苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.8图形的相似(知识梳理+典例剖析+变式训练)特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.8图形的相似精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若ab=cd,则ad=bc．

②合比性质．若③分比性质．若ab=cd,则a−bb=c−dd.

④合分比性质．若ab2.比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．3.平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．4.相似图形（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．5.相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．

（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．

（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．

（4）相似多边形的性质为：

①对应角相等；

②对应边的比相等．6.相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．7.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．8.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9.作图—相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．

（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．10.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．11.位似变换（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：①两个图形必须是相似形；

②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行．

（2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．

（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【典例剖析】【考点1】比例【例1】（2022秋•邗江区月考）若＝，则下列式子正确的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【变式1.1】（2021秋•崇川区校级月考）已知，则的值为（）A．2 B． C．4 D．【变式1.2】（2022秋•高邮市期中）已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（）A．1 B．9 C．20 D．16【变式1.3】（2022秋•相城区校级月考）已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺为（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【考点2】黄金分割【例2】（2022秋•常州期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）A． B． C． D．【变式2.1】（2022春•高新区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【变式2.2】（2022秋•邗江区月考）P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【变式2.3】（2022秋•宜兴市月考）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定【考点3】相似图形【例3】（2022秋•靖江市期中）下列图形中，不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆【变式3.1】（2021秋•溧水区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（）A．70° B．80° C．110° D．120°【变式3.2】（2020秋•如皋市期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【变式3.3】（2022春•吴江区期末）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1【考点4】平行线分线段成比例【例4】（2022秋•滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（）A． B． C． D．【变式4.1】（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，则AC的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【变式4.2】（2022秋•天宁区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．9【变式4.3】（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【考点5】相似三角形的判定条件【例5】（2022秋•海陵区校级期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP•AB D．AC•CP＝AP•CB【变式5.1】（2022秋•锡山区期中）如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．＝【变式5.2】（2022秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④CP•AB＝AP•CB，能满足△APC与△ABC相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【变式5.3】（2022•宿豫区校级开学）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．无数【考点6】相似三角形的性质【例6】（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．21【变式6.1】（2022•沈阳模拟）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD＝8，A'D'＝12，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9；4【变式6.2】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1 B．2 C．8 D．16【变式6.3】（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+【考点7】位似【例7】（2021秋•丹阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，则C'点坐标为（）A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）【变式7.1】（2022春•工业园区期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，则AB的长为（）A．1 B．2 C．8 D．16【变式7.2】（2022秋•邗江区校级月考）如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为2：1，若AB＝8，则DE的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【变式7.3】（2021春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【考点8】作图：相似变换【例8】（2022秋•江阴市校级月考）在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：△ABC的面积为．（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）【变式8.1】（2022春•惠山区期末）按要求作图，无需写作法：（1）如图①，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（2）如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．【变式8.2】（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是．【变式8.3】（2021秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝2，求AD的长．【考点9】作图：位似变换【例9】（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．（1）①以点O为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；②点D坐标为；③△DEF的面积为个平方单位；（2）△ABC的外接圆圆心M的坐标为．【变式9.1】（2022秋•惠山区期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC相似比为2：1；（3）在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分．【变式9.2】（2022秋•靖江市期中）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC顶点AB、C均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BAC是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）若每个小正方形的边长为1，则四边形AMND的面积是．【变式9.3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标为，外接圆⊙P的半径是．（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为．【考点10】相似三角形的性质与判定【例10】（2022秋•高邮市期中）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．【变式10.1】（2022秋•惠山区期中）如图，四边形ABCD中，E在AD边上，DE＝2AE，CE∥AB，BE∥CD．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）已知△ABE面积为3，求四边形ABCD的面积．【变式10.2】（2022秋•惠山区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O．（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB＝7，BC＝5，求的值．【变式10.3】（2022•钟楼区校级模拟）如图①，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．（1）证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．（2）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为．【考点11】相似三角形的应用【例11】（2022秋•滨湖区校级期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板DEF（DP⊥PA），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN．【变式11.1】（2022秋•海陵区校级月考）甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长．【变式11.2】（2022秋•宝应县校级月考）一天晚上，东升和朝阳利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，东升测得朝阳直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着朝阳沿AC方向继续向前走，走到点B处时，朝阳直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1m．已知朝阳直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长．【变式11.3】（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．【考点12】相似综合问题【例12】（2022秋•高邮市期中）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为；【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．【变式12.1】（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，面积为15，点E从点B出发沿折线B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．（1）则菱形的高为；（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长；（3）已知FG＝4，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？请直接写出答案．【变式12.2】（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求证：DE∥AB；（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．【变式12.3】（2022秋•工业园区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．①若DE＝2，BD＝3，求BC的长；②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥BC，交AC的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BCD的面积为S3．若S1•（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.8图形的相似精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若ab=cd,则ad=bc．

