数理统计：随机事件和概率

第二章随机事件和概率

第一讲随机事件及其概率一、随机试验和随机事件（一）随机现象在一定条件下可能发生，也可能不发生的现象称为随机现象，亦称为不确定现象。这种现象在现实生活中是大量存在的。如抛硬币的现象，一种新药的疗效试验，未来天气预测，考试之前的成绩预测等等。虽然随机现象在个别观察或试验中其结果存在不确定性，但是通过大量重复观察或试验，就不难发现其结果具有一定的规律性（称为统计规律性），概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的数学学科。

（二）随机试验对随机现象的研究总是通过试验来进行的（这种试验是具有广泛含义的术语，因此我们把对随机现象的观察也称为试验）。具有以下三个特征的试验称为随机试验：（1）试验在相同条件下可重复进行（重复性）；（2）试验的所有可能结果事先是明确已知的，且不止一个（多样性）；（3）在进行试验之前不能确定哪个结果会出现（不确定性）。如：观察抛一枚均匀骰子出现的点子数，观察抛三次均匀的硬币出现正面或反面向上的次数等。

（三）随机事件

1．基本事件一次随机试验的每个可能结果都称为基本事件（或样本点），记为

。

一次试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为

。

2．复合事件由几个基本事件组成的集合称为复合事件。

3．随机事件基本事件和复合事件都称为随机事件，一般用大写字母A、B、C、D等表示。

4．必然事件在一次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为

，显然，样本空间就是必然事件。

5．不可能事件在一次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为

。

注：必然事件和不可能事件不具有不确定性，但为了方便，仍视为特殊的随机事件。例：考察随机试验：“抛一枚骰子，观察其出现的点子数”，可设ｉ＝｛抛一枚骰子所出现的点数为ｉ｝，则该试验共有6个基本事件：｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝，｛6｝，其样本空间为：

＝｛1，2，3，4，5，6｝。

出现奇数点可表示为：

A＝｛1，3，5｝。出现偶数点可表示为：

B＝｛2，4，6｝。

｛出现的点数不超过6点｝的事件是必然事件，｛出现场7点｝的事件是不可能事件。二、随机事件间的关系和运算

（一）事件间的关系

1．包含与相等

◆如果事件A发生则事件B一定发生，则称事件B包含事件A，记为B

A或A

B。例：抛一枚骰子，记A＝｛3｝，B＝｛出现奇数点｝则A

B，又记A＝｛某人活到50岁｝，

B＝｛该人活到60岁｝，则B

A。◆对任一事件A皆有

A

◆如果A

B

且A

B，则称A与B相等，记为

A＝B

V图：

BAABBAA∪BBAA∩BA与B互不相容BAAA的对立事件BAB-A

2．事件的和（或并）称事件“A与B至少有一个发生”为A与B的和，记为A+B（或A∪B）。

V图：推广：称事件中至少有一个发生的事件为事件的并，记为

3．事件的积（或交）称事件“A与B都发生”为事件A与B的积（或交），记为AB（或A∩B）。简记为

推广：称事件“都发生”为事件的积（或交），记为

如抛一枚骰子，记A＝｛出现的点数≤3｝，

B＝“出现偶数点”，则

A＋B＝｛1，2，3，4，6｝，

AB＝｛2｝

4．事件的差称事件“B发生A不发生”为B与A的差，记为

B－A，它由属于B而不属于A的所有基本事件组成的集合。

V图：例：抛一枚骰子，记A＝｛出现点数>3｝，

B＝｛出现奇数点｝，则A－B＝｛4，6｝，

B－A＝｛1，3｝。

5．事件的互不相容如果A和B不能同时发生，称A与B互不相容。即A与B没有共同的基本事件，亦即AB=

。

V图：

例：抛一枚骰子，记A＝｛出现点数>3｝，

B＝｛1，2｝，则A与B互不相容。

6．对立事件称事件“A不发生”为A的对立事件（或逆事件），记为，它由样本空间中所有不属于A的基本事件所组成。

由此可以看出,Ａ与互为对立事件，而在一次试验中它们中必有且只有一个发生。即有：

Ａ＋

＝

Ａ＝

，

V图：因此又有

（二）事件的运算规律（1）交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋ＡＡＢ＝ＢＡ（2）结合律

Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋ＣＡ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ（3）分配律（Ａ＋Ｂ）Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣＡ＋（ＢＣ）＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ＋Ｃ）

