易错点04三角形（原卷版）

易错点04三角形线段、角、相交线与平行线三角形及其性质全等三角形等腰三角形直角三角形相似三角形解直角三角形易错分析易错分析01三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。（2022春•市中区校级月考）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定【答案】C【思路点拨】本题答案有误，根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【规范解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD＝DB，∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），故选：B．【考点解读】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练01】（2021秋•白碱滩区期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【变式训练02】（2022春•无锡期中）已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为cm．【变式训练03】（2022春•徐州期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度数；（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，AC＝4，则BC＝．易错分析易错分析02三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法要具有技巧性。（2022春•常州期中）已知△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，则第三边c的正整数值是．【答案】7【思路点拨】答案不全面，没有考虑到‘任何两边’，根据三角形的三边关系确定第三边的范围，根据题意解答即可．【规范解答】解：∵△ABC的两条边a，b的长分别为1.5和7.5，∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，∴c的正整数值是7或8，故答案为：7或8．【考点解读】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•泉州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．【变式训练02】（2022秋•南康区期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【变式训练03】（2021秋•云浮期末）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．易错分析易错分析03三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。n边形的内角和等于(n2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝°．【答案】80°【思路点拨】答案有误，延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【规范解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案为：44．【考点解读】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．【变式训练01】（2022秋•前郭县期末）（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（问题思考）（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝．（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝70°，则∠D＝°．②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝．（用含α的代数式表示）【变式训练02】（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE°．【变式训练03】（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是度．易错分析易错分析04全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等。用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.（2022春•海陵区期末）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．【答案】4【思路点拨】答案有误，答案不全面，根据全等三角形的判定定理SSS画出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【规范解答】解：如图1所示：方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5个，故答案为：5．【考点解读】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．【变式训练01】（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【变式训练02】（2020秋•江阴市月考）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【变式训练03】（2022•杭州模拟）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个易错分析易错分析05两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种。（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝16，S△EFC＝4，则S平行四边形DBFE＝（）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】B【思路点拨】答案有误，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质求出＝，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【规范解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∴△AED∽△ECF，∴＝（）2，∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，∴＝2，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝36，∴S平行四边形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，故选：C．【考点解读】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式训练01】（2022•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，则矩形DEFG面积的最大值＝．【变式训练02】（2021•无锡）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．【变式训练03】（2022•镇江一模）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于点E，交射线CB的延长线于点G．点A在直线CE上，∠ABG＝2∠ACG．（1）用尺规作出点A（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AB，直线AB与GE相交于点F，，GB＝6．①求⊙O的半径；②连接CF，CF平分∠ACG吗？为什么？易错分析易错分析06等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。（2020秋•盐城校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE＝CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【思路点拨】答案有误，遗漏情况，根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【规范解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【考点解读】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．【变式训练01】（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作EM∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为．【变式训练02】（2018秋•吴江区校级月考）（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF＝BE+CF．【变式训练03】（2020•亭湖区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等边三角形，点A1，A2，A3…An在轴上，点B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4…AnBn+1∥y轴，，则第n个等边△AnBnBn+1的面积是．易错分析易错分析07运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解。在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。（2021秋•常州期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，【答案】A【思路点拨】答案有误，没有应用勾股定理公式解决问题。如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．【规范解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．【考点解读】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式训练01】（2022秋•工业园区校级期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为．【变式训练02】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．【变式训练03】（2021秋•建邺区期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．（2）设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．易错分析易错分析08特殊角的三角函数值及计算。熟练记忆一些特殊角的三角函数值，不能搞混淆（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．【答案】等腰【思路点拨】答案有误，直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝60°，进而得出答案．【规范解答】解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【考点解读】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式训练01】（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【变式训练02】（2022秋•驻马店期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是．【变式训练03】（2022秋•河口区校级期末）计算：cos30°﹣tan60°﹣cos45°；cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°．易错分析易错分析09解直角三角形的实际应用。坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数。仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角。只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解。（2022•郑州二模）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为α，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（）A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα【答案】B【思路点拨】答案有误，过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【规范解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，则四边形BFGE矩形，∴FG＝BE，∵AG＝120m，AF＝h，∴FG＝BE＝（120﹣h）m，在Rt△BEC中，BC＝＝m，故选：A．【考点解读】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练01】（2022•江阴市校级一模）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），底座AD和滑动杆EF组成．支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，点E从点C向左滑动，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．（1）BE＝cm；（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝cm时，察看仪表盘视角最佳．【变式训练02】（2021•荆州）如图1是一台支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）【变式训练03】（2022•亭湖区校级一模）盐城海棠公园为引导游客观光游览公园的盘点，在主要路口设置了导览指示牌，我校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75•≈0.26，tan75°≈3.73，≈1：414）．一．选择题1．（2021秋•沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，112．（2021秋•泗阳县期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC3．（2022秋•离石区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（）A． B． C． D．4．（2021秋•双滦区期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为（）A．1：2 B． C．1：4 D．5．（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）6．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝．7．（2022•富阳区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，∠OAB