2.5.1-直线与圆的位置关系-课件

第二章2.5.1直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝____________代数法：消元得到一元二次方程的判别式Δ____________d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0由题型探究

重点难点个个击破类型一直线与圆的位置关系的判定例1已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离.解方法一(代数法)联立消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2).(1)(3)当直线和圆相离时，Δ<0，(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝±.由条件知，圆的半径为r＝1.方法二(几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离(3)当直线与圆相离时，d>r，(2)当直线与圆相切时，d＝r，(1)当直线与圆相交时，d<r，反思与感悟直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1

(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(

)A.相交 B.相离

C.相交或相切 D.相切解析由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.C(2)过点P(－

，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________________.解析当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，0°≤α≤60°∴0°≤α≤60°.类型二切线问题例2过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：(1)此切线的方程；解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.即15x＋8y－36＝0.解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，(2)其切线段长.∴切线段长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－

，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝b或x＝a.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练2

(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(

)A.－2或12 B.2或－12

C.－2或－12 D.2或12解析圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，D得b＝2或12，故选D.(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：∴点P在圆x2＋y2＝4上，②切线斜率为2.解设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，由圆心到切线的距离为半径，可得：类型三弦长问题例3

(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.解析

方法一(交点法)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.方法二(弦长公式)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.消去y，得2x2－2x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法三(几何法)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________________________.解析设圆的半径为r，由条件，得所以r2＝2＋2＝4，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(x－2)2＋(y＋1)2＝4(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4，求l的方程.解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，所以直线l的斜率存在，设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.方法二若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝

或k＝2，均符合题意.故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.由斜率公式，

得y1－y2＝k(x1－x2).反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝

求解.(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

(直线l的斜率k存在).(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有通常采用几何法较为简便.跟踪训练3已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.(1)证明直线l与圆相交；证明

∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，∴直线l经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C内，∴直线l与圆相交.(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.解由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，∵kOP＝－2，设直线l与圆交于A、B两点，即x－2y＋5＝0.123达标检测

41.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(

)A.相切

B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心

D.相离又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.B12342.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为(

)A.∅ B.(1,1)C.{(1,1)} D.{(－1，－1)}

C12343.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(

)A.0或2 B.0或4 C.2 D.4C解得m＝2或m＝0(应舍去).12344.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2，则k的取值范围是__________.解得k≤0.(－∞，0]规律与方法1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线