第12讲函数的概念（7种题型）

第12讲函数的概念（7种题型）【知识梳理】一．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．二．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．四．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．五．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．六．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．七．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【考点剖析】一．常量与变量（共1小题）1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为20．【分析】将x＝4代入关系式x（x+1），进而解决此题．【解答】解：当x＝4，则x（x+1）＝4×5＝20＞15．∴输出因变量y＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键．二．函数的概念（共3小题）2．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C符合题意；D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．3．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应判断即可．【解答】解：根据函数的概念，可知：图1和图4不能表示y是x的函数，图2和图3能表示y是x的函数，∴上列图象中表示y是x的函数的有2个，故选：B．【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应是解题的关键．4．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是（）A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意；B、∵x+2中随x的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意；C、∵S＝vt，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意；D、∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键．三．函数关系式（共3小题）5．（2021春•滦州市期末）据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x分钟后，水龙头滴水y毫升水，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝0.05x B．y＝5x C．y＝100x D．y＝0.05x+100【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．【解答】解：根据题意可得：y＝100×0.05x，即y＝5x．故选：B．【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键．6．（2022秋•青浦区期中）已知一个梯形的面积为60，上底长是高的2倍，设高为x，下底为y，则y关于x的函数解析式为y＝．【分析】根据梯形的面积可得，进一步可得y关于x的函数解析式．【解答】解：设高为x，∵上底长是高的2倍，∴上底长为2x，∵一个梯形的面积为60，∴，∴y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了函数关系式，熟练掌握函数关系式的定义是解题的关键．7．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是s＝50﹣13t．【分析】直接利用总路程﹣行驶路程＝离B地距离，进而得出关系式．【解答】解：由题意可得：s＝50﹣13t．故答案为：s＝50﹣13t．【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意得出等式是解题关键．四．函数自变量的取值范围（共3小题）8．（2023春•青浦区期末）函数的定义域为x≠﹣1．【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案．【解答】解：由题意可得x+1≠0，y＝的定义域为x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件得出x+1≠0是解题的关键．9．（2022•崇明区二模）函数中自变量x的取值范围是x＞﹣．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得：3x+1＞0，解得：x＞﹣，故答案为：x＞﹣．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．（2022秋•宝山区期末）已知：函数f（x）＝﹣3x．（1）求这个函数的定义域；（2）计算．【分析】（1）根据分母不等于0即可得到函数定义域；（2）把自变量x＝2和分别代入函数解析式进行计算即可求解．【解答】解：（1）根据题意得，x﹣1≠0，解得x≠1，∴定义域为x≠1；（2）f（2）＝﹣3×2＝3﹣6＝﹣3，f（）＝﹣3＝3（+1）﹣3＝3+3﹣3＝3．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．五．函数值（共5小题）11．（2022秋•杨浦区期末）已知f（x）＝，那么f（）＝3．【分析】将x＝代入函数表达式，化简即可．【解答】解：由题意将x＝代入函数表达式，则有：f（）＝．故答案为：3．【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．12．（2022秋•黄浦区校级期末）已知函数，则f（6）＝2．【分析】把x＝6代入计算即可．【解答】解：f（6）＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数值，理解函数值的定义是解决问题的前提，把x的值代入函数关系式按照关系式指明的运算进行计算是得出正确答案的关键．13．（2022秋•徐汇区期末）已知函数f（x）＝，那么f（1）＝﹣．【分析】根据所给的函数关系式求解即可．【解答】解：由题意，，故答案为：．【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．14．（2022秋•徐汇区校级期末）如果函数f（x）＝，那么f（3）＝2+．【分析】把x＝3代入解析式求解．【解答】解：f（3）＝＝2+，故答案为：2+．【点评】本题考查了求函数值，掌握有理数的运算是解题的关键．15．（2022秋•青浦区校级期末）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝0．【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．六．函数的图象（共4小题）16．（2022秋•杨浦区期末）如图：某人从甲地行走到乙地的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是1.25小时．