，则点P一定是（

）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点【答案】C【分析】本题考查了垂直平分线的判定定理．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据垂直平分线的判定定理进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴点在线段的垂直平分线上，∴点P一定是三条边垂直平分线的交点，故选：C．7．【山东省济宁市汶上县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④．【详解】解：①在和中，，∴，故①正确，符合题意；②∵，，∴垂直平分，即，故②③正确，符合题意；④，故④正确，符合题意；综上：正确的有①②③④．故选：B．8．【河北省保定市阜平县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（

）A．小明说的对B．小亮说的对，可添条件为“”C．小亮说的对，可添条件为“”D．两人说的都不对【答案】C【分析】根据选项结合已知得出，从而得到，即可求出最终结果；本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．【详解】解：可添条件为才能说：直线是的垂直平分线证明如下：在和中，直线是的垂直平分线故选：C．9．【四川省资阳市安岳县安岳中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是．【答案】①②③【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据即可证明③，不能得出结论④．【详解】解：∵，∴，，∵四边形的对角线相交于点O，∴，∴，故①正确；∵，∴是的垂直平分线，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；由已知条件不能判断，故④错误．故答案为：①②③．10．【广东省珠海市凤凰中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积．【答案】【分析】根据，，得出B、D在线段的垂直平分线上，说明垂直平分，根据求出结果即可．【详解】解：∵，，∴B、D在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定得出垂直平分．角平分线的性质11．【山东省德州市禹城市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】下列说法正确的是（

）A．一条线段关于经过该线段中点且垂直于这条线段的直线成轴对称图形B．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等C．若两个三角形全等，则这两个三角形一定关于一条直线成轴对称D．等腰三角形的高线、角平分线、中线相互重合【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的定义，全等三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质以及轴对称的性质，熟记轴对称的概念以及性质是解题的关键．选项A、C根据轴对称图形的性质判断即可；选项B根据三角形的角平分线定义判断即可；选项D根据等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：对于A选项，一条线段关于经过该线段中点且垂直于这条线段的直线成轴对称图形，原说法正确，故本选项符合题意；对于B选项，三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意；对于C选项，全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，原说法错误，故本选项不符合题意；对于D选项，等腰三角形底边上的高线、顶角角平分线、底边上的中线相互重合，原说法错误，故本选项不符合题意；故选：A．12．【辽宁省抚顺市望花区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，是的角平分线，若，则的面积是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积等知识点，过点D作于E，先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键．【详解】如图，过点D作于E，∵是的角平分线，，∴，∵，∴的面积，故选：B．13．【云南省昭通市永善县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，的三边，，的长分别是10，15，20，点是三条角平分线的交点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查角平分线的性质定理．过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点，点是三条角平分线的交点，，，的三边，，的长分别是10，15，20，．故选：D．14．【广东省江门市紫茶中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，已知，，于点，于点，若，则长度是．【答案】6【分析】本题主要考查了角平分线与含角的直角三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角平分线性质得出，再由平行线性质得知，从而得出的长，利用三角形外角性质求出，进一步得出并且求出答案即可．【详解】解：∵，∴是的角平分线，又∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴．故答案为：6．15．【江苏省常州市天宁区第二十四中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为．【答案】5【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线间的距离，过点P作于F，作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为与间的距离即可得到答案．【详解】解：如图，过点P作于F，作于G，

∵是的平分线，，∴，同理可得∵，，∴，即点F、P、G三点共线，∴的长即为、间的距离，∴平行线与之间的距离为故答案为：5．角平分线的判定16．【上海市青浦区第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】下列说法正确的是（

）A．任何定理都有逆定理B．真命题的逆命题一定是真命题C．任何命题都有逆命题D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题【答案】C【分析】根据逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理，对各选项进行判断作答即可．【详解】解：不是每个定理都有逆定理，A错误，故不符合要求；真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，B错误，故不符合要求；任何命题都有逆命题，C正确，故符合要求；“在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题，D错误，故不符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理等知识．熟练掌握各知识是解题的关键．17．【山西省忻州地区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图所示，点E到三边的距离相等，过点E作交于M，交于N．若，则线段的长为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】本题考查角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质．根据题意，得到为的角平分线，得到，平行线的性质，推出，进而得到，得到，即可．【详解】解：∵点E到三边的距离相等，∴为的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；

故选C．18．【辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（

）A． B． C．垂直平分 D．平分【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明是关键．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴平分，垂直平分，但不一定垂直平分；故选项A、B、D正确，选项C错误；故选：C．19．【广东省佛山市南海区大沥镇2022-2023学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷】下列说法，错误的是（

）A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等B．“若，则”的逆命题是假命题C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答．【详解】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．20．【云南省昆明市五华区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】B【分析】如图，过点作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分．【详解】解：如图，过点作于E点，于F点，∵两把长方形直尺完全相同，∴，∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：B．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线与角平分线的尺规作图21．【广西壮族自治区南宁市青秀区翠竹实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，进而得到．【详解】解：∵在中，，，∴，由作图方法可知垂直平分，∴，∴，∴，故选：C．22．【浙江省温州市瓯海区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交、分别于点、，若，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线，直角三角形的性质，勾股定理．连接，由作图可知，是的垂直平分线，有，故，，可得，，从而．【详解】解：连接，如图：由作图可知，是的垂直平分线，，，，，，，，，故选：C．23．【福建省龙岩市第五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的运用，掌握角平分线的点到角两边距离相等是解题的关键．根据题意，分别作角的平分线，角平分线的交点即为所求点的位置．【详解】解：如图所示，

