第二讲 一次函数（典例精讲）（原卷版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第二讲一次函数（原卷版）编者的话：《2023年中考数学典型例题系列》是基于教材考点和中考真题总结和编辑的，初中数学由于不同地区与不同版本的差异，题型分类十分繁多，本系列包括高频考点和题型，部分考点和考题酌情讲解训练。该系列按篇目进行分类，每篇目包含多讲，每讲又分为典型例题和专项练习两个部分，典型例题以知识考点和典型真题为例，专项练习以对应典例为准进行针对训练。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样，欢迎使用和提出宝贵建议。一、一次函数的图像和性质。概念一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴交点b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】若两直线平行，则；若两直线垂直，则二、一次函数图像的平移。平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m三、一次函数的解析式。方法待定系数法步骤设：一般式y=kx+b（k≠0）（题干中未给解析式需设）代：找出一次函数图像上的两个点，并且将点坐标代入函数解析式，得到二元一次方程组；求：解方程（组）求出k、b的值；写：将k、b的值代入，直接写出一次函数解析式四、一次函数与方程（组）、不等式。与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值，还是直线y=ax+b(a≠0）与x轴交点的横坐标与二元一次方程组的关系方程组的解时直线的交点坐标与一元一次不等式的关系从“数”来看kx+b＞0的解集是y=kx+b中，y＞0时x的取值范围kx+b＞＜0的解集是y=kx+b中，y＜0时x的取值范围从“形”上看kx+b＞0的解集是y=kx+b函数图像位于x上方部分对应的点的横坐标kx+b＜0的解集是y=kx+b函数图像位于x下方部分对应的点的横坐标【考点一】正比例函数和一次函数的定义。【典型例题1】2022·辽宁沈阳·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（

）A．0 B． C． D．【典型例题2】（2022·四川成都·统考二模）若函数是一次函数，则的值为（

）A．-1 B． C．1 D．2【典型例题3】（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）下面哪个点在函数的图象上（

）A．(2，1) B．(-2，1) C．(2，0) D．(-2，0)【典型例题4】（2022春·四川广安·九年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为______．【对应练习1】（2023·全国·九年级专题练习）若函数是一次函数，则m的值为（

）A．±1 B．﹣1 C．1 D．2【对应练习2】（2022·四川德阳·统考二模）已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为________．【考点二】正比例函数和一次函数的图像与性质。【典型例题1】（2022·四川眉山·统考一模）若一元二次方程x2−4x−4m=0有两个不相等的实数根，则正比例函数y=(m+2)x的图象所在的象限是（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【典型例题2】（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．随增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当时， D．当时，【典型例题3】（2021·陕西西安·校考一模）下列与的函数中，随的增大而增大的是（

）A． B． C． D．【典型例题4】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【典型例题5】（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）将直线向上平移个单位长度后，所得直线的表达式是（）A． B． C． D．【典型例题6】（2018·四川广安·统考中考模拟）已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典型例题7】（2022·四川广安·统考三模）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C．D．【典型例题8】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，过点作x轴垂线交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形……则的坐标为（）A． B．C． D．【对应练习1】（2022春·云南临沧·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A．y随x的增大而减小 B．C．的解集是 D．直线不经过第二象限【对应练习2】（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是(

)A． B． C． D．【对应练习3】（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知一次函数与正比例函数（m，n为常数，），则函数与的图象可能是（）A． B．C． D．【对应练习4】（2022·河南洛阳·统考一模）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（）A． B．C． D．【对应练习5】（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）在一次函数中，随的增大而增大，且，则在坐标系中它的大致图象是（

）A． B． C． D．【对应练习6】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【对应练习7】（2021·四川成都·校联考三模）一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是_______．【对应练习8】（2022·全国·八年级专题练习）已知一次函数的值随值的增大而增大，那么该函数的图象经过第___________象限．【对应练习9】（2022·江苏淮安·统考模拟预测）将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．【对应练习10】2022·四川内江·校考二模）如图，已知直线，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；……，按此作法继续下去，则点的坐标是________；【考点三】正比例函数和一次函数的解析式。【典型例题】（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）若一个正比例函数的图象经过点，，则n的值为（

）A． B． C． D．【对应练习1】（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，(1)求该一次函数的解析式；(2)求的值．【对应练习2】（2022春·四川成都·九年级专题练习）第31届世界大学生夏季运动会定于2022年6月26日至7月7日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会。某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量（个）与每个的销售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求与之间的函数关系式；(2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润?最大利润是多少元?【对应练习3】（2022·四川成都·校考二模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．(1)请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；(2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求出总利润W的最大值．【考点四】一次函数与一元一次不等式。【典型例题】（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【对应练习1】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________．【对应练习2】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．【对应练习3】（2022·辽宁锦州·中考真题）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________．【考点五】一次函数与二元一次方程组。【典型例题】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【对应练习1】（2022·浙江杭州·统考中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．【对应练习2】（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为___．【考点六】一次函数的实际应用。【典型例题1】行程问题。（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（

）A．货车出发1.8小时后与轿车相遇B．货车从西昌到雅安的速度为C．轿车从西昌到雅安的速度为D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有【典型例题2】方案问题。（2022·四川广安·统考中考真题）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由【对应练习1】（2022·四川内江·统考中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？【对应练习2】（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．【对应练习3】（2022·四川德阳·统考中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【对应练习4】（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【典型例题3】销售问题。（2022·四川雅安·统考中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．【对应练习1】（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【对应练习2】（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元/件）a80售价（元/件）