【分析】根据速度＝路程÷时间求出行驶的速度，再根据时间＝路程÷速度进行计算即可得解．【解答】解：由图可知，速度＝12÷3＝4千米/时，所以，行走5千米所用的时间＝5÷4＝1.25小时．故答案为：1.25．【点评】本题考查了函数图象，准确识图，确定出路程和时间然后求出此人的速度是解题的关键．17．（2021秋•金山区期末）小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：（1）小强去学校时下坡路长2千米；（2）小强下坡的速度为0.5千米/分钟；（3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是14分钟．【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．【解答】解：（1）由题意和图象可得，小强去学校时下坡路为：3﹣1＝2（千米），故答案为：2；（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）＝0.5千米/分钟，故答案为：0.5；（3）小强上坡时的速度为：1÷6＝千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：＝14（分钟），故答案为：14．【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油；运输飞机的油箱有余油量40吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需10分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟0.1吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行11.5小时．【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．【解答】解：（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．19．（2022秋•嘉定区期中）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示．（1）乙比甲先出发0.5小时．（2）甲骑行的速度是每小时千米．（3）相遇后，甲的速度大于乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）．（4）甲比乙少用了1小时．【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．【解答】解：由题意可得：（1）乙比甲先出发0.5小时．故答案为：0.5；（2）甲骑行的速度为：＝（千米/小时）．故答案为：；（3）相遇后，甲的速度大于乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）．故答案为：大于；（4）甲比乙少用了1小时．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．七．动点问题的函数图象（共3小题）20．（2023春•静安区期末）如图1，矩形ABCD中，E是对角线AC上一个动点（不与点A重合），作EF⊥BC，交BC于点F，联结BE，如果设CF＝x，△ABE面积为y，那么可得y关于x的函数图象（如图2所示）．（1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；（2）求△ABC的面积及矩形对角线AC的长．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先根据题意得到当x＝0时，点E于点C重合，进而得到△ABC的面积为24；然后由y＝0，解得x＝6，最后利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，∴将（0，24），（4，8），代入得，，∴解得，∴y＝﹣4x+24；当x＝0时，即﹣4x+24＝0，解得x＝6，∵点E不与点A重合，∴定义域为0≤x＜6；（2）当x＝0时，点E与点C重合，∴S△ABC＝S△ABE＝24，∴△ABC的面积为24；由（1）可得，当y＝0时，解得x＝6，∴BC＝FC＝6，∵S△ABC＝24，四边形是矩形，∴•AB•BC＝24，即•AB×6＝24，∴AB＝8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝10．【点评】此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．（2015秋•松江区期中）如图，已知边长等于8个单位长度的两个完全相同的正方形ACBF、BDEF有公共边BF，且CB与BD均在直线L上，将正方形ACBF沿直线L以1单位/秒向右平移，设移动时间为t秒，正方形ACBF在移动过程中与正方形BDEF重叠的面积为S，试求：（1）当点B移动到线段BD上时，写出S与t的函数解析式，并写出定义域．（2）在整个移动过程中，当点C移动到线段BD上时（不与B、D重合），写出S与t的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）根据题意画出图形得出重叠部分是长为t、宽为8的矩形，据此可得；（2）根据题意画出图形得出重叠部分是长为16﹣t、宽为8的矩形，据此可得．【解答】解：（1）如图1，当点B移动到线段BD上时，BB′＝t，BF＝8，S＝8t（0≤t≤8）；（2）如图2，当点C移动到线段BD上时，BB′＝t，则BC＝t﹣8，∴CD＝8﹣（t﹣8）＝16﹣t，则S＝8（16﹣t）＝128﹣8t（8＜t＜16）．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，根据图形的变化情况画出图形、分类讨论是解题的关键．22．（2010秋•浦东新区期中）如图，已知正方形ABCD的边长是3厘米，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA方向运动至点A停止．设点P运动的路程为x厘米，△ABP的面积为y平方厘米．（1）当动点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（2）当动点P在DC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（3）当x取何值时，△ABP的面积为1.5平方厘米？【分析】（1）利用当动点P在BC上运动时，利用三角形面积求法得出即可；（2）利用当动点P在DC上运动时，结合图象得出三角形面积是定值；（3）分别利用△ABP的面积为1.5平方厘米，当P在BC上时，以及当P在AD上时，求出即可．【解答】解：（1）∵当动点P在BC上运动时，正方形ABCD的边长是3厘米，∴△ABP的面积为：y＝×AB×BP＝×3x即（0＜x≤3）；（2）∵当动点P在DC上运动时，∴△ABP的面积为：×3×3＝，即，（3≤x≤6）；（3）如图所示：△ABP的面积为1.5平方厘米，当P在BC上时，则y＝x＝1.5，解得：x＝1，当P在AD上时，则y＝×AP×AB＝（9﹣x）＝1.5，解得：x＝8，综上所述：x＝1或x＝8时，△ABP的面积为1.5平方厘米．【点评】此题主要考查了动点函数的应用，利用数形结合以及三角形面积求出是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列图象中表示y是x的函数的有几个（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据函数的定义逐个图象判断，即可得出答案．