专题01分式重难点专练-2021-2022学年七年级数学专题训练

专题01分式重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列分式中不是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可.【详解】解：A.分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；B.是最简分式，故B选项不符合题意；C.==,故C选项符合题意;D.是最简分式,故D选项不符合题意.故应选C.【点睛】本题考查了最简分式的概念及分式的化简,掌握相关知识是解题的关键.2．若分式的值总是正数，则的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分两种情况分析:当时;或当时,,再分别解不等式可得．【详解】若分式的值总是正数：当时，，解得;当时，，解得，此时a的取值范围是;所以的取值范围是或.故选：D．【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数．3．下列代数式中，最简分式的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】根据最简分式的定义对每项进行判断即可．【详解】，不是最简分式；，不是最简分式；，是最简分式；，不是最简分式；，不是分式；∴最简分式的个数有1个故答案为：A．【点睛】本题考查了最简分式的问题，掌握最简分式的定义是解题的关键．4．下列各式中是最简分式的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】A、该分式的分子分母中含有公因式（x﹣5），不是最简分式，故本选项不符合题意；B、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；C、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣b），不是最简分式，故本选项不符合题意；D、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．5．下列变形从左到右一定正确的是()．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A错误；选项B，当c≠0时，等式才成立，即，选项B错误；选项C，隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出，选项C正确；选项D，当a=2，b=3时，左边≠右边，选项D错误．故选C．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．6．下列分式是最简分式的是（）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】直接利用最简分式的定义进而判断得出答案．【详解】A、=，不是最简分式，不合题意；B、=，不是最简分式，不合题意；C、无法化简，是最简分式，符合题意；D、=，不是最简分式，不合题意.故选：C【点睛】此题主要考查了最简分式，正确把握最简分式的定义是解题关键．7．下列式子正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质，即可解答．【详解】A．分子乘以b，分母乘以a，所以，故A错误；B．1，故B错误；C．1，故C正确；D．，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．8．若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：根据题意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故选：A．【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．分式有意义的条件是（）A．x≠3 B．x≠9 C．x≠±3 D．x≠﹣3【答案】C【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出关于x的不等式，解之可得．【详解】解：当x2﹣9≠0时，分式有意义，由x2﹣9≠0得：x2≠9，则x≠±3，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．10．在代数式，，，中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义逐个判断即可得．【详解】常数是单项式，是多项式，和都是分式，综上，分式有2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．11．下列变形不正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．【详解】解：A、，故A不正确；B、，故B正确；C、，故C正确；D、，故D正确．故答案为：A．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．12．下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案．【详解】A．，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B．，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误；C．，从左边到右边分子和分母同时除以，分式的值不变，故正确；D．，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误．故选：C．【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．13．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，而=x+，所以的最小值是4.故选B.点睛：本题关键在于理解已知结论的推导过程.14．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成.【详解】∵若原分式的值为整数，那么由得，；由得，；由得，；由得，；∴，共4个故选C【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.15．已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（）．A．109 B．218 C．326 D．436【答案】A【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，∴a＋b＝109，故选：A．【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．16．若是整数，则使分式的值为整数的值有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．【详解】解：由题意可知，是6的整数约数，∴解得：，其中x的值为整数有：共4个．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．二、填空题17．如果，那么的值是______．【答案】0【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.【详解】解：所以，故答案是：0【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.18．若分式的值为零，则的值为______________.【答案】2【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：由分式的值为零的条件得2=0，x22x8≠0，

∴x=2且x≠4且x≠2，

∴x=2时，分式的值为0，

故答案为2．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．19．若，则分式的值为_________．【答案】【分析】根据分式基本性质，分子和分母同时除以xy可得．【详解】若则故答案为：【点睛】考核知识点：分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．20．当_________时，分式的值为0．【答案】【分析】分式有意义的条件是分母不为0；分式的值是0的条件是分母≠0且分子=0．【详解】若分式的值为0，

则2x≠0且=0，

即x=2．故答案为:2．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义，并考查了分式值是0的条件．21．如果分式值为零，那么_________．【答案】【分析】根据分式的值为零，可得且，求解即可．【详解】∵∴且∴且∴且∴故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．22．分式中的同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的_____________倍．【答案】3【分析】将同时扩大为原来的倍得到，与进行比较即可．【详解】分式中的同时扩大为原来的倍，可得故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．23．已知，则__________．【答案】3【分析】将两边同时除以x，即可得出答案．【详解】解：∵∴两边同时除以x．,得：∴故答案为：3【点睛】本题考查了代数式求值，利用分式的性质，两边同时除以x，将式子进行变形是解题的关键．24．下列各式中，最简分式有_____个．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】1．【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】①符合最简分式的定义，符合题意．②的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；③⑤不是分式，不符合题意；④的分子、分母中含有公因式（5+2a），不是最简分式，不符合题意；⑥的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；故答案为：1．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．25．当x_____________时，分式的值为0；【答案】=－1【解析】由题意得：x+1=0，且x2x≠0，解得：x=1，故答案为=1.26．当x=__________时，分式的值为零.【答案】1【分析】根据分式的解为0的条件，即可得到答案.【详解】解：∵分式的值为零，∴，解得：，∴；故答案为：.【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．27．当______时，分式的值为0.【答案】3【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．【详解】由分式的值为零的条件得，，