（4）对偶律

先求“对立”，再求“积”，最后求“和”、“差”，遇有括号，先算括号事件运算顺序：例：某种新药依次用于三名患者的治疗，A、B、C分别表示第一，第二，第三人服用该药有效，试用A、B、C三个事件表示下列事件：

三、古典概率◆概率的描述性定义事件A发生的概率是指事件A在一次试验中出现的可能性的大小的数值度量，用Ｐ（A）表示。◆古典概型（有限等可能概型）具有下列两个特点：（１）试验的可能结果即基本事件总数是有限的；（２）每个基本事件发生的可能性相同。的随机试验的数学模型称为古典概型（有限等可能概型）。

◆古典概率的定义（计算公式）

设随机试验是古典概型，其样本空间的基本事件总数为ｎ，若事件Ａ由其中的ｍ个基本事件组成，则事件Ａ发生的概率是

◆概率的基本性质（公理化性质）（１）非负性：对任一事件Ａ，有Ｐ（Ａ）≥０（２）规范性：对于必然事件，有Ｐ（）＝１对于不可能事件

，有Ｐ（

）＝０（３）可列可加性：若Ａ１，．．．，

Ａｎ，．．．是两两互不相容的事件，则有Ｐ（Ａ１＋Ａ２＋…＋Ａｎ＋…）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ）＋…

例：箱中装有七件药品，其中有三件不合格，从中任取三件来检验，试求下列事件的概率：（１）Ａ＝“三件中有一件不格”；（２）Ｂ＝“三件中至少有一件不合格”解：从七件药品中任取三件这一试验的基本事件（每一种选法为一个基本事件，每种选法是等可能的）总数为（１）对于事件Ａ，其所含的基本事件数即所的三件中有两件次品的取法有

（２）对于事件Ｂ，其所含的基本事件数即三件中至少有一件次品的取法有

例：某城市的电话号码由０,１,２,３,４,５,６,７,８,９这１０个数字中的任意８个数字组成,试求下列事件出现的概率：（１）Ａ＝“数字各不相同的电话号码”；（２）Ｂ＝“不含２和７的电话号码”；（３）Ｃ＝“５恰好出现两次的电话号码”。解：一种号码可视为一个基本事件，则从１０个数字中可重复任选８个数字组成８位数号码的基本事件总数为

（１）对事件Ａ，所包含的电话号码数为（２）对于事件Ｂ，由于不含２和７，故Ｂ包含的基本事件数为

（３）对于事件Ｃ，首先从８个位置中任选２个位置安排５，共有种选法，其余６位数有９６种选法，因此事件Ｃ包含的基本事件数为四、几何概率◆古典概率的前提条件是试验的可能结果数有限。如果随机试验的可能结果有无限多个时，又如何解决某事件Ａ发生的概率呢？几何概型就是解决这类问题的数学模型。◆几何概型具有以下两个特点：（１）试验的样本空间对应于一个测度有限的几何区域Ｓ，对试验中的任一事件Ａ必有Ｓ内的某子区域Ｇ与其对应；（２）每个试验结果出现的可能性相同，即任一事件发生的概率只与其对应区域Ｇ的测度在区域Ｓ的测度中所占比例有关，而与Ｇ的形状无关的随机试验的数学模型称为几何概型。◆几何概率的定义（计算公式）设随机试验的样本空间对应的几何区域Ｓ的测度为（S）,事件Ａ对应的几何区域Ｇ的测度为（G），则定义事件Ａ发生的概率为解；设ｘ、ｙ为所取的真分式，其可能取值为０≤ｘ≤１；０≤ｙ≤１，设立直角坐标系（见下页）：则点（x,y）的样本空间对应于图中面积为1的正方形区域Ｓ，且其测度（S）＝1,记事件Ａ＝｛(x,y)|xy≤2/9;x+y≤1｝,事件Ａ发生的充要条件是x,y满足要求０≤x,y≤1;x+y≤1;xy≤2/9。Ａ对应于图中区域Ｇ（阴影部分），其测度