②合比性质．若③分比性质．若ab=cd,则a−bb=c−dd.

④合分比性质．若ab2.比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．3.平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．4.相似图形（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．5.相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．

（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．

（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．

（4）相似多边形的性质为：

①对应角相等；

②对应边的比相等．6.相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．7.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．8.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9.作图—相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．

（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．10.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．11.位似变换（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：①两个图形必须是相似形；

②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行．

（2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．

（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【典例剖析】【考点1】比例【例1】（2022秋•邗江区月考）若＝，则下列式子正确的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合题意；B、∵＝，∴≠，故B不符合题意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合题意；D、∵＝，∴＝，故D符合题意；故选：D．【变式1.1】（2021秋•崇川区校级月考）已知，则的值为（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用设k法，进行计算即可解答．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝5k，∴＝＝＝4，故选：C．【变式1.2】（2022秋•高邮市期中）已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是（）A．1 B．9 C．20 D．16【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：A、∵1×12＝3×4，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；B、∵3×12＝9×4，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；C、∵4×12≠3×20，∴这四条线段不能成比例，故本选项符合题意；D、∵4×12＝3×16，∴这四条线段能成比例，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1.3】（2022秋•相城区校级月考）已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺为（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可．【解答】解：∵10km＝100000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故选：C．【考点2】黄金分割【例2】（2022秋•常州期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）A． B． C． D．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm，∴AP＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故选：D．【变式2.1】（2022春•高新区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：D．【变式2.2】（2022秋•邗江区月考）P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【分析】先利用黄金分割的定义即可得到AP是AB和BP的比例中项，再代入数据即可得到方程．【解答】解：∵AB＝10cm，BP＝xcm，∴AP＝（10﹣x）cm，∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP×AB，即（10﹣x）2＝10x，故选：A．【变式2.3】（2022秋•宜兴市月考）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：A．【考点3】相似图形【例3】（2022秋•靖江市期中）下列图形中，不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两个等边三角形一定相似，不符合题意；B、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；C、两个长方形的对应角相等但对应边的比不一定相等，故不一定相似，符合题意；D、两个圆一定相似，不符合题意．故选：C．【变式3.1】（2021秋•溧水区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（）A．70° B．80° C．110° D．120°【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，故选：D．【变式3.2】（2020秋•如皋市期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得a＝3或﹣3（舍弃），∴a＝3，故选：C．【变式3.3】（2022春•吴江区期末）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y＝：1．故选：D．【考点4】平行线分线段成比例【例4】（2022秋•滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（）A． B． C． D．【分析】由AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，易得△ADE是等腰三角形，△CDE∽△CBA，又由＝，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴＝＝．故选：B．【变式4.1】（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，则AC的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝3：2，AE＝6cm，∴＝，∴EC＝4cm．∴AC＝AE+CE＝10（cm），故选：D．【变式4.2】（2022秋•天宁区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到DE、EF的关系，根据DF＝15，得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，∴＝＝，∴，∴DE＝6，故选：B．