分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点，故选：．24．【宁夏回族自治区吴忠市盐池县第五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及相关性质，熟记相关作图方法是解题关键．【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是线段的垂直平分线，平分，∴，，，故A正确；∵，∴，故C正确；∵，∴，∴，故D正确；B不一定正确故选：B25．【河南省驻马店市确山县第二初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在直线上求作一点，使点到两边的距离相等．【答案】见解析【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质；根据题意作出的角平分线交于点，即可求解．【详解】解：如图，点即为所求．26．【广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂直的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的意义，根据已知，选择好方法，证明判断即可．【详解】解：如图，延长交于H，∵，分别为，边上的高，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故①符合题意；∵，∴，∴，故②符合题意；∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴的周长，故③符合题意；∵，∴，∵，∴，故④不符合题意；∴正确的有①②③．故选：A．27．【广东省深圳市龙岗区华附集团校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】以的边两顶点画圆弧，使得圆弧可以相交于两点，这两点的连线交边于点，再对边重复上述做法，连线交边于点，已知，，，求的周长为（

）A．13 B．20 C．15 D．25【答案】C【分析】本题考查尺规作图-中垂线，涉及中垂线的性质等，根据题意，得到是线段的中垂线；是线段的中垂线，利用中垂线性质即可得到答案，熟练掌握尺规作图-中垂线及中垂线的性质是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：由题意可知，是线段的中垂线；是线段的中垂线；，的周长为，故选：C．28．【四川省成都市青羊区青羊实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为（）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，连接，设，则，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用勾股定理得到，然后解方程即可．【详解】解：连接，如图，设，则，由作法得垂直平分，∴，在中，，解得，即的长为5．故选：A．29．【湖北省荆州市松滋市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】是锐角内部一点，且点到三条边的距离相等，过点作作边的平行线分别交，于点、，若的周长为，，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的判定定理，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，根据角平分线的判定定理、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点的性质是解题的关键．【详解】解：如图：∵点到三条边的距离相等，∴点是的内角平分线的交点，∴，，∵，∵，，∴，，∴，，∵的周长为，，∴，∴的周长，故选：．30．【福建省龙岩市新罗区龙岩初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（

）A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明，推出，再证明，推出即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④由，利用等高模型即可判定．⑤可以证明，据此即可判定；【详解】解：①在中，，，又、分别平分、，，，，，故①正确；②，又，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故②正确；③若平分，则，，，，，这个与已知条件不符，故③不正确，④，，，，，，，，，，即，故④正确；⑤，故⑤不正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．31．【湖北省荆州市松滋市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在等腰中，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合．若，则的度数是．【答案】【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．由折叠的性质可得，，，可求，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可求，由三角形内角和定理可求，即可求的度数．【详解】解：如图，连接，点与点恰好重合，，，，，，平分，是的垂直平分线，，又是的垂直平分线，点是的外心，，，，，，，，在中，，，故答案为：．32．【黑龙江省哈尔滨市南岗区第四十七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，等腰三角形的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为．【答案】13【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用线段垂直平分线的性质．根据对称性和等腰三角形的性质，连接交于点M，此时周长最小，进而可求解．【详解】解：如图：连接交于点M，∵等腰的底边长为6，点D为边的中点，∴，∵是腰的垂直平分线，连接，∴，此时的周长为：，∵的长为3固定，∴根据两点之间线段最短，的周长最小．∵，，∴，∴．故答案为：13．33．【吉林省吉林市桦甸市第七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，平分交于点，的面积为18，，则线段的长度为．【答案】3【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再结合的面积解得的长度，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作于点，

∵平分，，即，∴，∵的面积为18，，∴，∴，∴．故答案为：3．34．【广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为．【答案】20【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：作于，∵平分，，，∴，∴．故答案为：20．35．【广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接并延长至，使，连接，．(1)若，则______；(2)求证：是等边三角形．【答案】(1)2；(2)见解析．【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定、垂直平分线的判定及性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．（1）由题意可知，为的斜边中线，故，所以是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解；（2）由（1）知是等边三角形，然后可得，可知是的垂直平分线，即，而，最后问题可求证．【详解】（1）解：，，，点为的中点，，，是等边三角形，，点为的中点，，故答案为：2；（2）证明：由（1）知，是等边三角形，点为的中点，，，是的垂直平分线，，，是等边三角形．36．【四川省广元市苍溪县石马初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．(1)求的长；(2)分别连结、、，若的周长为，求的长．【答案】(1)的长为(2)的长为【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．（1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答；（2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答．【详解】（1）边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，，，的周长为，，，，的长为；（2）如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，，，的周长为，，，，的长为．37．【湖北省宜城市志达实验寄宿学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题】已知，平分；(1)如图1中，若点B,D分别在上，，求证：；(2)在图2中，若，，求（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明，若不成立，则说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．（1）由角平分线的性质可得，即可证明，可得，再根据，即可解题；（2）过C作于E，于F，根据平分，可得，证明，即可证明，可得，再根据（1）中证明，即可解题．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：成立，过C作于E，于F，∵平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由（1）知，∴．38．【广东省深圳市龙岗区华附集团校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点，(1)求证平分；(2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键；（1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出