由，得，

∴或，

由，得．

综上，得．

故答案是：．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．28．如果分式的值为零，那么x＝________．【答案】1【分析】根据分式的值为零可得，解方程即可得．【详解】由题意得：，解得，分式的分母不能为零，，解得，符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．29．要使分式有意义，那么x应满足的条件是________．【答案】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【详解】由题意得：，

解得：，

故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．30．已知，那么________．【答案】【分析】将变形为=5a，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a，即可得到答案．【详解】∵，∴=5a，∴

故答案为：．【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为=5a，将所求代数式的分母变形为形式，再代入计算是解题的关键．31．化简：＝_____．【答案】【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．32．已知:满足方程,则代数式的值是_____.【答案】【解析】因为，则.故答案：.33．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________【答案】①③【解析】【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．【详解】①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义；②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．34．已知，则_______.【答案】【解析】【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.【详解】∵，所以，∴a=1，b=2，∴原式====【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形.35．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成，不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和20克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50%．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．【答案】【分析】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，先根据利润倍数关系可求出，再根据端午节当天的总利润率可得，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得．【详解】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，，整理得：，端午节当天的总利润率是，，即，整理得：，第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，第二天总利润率为，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键．36．若，．则的值为______【答案】【分析】先由题意2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2xy+4z=0①，4x+3y2z=0②，将②×2得:8x+6y4z=0③．①+③得:10x+5y=0，∴y=2x，将y=2x代入①中得:2x(2x)+4z=0∴z=x将y=2x，z=x，代入上式=

=

==

故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.三、解答题37．计算：．（结果用正整数指数幂的形式表示）【答案】【分析】根据幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，负指数次可以把底数变为原来的倒数.负指数变为正的，最后将式子化成最简.【详解】解：原式．【点睛】本题考查了幂的乘方和负指数幂的预算，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方运算和负指数幂的运算法则.38．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根据分式的除法运算法则计算即可；（2）将分式的分子、分母约去相同的因式即可；（3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可；（4）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可；（5）将分式的分子、分母分别应用分组分解法因式分解后约去相同的因式即可；（6）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）．【点睛】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．39．对于正数x，规定：．例如：，，．（1）填空：________；_______；_________；（2）猜想：_________，并证明你的结论；（3）求值：．【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1）=，=，,+=1，（2），理由为：，则．（3）原式．【点睛】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．40．先化简：，再选一个你喜欢的数代入并求值．【答案】,.【解析】【分析】根据分式的混合运算，先算括号里面的，再算除法，然后取一个分式有意义的数值代入求解即可.【详解】解：原式，

，1，，

时，原式．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，把分式通分、约分进行化简是关键，代入求值时，代入的数值必须让分式有意义，容易出错.41．已知＝，求2a－3b的值．【答案】0【详解】试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a、b的关系，然后代入求值即可.试题解析：原式＝＝，∴2a＝3b，∴2a－3b＝0.42．若＝＝≠0，求的值．【答案】【详解】试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.试题解析：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k≠0，∴＝＝.43．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为元（1），试用k、n和b表示（不必证明）；（3）比较和的大小（k=1，2，……，），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【答案】（1）,；（2）；（3）．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．【解析】【试题分析】（1）根据第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，得：（2）根据（1）中的两个式子，；（3），，则，则.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【试题解析】（1）根据题意得：（2）根据（1）中的两个式子，（3），，则，则.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.44．已知分式（1）当x取什么值时，分式有意义？（2）当x取什么值时，分式为零？（3）当x取什么值时，分式的值为负数？【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零。（3）根据分子和分母异号时值为负数．【详解】（1）∵分式有意义，∴x+30，∴x3，∴当x3时，分式有意义。（2）∵分式.的值为零，∴218=0且x+30，∴x=3，∴当x=3时，分式为零。（3）∵=2（x3），∵分式.的值为负数，∴2（x3）0且x+30∴x＜3且x≠－3，∴当x＜3且x≠－3时，分式.的值为负数。【点睛】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为正数和负数的条件是解题关键．45．给定下面一列分式：，，，．．．，（其中）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．【答案】（1）规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；（2）第7个分式应该是【解析】【分析】（1）将任意一个分式除以前面一个分式，可得出规律．

（2）由（1）可知任意一个分式除以前面一个分式恒等于一个代数式，由此可得出第7个分式．【详解】解：（1）第二个分式除以第一个分式得，第三个分式除以第二个分式得，

同理，第四个分式除以第三个分式也是．故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；

（2）由（1）可知该第7个分式应该是×()6=．【点睛】本题考查了数字的变化类的相关知识，根据题干的规律找到一般表达式是解题的关键，难度中等．46．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．【答案】（1）5；（2）；（3）【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），∴①，②，③，①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：＝，，k＝4，∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；解法二：∵，∴，∴，∴，∴，将其代入中得：＝＝，y＝，∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．【点睛】本题考查了