ｙ１Ｇ１

例：某码头只能停泊一艘船，现有甲，乙两船都将在２４小时内到达该码头，如果甲，乙两船的停留时间分别为４小时和３小时，试求有一艘船需要等待码头空出的概率。解：以ｘ，ｙ分别表示甲，乙两船到达码头的时刻，由于两船到达时刻的随机性，故（ｘ，ｙ）在其样本空间：

＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ，ｙ≤２４｝内随机、等可能取点，对应的区域Ｓ的测度为（Ｓ）＝２４×２４＝５７６

事件Ａ＝｛其中有一艘船需要等待码头空出｝发生的充要条件是：

０≤ｘ，ｙ≤24，ｘ－ｙ＜3，ｙ－ｘ＜4。事件Ａ对应于图中阴影区域Ｇ，Ｇ的测度为

（G）＝242－202÷2－212÷2＝155.5，所以

24Gｘｙ０2434x-y=3y-x=4求解几何概率问题一般步骤：（１）审察问题是否符合几何概型的特点；（２）确定样本空间和相应的事件Ａ，确定Ａ和对应的几何区域Ｇ和Ｓ；（３）求出测度（Ｇ）和（Ｓ），它们可能是平面上线段的长度、平面上平面区域的面积、三维空间的立体的体积、液体的容积、物体的重量等等；（４）求出事件Ａ的概率。五、统计概率◆频率的定义在相同条件下重复进行ｎ次试验，事件Ａ出现ｍＡ次，则称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。注意：频率是一个变数，不可与古典概率混淆（是定数）◆频率的稳定性虽然事件的频率随着试验次数的变化而变化，但在大量的重复试验中，事件出现的频率却具有一定的稳定性。当试验次数足够多时，频率将随着试验次数ｎ增多而逐渐稳定地趋于某个固定的常数ｐ。这就是频率的稳定性。

（请看教材的有关掷硬币的试验资料）◆概率的统计定义在相同条件下重复进行ｎ次试验，当ｎ很大时，事件Ａ出现的频率

稳定地在某一常数值ｐ附近波动，且当ｎ越大时幅度越小，逐渐趋于稳定。则称该常数ｐ为事件Ａ在一次试验中发生的统计概率。且有常用于概率不易求出的概率计算。

例:国家《新药审批法》规定，新药临床试验一般不得少于３００例，并设对照组。如果某种新在３５０例临床试验中有２７８例例有效，则该新药的有效率是于是可以认为该新药的有效率为０．７９４。

例：从某鱼塘中随机取１００条鱼，做上记号后放回，现又从该鱼塘中随机取５０条鱼，发现其中有两条有记号，问该鱼塘中大约有多少条鱼？

◆主观概率现实生活中，某事件发生的概率计算，因不满足古典概率、几何概率和统计概率的试验的特点，如某种新药上市能够畅销的概率有多大？又如你认为吃了感冒药在三天内感冒能治好的概率有多大？不能用前述的概率计算，而只能根据自己或别人的经验和掌握的姿料，对某事件发生的可能性大小加以主观估计，用以确定该事件发生的概率。此称种概率为主观概率。

作业：１．Ｐ５８4572.