【详解】对于第一个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意；对于第二个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；对于第三个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；对于第四个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意．符合题意有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．2．（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，M是CD边的中点，点P按的顺序在边上运动，设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分三种情况：如图1所示，当点P在AB上运动时，如图2所示，当点P在BC上运动时，如图3所示，当点P在CM上运动时，求出y与x的关系式，即可得到答案．【详解】解：如图1所示，当点P在AB上运动时，由题意得：，∴；如图2所示，当点P在BC上运动时，由题意得：，∴，∵M是CD的中点，∴，∴；如图3所示，当点P在CM上运动时，由题意得，∴，∴可知当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，当，y随x增大而减小，故选A．【点睛】本题主要考查了判断函数图象，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．3．（2022春·上海·八年级校考期中）如图反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中，汽车离开甲地的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的函数关系．已知汽车在途中停车加油一次，根据图象，下列描述中，不正确的是（

）A．汽车在途中加油用了10分钟 B．汽车在加油前后，速度没有变化C．汽车加油后的速度为每小时90千米 D．甲乙两地相距60千米【答案】B【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．【详解】解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确；B、汽车加油前的速度为千米/分；汽车加油后的速度为千米/分；汽车在加油前后，速度发生了变化，故本选项错误；C、由B可知，汽车加油后的速度为×60=90千米/时；故本选项正确；D、由图可知，甲、乙两地相距60千米；故本选项正确．故选：B．【点睛】此题考查了函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：路程=速度÷时间．4．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡速度仍保持不变，则小明从学校骑车回家的时间是（）分钟．

A．30 B．31 C．32 D．33【答案】D【分析】根据函数图象结合速度路程时间求出小明上坡和下坡的速度，然后根据时间路程速度求出小明从学校骑车回家的时间即可．【详解】解：由函数图象可知上坡的速度为，下坡的速度为，∴小明从学校骑车回家的时间，故选D．【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象求出上坡和下坡的速度是解题的关键．5．（2023·上海·八年级假期作业）当时，函数的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将，代入函数解析式即可求解．【详解】解：当时，故选：B．【点睛】本题考查了求函数值，将自变量的值代入解析式是解题的关键．6．（2022秋·八年级单元测试）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（）A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义即三角形的周长公式列出底边y关于腰长x之间的函数关系式，根据三角形的三边关系以及底边大于0，列出不等式组，进而求得定义域．【详解】一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，即即解得即解得底边y关于腰长x之间的函数关系式为故选B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题7．（2021秋·上海·八年级期中）已知常值函数f(x)=3.那么f(7)=_____.【答案】3.【分析】根据常值函数的意义，即可得到答案.【详解】解：∵f(x)是常值函数，且f(x)=3，∴f(7)=3；故答案为3.【点睛】本题考查了常值函数的意义，解题的关键是掌握常值函数的意义，无论x取何值，函数值都是3.8．（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为___________．【答案】【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解．【详解】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：，即y关于x的函数解析式为．故答案为：【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．（2023·上海·八年级假期作业）函数的自变量的取值范围是______．【答案】且【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案．【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即，根据分式的意义可知：，即，且．故答案为：且．【点睛】本题考查的是二次根式的意义和分式的意义，解题的关键在于熟练掌握相关意义．二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分母不为0．10．（2023·上海·八年级假期作业）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有320米，其中正确的结论有_________．【答案】①②/②①【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．【详解】解：根据图象，甲步行分钟走了米，甲步行的速度为米分，故①正确；由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了分钟追上甲，故③错误；乙的速度为米分，则乙走完全程的时间为分，故②正确；当乙到达终点时，甲步行了米，甲离终点还有米)，故④错误；综上，正确的结论有①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．11．（2022秋·上海·八年级期末）已知f(x)=kx，f()=2，那么k=___________．【答案】【分析】把x=代入解析式，可得k=2，进而即可求解．【详解】∵f(x)=kx，f()=2，∴x=时，k=2，解得：k=．