第3章 因式分解（B卷·能力提升练）-【单元测试】七年级数学下册分层训练AB卷（湘教版）（解析版）

班级姓名学号分数第3章因式分解（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题(共40分)1．(本题4分)下列从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义分析判断即可．【详解】解：A.，原变形错误，不符合题意；B.，是单项式乘多项式，不是因式分解，故不符合题意；C.，是因式分解，故符合题意；D.，是多项式乘多项式，不是因式分解，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解，理解因式分解的定义是解题关键．2．(本题4分)下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A、不能进行因式分解，不符合题意；B、，原因式分解错误，不符合题意；C、，原因式分解错误，不符合题意；D、，因式分解正确，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．3．(本题4分)将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．4．(本题4分)一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：，请问正确的结果为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．(本题4分)已知，，则的值为（）A．3 B．6 C．8 D．11【答案】B【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键．6．(本题4分)已知，，则（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：，，．故选：A．【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．7．(本题4分)若能分解成两个一次因式的积，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先设原式，进而求出即可．【详解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故选C．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．8．(本题4分)在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：，当，时，，，，∴上述方法生成的密码可以是．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．9．(本题4分)已知，，，那么，代数式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴；故选D．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．10．(本题4分)将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．【详解】解：如下图：，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．二、填空题(共32分)11．(本题4分)因式分解______．【答案】【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．12．(本题4分)已知多项式能分解为，则______，______．【答案】

；

．【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可．【详解】解：∵．∴展开式乘积中不含、项，∴，解得：．故答案为：，．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．13．(本题4分)已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______．【答案】【分析】根据长方形的周长及面积得到，，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可．【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键．14．(本题4分)若多项式因式分解的结果是，则______．【答案】【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．【详解】解：∵多项式分解因式的结果为，∴，故，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘方运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．15．(本题4分)已知，则的值为________________．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据等式得出系数相等，进而求得，将代数式因式分解然后整体代入即可求解．【详解】解：∵，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．16．(本题4分)甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____．【答案】【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可．【详解】解：∵甲看错了，分解结果为，∴由，可知，又∵乙看错了，分解结果为，∴由，可知，∴，∵，∴正确的分解结果为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值．17．(本题4分)若a，b都是有理数，且满足，则_____________．【答案】1【分析】由，可得可得，，再代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，∴故答案为：1．【点睛】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，乘方运算的符号的确定，求解是解本题的关键．18．(本题4分)如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为________．【答案】【分析】根据可设a＝3x，b＝2x，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根据即可列出等式化简整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．【详解】解：∵，∴设a＝3x，b＝2x，则AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C长方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．三、解答题(共78分)19．(本题8分)因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．20．(本题8分)利用因式分解计算(1)(2)【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式，再进行计算即可．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．21．(本题8分)下面是乐乐同学把多项式分解因式的具体步骤：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________．(2)请给出这个问题的正确解法．【答案】(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可）(2)【分析】（1）观察同学的解法，找出错误原因即可；（2）写出正确解法即可．【详解】（1）解：造成错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；（2）解：

．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．22．(本题10分)已知：x、y满足：（x+y）2=5，（x﹣y）2=41；求x3y+xy3的值．【答案】-207【详解】试题分析：直接利用已知将原式变形得出x2+y2=23，xy=-9，进而求出答案．试题解析：∵（x+y）2=5，（x﹣y）2=41，∴（x+y）2+（x﹣y）2=46，则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=46，2（x2+y2）=46，故x2+y2=23，（x+y）2﹣（x﹣y）2=﹣36，则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2=﹣36，故4xy=﹣36，则xy=﹣9，x3y+xy3=xy（x2+y2）=﹣9×23=﹣207．23．(本题10分)试说明：(n为正整数)能被24整除．【答案】见解析【分析】利用平方差公式分解因式，得出，即可证明能被24整除．【详解】解：，∵n为正整数，∴为正整数，∴能被24整除，∴能被24整除．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式．24．(本题10分)常用的分解因式的方法有提取公因式法、运用公式法．有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式．如分解因式：这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决以下问题：三边满足，判断的形状．【答案】等腰三角形【分析】根据分组分解法对整式的左边进行因式分解，由此可确定的三边的关系．【详解】解：由，得，∴，，∴，或者，即，或者，∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查因式分解的方法，理解题目中分组分解法进行因式分解是解题的关键．25．(本题12分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．26．(本题12分)(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二