24.5相似三角形的性质（第1课时）（作业）

24.5相似三角形的性质（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•金山区校级月考）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：因为两个相似三角形的相似比为1：4，所以这两个三角形的对应高的比为1：4．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．（2020秋•浦东新区期中）如果两个相似三角形对应角平分线之比是2：3，那么它们的对应边之比是（）A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．：【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形对应角平分线的比是2：3，∴它们的相似比为2：3，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．3．（2019秋•青浦区期末）如果两个相似三角形对应边之比是1：2，那么它们的对应高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：2，∴它们的对应高之比是1：2，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．（2021秋•宝山区校级月考）如果两个相似三角形对应边中线之比是1：4，那么它们的对应高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】先根据相似三角形的对应中线之比是1：4得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线之比是1：4，∴其相似比等于1：4，∴它们的对应高之比是1：4．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应中线的比和对应高的比的比等于相似比是解答此题的关键．二．填空题（共10小题）5．（2021秋•浦东新区校级期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是对应角的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝9．【分析】根据相似三角形的性质周长比等于相似比等于对应角的角平分线的比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，∴相似比为，∴＝，∵BE＝12，∴B1E1＝9，故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．6．（2021秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为65°、37°，则另一个三角形的最大的内角度数为78°．【分析】根据相似三角形的性质得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度数，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的内角度数是78°，故答案为：78°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等．7．（2021秋•闵行区期末）两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为3厘米．【分析】设另一个三角形对应边上的高为x厘米，根据相似三角形的性质得出＝，再求出x即可．【解答】解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，∵两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，∴＝，解得：x＝3，∴另一个三角形对应边上的高为3厘米，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：①相似三角形的面积之比等于相似比的平方，②相似三角形的对应高之比等于相似比．8．（2021秋•金山区校级期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝3：2．【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案为：3：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．9．（2021秋•杨浦区期中）已知△ABC∽△DEF，且点D与点A对应，点E与点B对应，若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝60度．【分析】根据相似三角形的对应角相等解得．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°；故答案为：60．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等的应用，三角形内角和的应用是解题关键．10．（2020秋•虹口区期末）已知△ABC∽△A'B'C'，顶点A、B、C分别与顶点A'、B'、C'对应，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的长是1.6．【分析】利用“相似三角形的周长比等于对应的中线的比”求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，∴BC：B′C′＝AD：A′D′，∴2.4：A′D′＝3：2，∴A'D'的长是1.6，故答案为：1.6．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．11．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是2或12或．【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可．【解答】解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，解得，x＝，综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．12．（2021秋•松江区月考）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝40度．【分析】根据相似三角形对应角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形内角和等于180°列式进行计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，∴∠B＝∠B′＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等，三角形内角和定理，熟记性质并准确找出对应角是解题的关键．13．（2021秋•青浦区期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为2：3．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：2：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．14．（2021秋•静安区校级期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，点D为边AB的中点，点E在边AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．【分析】当△ABC∽△ADE时，，代入相关数值解答．【解答】解：当△ABC∽△ADE时，，∵点D为边AB的中点，∴AD＝AB＝4，∴，即AE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【能力提升】一．选择题（共4小题）1．（2019秋•黄浦区期末）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DFE，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故选：C．【点评】考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．（2018秋•浦东新区期中）一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（）A． B． C．9 D．10【分析】题干中另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则其可能与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例，也可能也边长为4的对应成比例，亦有可能与边长为5的成比例，所以应分开讨论．【解答】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：6，10；当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；则这个三角形的边长不可能是9，故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．3．（2017秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】若△AMN∽△ACB，则∠AMN＝∠C＝40°，再根据直线l平行于BC，可得∠ADE＝∠B＝80°，进而得到∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即可得出旋转角的大小．【解答】解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN∽△ACB，则∠AMN＝∠C＝40°，又∵直线l平行于BC，∴∠ADE＝∠B＝80°，∴∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即直线l旋转前后的夹角为40°，∴旋转角为40°，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及旋转的性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．4．（2018秋•杨浦区期中）如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有一个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个【分析】由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或．∴x的值可以有2个．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的性质与勾股定理，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．二．填空题（共8小题）5．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为100°或115°．【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．【解答】解：①当AD＝AC时，如图1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．综上所述，∠ACB＝100°或115°．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．6．（2021秋•闵行区校级月考）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝90°，D是AB边的中点，点E在直线AC上，且△ADE与△ABC相似，则CE＝2或0.5或6或8.5．【分析】求出AD的长，先画出符合题意的四种图形，根据相似三角形的性质得出比例式，求出AE的值，再求出CE即可．【解答】解：∵AB＝6，D为AB的中点，∴AD＝3，有两种情况：①点E在射线AC上时，有两种情况：第一种情况：如图1，此时＝，所以＝，解得：AE＝2，所以CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2；第二种情况：如图2，此时＝，所以＝，解得：AE＝4.5，所以CE＝AE﹣AC＝4.5﹣4＝0.5；②当E在AC的反向延长线时，有两种情况：第一种情况：如图3，此时AE＝2；所以CE＝AC+AE＝4+2＝6；第二种情况：如图4，此时AE＝4.5，所以CE＝A+AE＝4+4.5＝8.5；故答案为：2或0.5或6或8.5．【点评】本题考查了相似三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键．7．（2021秋•闵行区期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为65°、37°，则另一个三角形的最大的内角度数为78°．【分析】根据相似三角形的性质得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度数，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的内角度数是78°，故答案为：78°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等．8．（2019秋•黄浦区期末）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是8或．【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【解答】解：如图∵∠DAE＝∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴当△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案为：8或【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．9．（2019•徐汇区校级自主招生）已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．【分析】根据相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得AE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．10．（2018•徐汇区二模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为．【分析】设AB＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴，设AB＝x，∴22＝x，∵x＞0，∴x＝4，∴AC＝AD＝4﹣1＝3，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD＝．故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．11．（2010秋•宝山区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝4或．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB边的中点，即可求得AB与CD的值，又由以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，可得∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PC的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB边的中点，∴CD＝BD＝AB＝5，∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，∴＝，∴BP＝BC＝4，则PC＝4；（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，∴，即，∴PC＝．∴PC＝4或．【点评】此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用．12．（2017秋•黄浦区期末）已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝80度．【分析】利用相似三角形的性质求出∠B的度数，再根据三角形内角和定理即可解决问题；【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°故答案为80；【点评】本题考查相似三角形的性质、内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共2小题）13．（2009秋•南汇区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP＝x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中运用三角函数即可求得AF的长，再在直角△ACF中，根据勾股定理即可求解；（2）过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，应分为，AE＝AB，BE＝AB，AB＝AE（根据∠BAE是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论．【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC于F．在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°∴AF＝ABsin∠ABF＝4si