【变式4.3】（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本选项不符合题意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项符合题意；故选：D．【考点5】相似三角形的判定条件【例5】（2022秋•海陵区校级期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP•AB D．AC•CP＝AP•CB【分析】根据三角形相似的判定方法逐一进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；当AC2＝AP•AB时，即，∵A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；当AB•CP＝AP•CB时，即，∵A＝∠A，∴不能判定△APC和△ACB相似，故选：D．【变式5.1】（2022秋•锡山区期中）如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法主要分析判断即可．【解答】解：A、∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项A不符合题意；B、∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项B不符合题意；C、∵AC2＝AD•AB，∴，又∵∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故选项C不符合题意；D、∵根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，∴不能判断△ABC∽△ACD，故选项D符合题意．故选：D．【变式5.2】（2022秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④CP•AB＝AP•CB，能满足△APC与△ABC相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故①符合题意；当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故②符合题意；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故③符合题意；当CP•AB＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故④不符合题意；故选：D．【变式5.3】（2022•宿豫区校级开学）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．无数【分析】分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．【解答】解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，∵∠B＝∠D＝90°，∴当或时，△PAB和△PCD相似，当时，则，解得：x＝，当时，则，解得：x＝，∴BP的值有三个，故选：C．【考点6】相似三角形的性质【例6】（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故选：C．【变式6.1】（2022•沈阳模拟）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD＝8，A'D'＝12，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9；4【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，AD＝8，A'D'＝12，∴两三角形的相似比为：8：12＝2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是：4：9．故选：B．【变式6.2】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】利用相似三角形的面积间的关系确定相似比，从而求得结论．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，∴面积比为4：1，∴相似比为2：1，∵A1B1＝4，∴AB＝2A1B1＝8，故选：C．【变式6.3】（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+【分析】先根据正方形的性质得到GF∥DE，从而证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，∵四边形DEFG是正方形，∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，∴△CGF∽△CAB，∴＝，∵CH⊥AB，∴∠DHM＝90°，∴四边形DHMG是矩形，∴DG＝MH，∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的边长是x，∴MH＝x，∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，∴＝，∴＝1﹣，∴＝﹣，∴＝+，故选：D．【考点7】位似【例7】（2021秋•丹阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，则C'点坐标为（）A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵点A（1，0），B（1，2），∴AB＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为（2，1），∵△A'B'C'与△ABC位似，位似比为2：1，∴C'点坐标为（2×2，1×2），即C'点坐标为（4，2），故选：C．【变式7.1】（2022春•工业园区期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，则AB的长为（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB：DE＝OA：OD＝2：1，∵DE＝4，∴AB＝8，故选：C．【变式7.2】（2022秋•邗江区校级月考）如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为2：1，若AB＝8，则DE的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴＝2，∵AB＝8，∴DE＝16，故选：D．【变式7.3】（2021春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【分析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．利用相似三角形的性质求出AE，OE，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，∵△ABC∽△A′B′C，∴＝＝，∴AE＝，∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，∴△AEC∽△A′FC，∴＝＝，∴EC＝，∴OE＝EC+OC＝，∴A（﹣，），故选：C．【考点8】作图：相似变换【例8】（2022秋•江阴市校级月考）在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：△ABC的面积为4．（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）【分析】（1）利用三角形面积公式可得答案．（2）根据相似三角形的性质即可画出△DEF．【解答】解：（1）△ABC的面积为＝4．故答案为：4．（2）如图，△DEF即为所求．【变式8.1】（2022春•惠山区期末）按要求作图，无需写作法：（1）如图①，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（2）如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．【分析】（1）连结AB，EF交于点T，作射线OC，所以OC即为所求．