高考数学专项练习第06讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节综合测试含答案及解析

第06讲第五章一元函数的导数及其应用章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（

）A． B．2 C． D．62．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（）A． B．1 C．2 D．7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（）A．2 B．3 C．4 D．e11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（

）A．时，恒成立B．时，是的极值点C．若有3个零点，则的范围为D．时.有唯一零点且12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为.14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是.16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．(1)求曲线的斜率等于的切线方程；(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间.(2)求该函数在的极值和单调性.(3)设，若恒成立，求的取值范围.20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r为圆半径a为正方形边长h为矩形的长，b为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．22．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知函数，．(1)求在处的切线方程；(2)当时，，数列满足，且，证明：；(3)当时，恒成立，求a的取值范围．

第06讲第五章一元函数的导数及其应用章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（

）A． B．2 C． D．6【答案】C【详解】∵，，∴.故选：C.2．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，又因为曲线过点，由点斜式可得，化简可得，所以切线方程是，故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.故选：B4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】方法一：因为在上单调递增，所以.设，则，当时，，所以再上单调递增，所以，所以，即，所以.综上，得，故选：B.方法二：因为在上单调递增，所以.又.综上，得，故选：B.故选：B.5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.故选：A6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【详解】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，因为，令，即，可得．令，则，令，得，令，得，所以，函数在上递增，在上递减，因为，，，如下图所示：当时，直线与函数在上的图象有两个交点，设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，当或时，，此时，，当时，，此时，，所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为.故选：B.8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，，等价于，即，令，则，所以函数在上单调递减，则不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以，解得，即实数a的取值范围为.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确.故选：AD10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（）A．2 B．3 C．4 D．e【答案】AD【详解】x>0时，,，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故结合指数函数以及x>0时函数的单调性作出的图象：因为时，，，故设过点的切线的切点坐标为，则，即，则该切线斜率为，过点的切线方程为；对于x>0时，时，当取无限大时，趋近于0，即无限接近于，且，故要使得，成立，结合图象，可得且，即，结合选项可知，符合题意，故选：AD11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（

）A．时，恒成立B．时，是的极值点C．若有3个零点，则的范围为D．时.有唯一零点且【答案】CD【详解】对于A，当时，令，令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,，故A错误；对于B，当时，令，令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误；对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确，对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，又，由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确；故选：CD．12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【详解】由题意可得，因为，所以，所以，解得，所以．因为，所以等价于对任意恒成立．令，则.设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，所以．故选：ABC．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为.【答案】/【详解】因为，所以，则，又，所以切线方程为，即，则切线与坐标轴的交点为，，则所求周长为.故答案为：.14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】当时，，此时在R上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数存在极小值点，依题意，，解得，所以，实数a的取值范围是．故答案为：15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是.【答案】【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.当时，，由，即，解得，由，即，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取的极大值为；作出与的大致图象，如图所示.由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.所以m的取值范围是.故答案为：.16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是．【答案】【详解】的导数为，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且为最小值；令，，又对任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；时，，当且仅当时取得最小值2，，，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且为最小值；所以，由，可得．所以的取值范围是.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）因为，等式两边求导可得，所以，，即，解得；（2）因为，则，所以，，，所以，曲线在处的切线方程为，即.18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．(1)求曲线的斜率等于的切线方程；(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）易知函数的定义域为，且，若，解得，则切点为；所以切线方程为，即.（2）易知曲线在点处的切线斜率为，切线方程为,令，可得；令，可得；所以可得，则，令可得，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，即.即可得的最小值为.19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.(1)求的值与函数的单调区间.(2)求该函数在的极值和单调性.(3)设，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，增区间，减区间(2)极大值是，极小值是；增区间、，减区间(3)或【详解】（1），由于在与时都取得极值，所以，解得，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值，是的极小值.所以，增区间，减区间.（2），由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上，极大值是，极小值是.（3）由上述分析可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，所以在区间上的最大值是，在区间上恒成立，所以，，解得或.20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题得，切点为，因为，所以．故所求切线为又当时，，所以；当时，，所以综上，．（2）因为所以令，得或因为在上单增，故在有根，可知在上增，上减，在上增所以，的极大值点为且且．故所以，故．21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r为圆半径a为正方形边长h为矩形的长，b为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