随机地向半圆0<y<

内掷一点,点落在该半圆内任一处的可能性相同,试求该点和原点的连线与X轴的夹角小于¼

的概率。

第二章第二讲

一、概率的性质与运算法则

1．（互不相容事件）加法公式如果事件A与B互不相容，即AB=

，则Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）一般：如果事件A1、A2、…、An互不相容，即

AiAj=，ij则有

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

证明：取An+1=An+2=…=，由公理化性质(3)

直接得结论。

2．对立事件公式

3.（事件之差）减法公式（1）对任一事件A、B，有

P（A－B）＝P（A）－P（AB）（2）特别：当B

A时,有

P（A－B）＝P（A）－P（B）且P（A）≥P（B）证明：（1）∵

A＝（A－B）＋AB，且（A－B）∩（AB）＝，由性质1

知P（A）＝P（

（A－B）＋AB）＝P（A－B）＋P（AB）∴

P（A－B）＝P（A）－P（AB）

AB

A+BAB

A-B=A-ABABB-A=B-ABBAA-BAB=B

（2）当BA时，

AB=B，故

P（A－B）＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（B）

由公理性质1，P（A－B）

0，得P（A）P（B）

4．一般加法公式对于任意两个事件A、B，有

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）证明:∵A＋B＝A＋（B－A）＝A＋（B－AB）且A∩（B－A）＝，ABB∴由性质1和性质3（2），知

P（A＋B）＝P（A）＋P（B－AB）＝P（A）＋P（B）－P（AB）。

◆利用事件的运算规律和以上性质可以得到：

对于任意三个事件A、B、C,有

P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）

＋P（ABC）

例:已知P（A）＝0.3，

P（A＋B）＝0.6，试分别就（1）A与B互不相容时；（2）A

B时；（3）P（AB）＝0.1时，求P（B）。

解:（1）∵

A与B互不相容，∴P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

P（B）＝P（A＋B）－P（A）＝0.6－0.3＝0.3

（2）∵A

B,∴A＋B＝B，故P（B）＝P（A＋B）＝0.6

（3）由

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），得P（B）＝P（A＋B）＋P（AB）－P（A）＝0.6＋0.1－0.3＝0.4

例：

设有事件A、B，已知

P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，问：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？最小值是多少？

解：∵P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）∴P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A＋B），故有（1）当A

B时，P（AB）有最大值，且

P（AB）＝P（A）＝0.6（A＋B＝B）

（2）∵P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，∴不可能AB＝，只有A＋B＝时，P（AB）有最小值，且

P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A＋B）＝0.6＋0.7－1＝0.3二、条件概率和事件的独立性

（一）条件概率条件概率是概率论中的一个十分重要而有用的概率，它讨论的是事件B在事件A已发生的条件下发生的概率。在此种情况下需要确定事件A的发生是否真的影响了事件B发生的概率？例：某药检所从送检的10件药品中先后抽检了2件，如果10件中有3件次品，试求：（1）第一次检得次品的概率；（2）两次都检得次品的概率；（3）在第一次检得次品后，第二次检得次品的概率。◆定义对任意两个事件A、B，如果

P（A）＞0

则称为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率，记为P（B／A）。用V图说明：

ABABA发生P(A)P(AB)

（二）乘法公式◆乘法公式对于任意两个事件A、B，若P（B）＞0，则

P（AB）＝P（B）P（A/B）同样，若P（A）＞0，则

P（AB）＝P（A）P（B/A）利用事件运算的结合律可将此公式推广到个事件A1、A2、…、An，当P（A1A2…An-1）＞0时,有

P(A1A2…An)=P(Ａ1）Ｐ（A2/A1）P（A3/A1A2）

…P(An/A1A2…An-1)

例：设有12件药品，其中有4件次品。现从中先后各抽取一件进行检查，试求两次都取得次品的概率。

解：记A＝{第一次抽到次品}，

B＝{第二次抽到次品}

∵P（A）＝4/12，P（B/A）＝3/11∴P（AB）＝P（A）P（B/A）＝4/12×3/11＝1/11

如果改为有放回地抽样，则有

P（A）＝4/12，P（B/A）＝4/12，

P（B）＝4/12

即P（B）＝P（B／A）且P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（A）P（B）＝4/12×4/12＝1/9

此时，事件B发生的概率P（B）没有受到A是否发生的影响，由此引出事件独立性的概念。

例：设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一河流泛滥时，该地区即被淹没。已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0.3，又当甲泛滥会引起乙泛滥的概率为0.4，求：（1）当河流乙泛滥时引起甲泛滥的概率；（2）该时期内该地区被淹没的概率。