（2）根据相似比等于，画出图形即可．【解答】解：（1）如图①中，射线OT即为所求；（2）如图②中，△DEF即为所求．【变式8.2】（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标（3，4）；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是π．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）三角形的外接圆的圆心是三角形各边的垂直平分线的交点；（3）利用弧长公式求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P即为所求，P（3，4），故答案为：（3，4）；（3）∵PA＝＝，∴的长＝＝π．故答案为：π．【变式8.3】（2021秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝2，求AD的长．【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D．（2）首先证明AD＝DB＝BC，利用相似三角形的性质，构建方程求解．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC＝72°，∴AD＝DB＝BC，设AD＝x，∵△CBD∽△CAB，∴＝，∴CB2＝CD•CA，∴x2＝（2﹣x）•2，∴x2+2x﹣4＝0，解得x＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃负根），∴AD＝﹣1．【考点9】作图：位似变换【例9】（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．（1）①以点O为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1；②点D坐标为（2，2）；③△DEF的面积为4个平方单位；（2）△ABC的外接圆圆心M的坐标为（2，3）．【分析】（1）①利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②根据图形即可得到结论；③利用三角形面积求法得出答案；（2）线段AB，AC的垂直平分线的交点即为所求．【解答】解：（1）①如图所示：△DEF即为所求；②D（2，2）；故答案为：（2，2）；③△DEF的面积为：×4×2＝4．故答案为：4；（2）如图2，点M即为△ABC的外接圆的圆心．△ABC的外接圆圆心M的坐标为（2，3），故答案为：（2，3）．【变式9.1】（2022秋•惠山区期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC相似比为2：1；（3）在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分．【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）根据平行线等分线段定理即可得到结论．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）△A′B′C′即为所求；（3）如图，点M、N即为所求．【变式9.2】（2022秋•靖江市期中）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC顶点AB、C均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BAC是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）若每个小正方形的边长为1，则四边形AMND的面积是．【分析】（1）根据三角形的中线作出图形即可；（2）取格点T，N，使得BN＝2，连接NT交AN于点M，△BMN即为所求；（3）分别求出△ABD，△BMN的面积，可得结论．【解答】解：（1）线段AD即为所求；（2）如图，△BMN即为所求；（3）∵△ABC的面积＝×6×4＝12，BD＝CD，∴△ABD的面积＝×12＝6，∵△BMN∽△BAC，相似比为1：3，∴△BMN的面积＝×12＝，∴四边形AMND的面积＝6﹣＝．故答案为：．【变式9.3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标为（0，﹣2），外接圆⊙P的半径是2．（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为（a，b）．【分析】（1）线段AB，BC的垂直平分线的交点即为所求；（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，再利用位似变换的性质求出P1坐标．【解答】解：（1）如图，⊙P即为△ABC的外接圆，P（0，﹣2），PA＝＝2；故答案为：（0，﹣2），；（2）如图，△A1B1C1即为所求，P1（﹣a，﹣b）．故答案为：【考点10】相似三角形的性质与判定【例10】（2022秋•高邮市期中）如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1＝∠BAC，得∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，则∠CAQ＝∠BAP，而∠2＝∠ABP，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAQ∽△BAP，则＝，所以AC•AP＝AB•AQ；（2）由AC•AP＝AB•AQ，变形为＝，而∠1＝∠BAC，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△APQ∽△ABC，得∠PQA＝∠ACB．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠2＝∠ABP，∴△CAQ∽△BAP，∴＝，∴AC•AP＝AB•AQ．（2）解：∠PQA＝∠ACB，理由：∵AC•AP＝AB•AQ，∴＝，∵∠1＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC，∴∠PQA＝∠ACB．【变式10.1】（2022秋•惠山区期中）如图，四边形ABCD中，E在AD边上，DE＝2AE，CE∥AB，BE∥CD．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）已知△ABE面积为3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行线的性质可得∠AEB＝∠D，∠ABE＝∠ECD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求S△CDE＝12，即可求解．【解答】（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∠AEB＝∠D，∠BEC＝∠ECD，∴∠ABE＝∠ECD，∴△ABE∽△ECD；（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，过点E作EN⊥CD于N，∵△ABE∽△ECD，∴＝（）2，，∵△ABE面积为3，DE＝2AE，∴S△CDE＝12，＝，∴S△CBE＝6，∴S四边形ABCD＝21．【变式10.2】（2022秋•惠山区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O．（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB＝7，BC＝5，求的值．【分析】（1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC＝BE即可，可以由∠2＝∠3得到BC＝BE；（2）通过相似三角形（△COD∽△EOB）的对应边成比例得到＝＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥CB，∴∠1＝∠2．∠4＝∠5，∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BC＝BE，∴△EBC是等腰三角形；（2）解：∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴△COD∽△EOB，∴＝．