故答案为：【点睛】本题考查正比例函数，熟练运用待定系数法是解题关键．12．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知函数，若，则________．【答案】【分析】根据已知函数的形式代入求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键．13．（2023·上海·八年级假期作业）按图的程序，当时，函数值______．【答案】2【分析】根据确定要代入的相应函数关系式后，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求函数值，解题的关键是确定要代入的函数关系式．14．（2023·上海·八年级假期作业）若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为________，这样行走20公里需要_______小时．【答案】【分析】根据路程=速度×时间可得函数解析式，再令，求出x，换算可得时间．【详解】解：∵路程=速度×时间，∴行走路程y与x的关系即为，令，则，∴，∴行走20公里需要小时，故答案为：，．【点睛】本题考查了函数解析式，求自变量值，注意路程、速度、时间的关系以及单位的换算．15．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）函数的定义域为______．【答案】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】的定义域为，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的定义域，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）已知，那么______．【答案】【分析】根据函数的定义求函数值，将代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．17．（2021秋·上海·八年级期中）如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为，△ABP的面积为，如果关于的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是_____．【答案】10【详解】解：根据题意可得：AB=5，BC=4，∴△ABC的面积是：×4×5=10．故答案为1018．（2021秋·上海·八年级期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．【答案】100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，0~15分的速度：；25分~35分的速度：；45分~50分的速度：；∵，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．三、解答题19．（2023·上海·八年级假期作业）求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)全体实数(2)(3)(4)【分析】（1）根据一次函数有意义的条件求解即可；（2）根据二次根式有意义的条件求解即可；（3）利用分式有意义的条件求解即可；（4）利用二次根式及分式有意义的条件求解即可【详解】（1）解：为任意值，都有意义，即函数定义域为全体实数；（2）；（3）；（4）．【点睛】题目主要考查函数的定义域，即满足代数式有意义的条件，熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题关键．20．（2023春·上海·八年级专题练习）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．(1)列车共运行了___分钟(2)列车开动后，第3分钟的速度是___千米/小时．(3)列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了___分钟．(4)列车从___分钟开始减速．【答案】(1)8(2)300(3)2(4)5【分析】根据函数图象上点的坐标的实际意义，解答即可．【详解】（1）解：列车共运行了8分钟；故答案为：8；（2）列车开动后，第3分钟的速度是300千米小时；故答案为：300；（3）列车的速度从0千米小时加速到300千米小时，共用了2分钟；故答案为：2；（4）列车从5分钟开始减速．故答案为：5．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．21．（2023春·上海普陀·八年级统考期中）张师傅、王师傅两人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段分别反映了张师傅、王师傅步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，解答下列问题：(1)王师傅比张师傅晚出发分钟；(2)王师傅步行的速度为千米/分钟；(3)王师傅比张师傅早到乙地分钟.【答案】(1)10(2)0.1(3)6【分析】（1）根据函数图象即可直接得出结果；（2）结合图象得出王师傅走的时间为分，用路程除以时间即为速度；（3）分别求出两人相遇后剩余路程所需时间即可．【详解】（1）解：根据函数图象得：王师傅比张师傅晚出发10分钟；故答案为：10；（2）王师傅走的时间为：分，千米/分钟，故答案为：；（3）王师傅剩余路程步行的时间为分钟，张师傅的速度为：千米/分钟，剩余路程步行的时间为分钟，王师傅比张师傅早到乙地分钟，故答案为：6．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，有理数的四则运算，理解题意，由图象得出相关信息是解题关键．22．（2023·上海·八年级假期作业）收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油(1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？(2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？(3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？(4)在此函数关系式中，求函数定义域．【答案】(1)油箱还剩41千克的油(2)使用收割机工作的时间为6小时(3)(4)函数定义域为【分析】（1）用所盛油量减去4小时消耗的油量即可；（2）用所盛油量减去用掉的油量，再除以耗油速度即可；（3）根据剩下的油=总油量每小时耗油量×工作时间即可列出关系式；（4）求出用所盛油量可供使用的时间即可得到定义域．【详解】（1）解：由题意可得，，即收割机工作了4小时，油箱还剩油；（2）（小时），即如果油箱里用掉油，那么使用收割机工作的时间为6小时；（3）由题意可得，，即油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式是；（4）当时，，得，即函数定义域是．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23．（2023·上海·八年级假期作业）一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:所售豆子数量x（千克）01234售价y（元）012345678(1)上表反映的变量是_____和____，___