解:记A＝｛河流甲泛滥｝,

B＝｛河流乙泛滥｝由题意知

P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，P（B／A）＝0.4，∴P（AB）＝P（A）P（B／A）＝0.2×0.4＝0.08

（1）P（A／B）＝P（AB）／P（B）＝0.08／0.3＝0.0267

（2）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.2＋0.3－0.08＝0.42

（三）事件的独立性◆定义对于任意两个事件A、B，如果满足

P（AB）＝P（A）P（B）则称事件A与B是相互独立的。●定理（也是例题）（1）若P（A）＞0（或P（B）＞0），则A与B相互独立↔

P（B）＝P（B/A）或P（A）＝P（A/B）；

例:设Ａ、Ｂ、Ｃ为随机试验中的三个事件，且Ｐ（B／A）＝0.4，试在以下两种情况下求Ｐ（A＋B）。（1）已知Ｐ（C）＝2P（A）＝0.6，

P（B＋C）＝0.72，且Ｂ与Ｃ相互独立；

解：（１）Ｐ（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）由Ｂ，C的独立性及Ｐ（B＋C）＝0.72，又Ｐ（B＋C）＝P（B）＋P（C）－P（BC）＝P（B）＋P（C）－P（B）P（C）＝P（B）（1－P（C））＋P（C）＝P（B）（1－0.6）＋0.6＝0.72∴P（B）＝0.3在概率论中存不少容易混淆的概念，如事件的互不相容性和相互独立性就是易混的一对概念，它们的区别是：（１）内涵不同，“互不相容”是指两事件不能同时发生，此时，一个事件发生与否对另一事件发生的概率有决定的影响；而“相互独立”则指一个事件发生与否对另一事件发生的概率不会产生影响。（２）应用场合不同，“互不相容性”常用于概率的有限可加的运算，而“相互独立性”常用于简化乘法公式的运算。（３）在一定条件下，它们不能共存（见５９页１２题）。

◆ｎ个事件的相互独立性若ｎ个事件A1、A2、…、An中任意ｋ（2≤ｋ≤ｎ）个事件的积的概率等于这ｋ个事件的概率的积，则称这ｎ个事件相互独立。如事件A、B、C相互独立

Ｐ（AB）＝P（A）P（B）

P（AC）＝P（A）P（C）

P（BC）＝P（B）P（C）

P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）。显然，ｎ个事件相互独立，则其中任意m（2≤m≤n）个事件也相互独立。

注意：如果ｎ个事件Ａ1、A2、…、An相互独立，则有Ｐ（Ａ1A2

…An）

=P（Ａ1）P（A2)）…P（An）。反之，则未必成立。

第二章第三讲

一、全概率公式和贝叶斯公式（一）全概率公式全概率公式是加法公式和乘法公式的一种组合，主要用于较为复杂的事件的概率的计算。方法是将较为复杂的事件分解为若干个互不相容的较为简单的事件，再利用互不相容事件之和的加法公式即可。◆完备事件组●定理（全概率公式）

例：设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占１/４、１/４、１/２。已知一厂、二厂、三厂生产的药品次品率分别为７％，５％，４％。现从中任取一药品，试求该药品是次品的概率。

解：令Ａ＝｛该药品是次品｝（显然Ａ是一复杂事件），Ｂｉ＝｛药品是由ｉ厂生产的｝（ｉ＝１、２、３），显然它们构成一完备事件组，且事件Ａ只能与其中之一事件同时发生。故用全概率公式计算。

例：设人群中有37.5％的人是Ａ型血，20.9％的人是Ｂ型，33.7％的人是Ｏ型，7.9％的人是ＡＢ型，已知允许输血的血型配对如下表（√：允许输血，×：不允许输血）：Ａ型Ｂ型ＡＢ型Ｏ型输血者受血者

Ａ型Ｂ型ＡＢ型Ｏ型√×√√

×√√