∵平行四边形ABCD，∴CD＝AB＝7．∵BE＝BC＝5，∴＝＝，∴＝．【变式10.3】（2022•钟楼区校级模拟）如图①，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．（1）证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．（2）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根据勾股定理得到DE＝＝，通过△ADF∽△DCE，得到＝，列方程即可得到结果；（2）证明△ADG∽△DCE，得到＝，求出AG，由FG＝AG﹣AF即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF∽△DCE，∴＝，即＝，∴点A到直线DE的距离AF＝；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG∽△DCE，得∴＝，即＝，∴AG＝，∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；故答案为：；【考点11】相似三角形的应用【例11】（2022秋•滨湖区校级期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板DEF（DP⊥PA），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN．【分析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．【解答】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，∵BC⊥AP，MG⊥AP，∴BC∥MG，∴△ABC∽△ANG，∴＝，即＝，∴NG＝12，同理得：△DEF∽△DMQ，∴＝，∵EF＝0.1米，DF＝0.2米，∴DF＝2EF，∴MQ＝DQ＝×23.6＝11.8（米），∴MN＝MQ+QG﹣GN＝11.8+1.5﹣12＝1.3（米）．答：旗帜的宽度MN是1.3米．【变式11.1】（2022秋•海陵区校级月考）甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长．【分析】根据AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD＝CE得到AB∥CD∥EF，从而得到△ABG∽△FEG，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：如图，设AB＝xm，由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD＝CE，∴AB∥CD∥EF，∴BE＝AB＝x，∴△ABG∽△FEG，∴，即，解得：x＝答：路灯高AB约为米．【变式11.2】（2022秋•宝应县校级月考）一天晚上，东升和朝阳利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，东升测得朝阳直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着朝阳沿AC方向继续向前走，走到点B处时，朝阳直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1m．已知朝阳直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，MA∥CD∥BN，得到△ABN∽△ACD，根据EA＝MA，D得到∠E＝45°，故△ECD为等腰直角三角形，得EC＝CD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为xm，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，且△AME为等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∴△ECD为等腰直角三角形，∴EC＝CD＝xm，AC＝EC﹣AE＝EC﹣AM＝（x﹣1.5）m，∵BN∥CD，∴∠ANB＝∠ADC，∠ABN＝∠ACD＝90°，∴△ABN∽△ACD，∴＝，∴＝，解得：x＝4.5，∴路灯CD的高度为4.5m．【变式11.3】（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．【分析】（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm可知，AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；（2）根据正方形的性质可知y＝x，再代入（1）中所求的代数式即可得出结论．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y与x的函数关系式为y＝8﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：当x＝时，四边形EFGH是正方形．【考点12】相似综合问题【例12】（2022秋•高邮市期中）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE＝60°，求证：AB•CE＝BD•DC；【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为2；【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．【分析】（1）利用等边三角形的性质，三角形的内角和定理和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用直角三角形的性质，三角形的内角和定理判定△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性质求得∠EDC＝∠C＝30°，∠FEC＝∠C＝30°；再利用含30°角的直角三角形的性质和等量代换的性质即可得出结论；（3）在DC上截取DF＝BA，连接EF，利用全等三角形的判定与性质得到∠B＝∠EFD＝60°，则∠EFC＝120°，利用相似三角形的判定与性质得到关于CF的方程，解方程求得CF，则DC＝DF+CF．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形；，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴AB•CE＝BD•DC；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°．∵AE＝AD，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴DE＝EC．∵∠EFD＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，∴DF＝2EF．∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴EF＝FC，∴DF＝2FC，即＝2，故答案为：2；（3）解：在DC上截取DF＝BA，连接EF，如图，∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE．∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，∴∠BAD＝∠EDF，在△BAD和△FDE中，，∴△BAD≌△FDE（SAS），∴∠B＝∠EFD＝60°，∴∠EFC＝120°．∵∠AED＝60°，∴∠DEC＝120°，∴∠EFC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△EFC∽△DEC，∴，∴，∴CF2+5CF﹣36＝0，∵CF＞0，∴CF＝4．∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．【变式12.1】（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在菱形ABC