（圆梦高考数学）专题8.2 空间中的平行和垂直关系（含答案及解析）

专题8.2空间中的平行和垂直关系题型一线面平行、面面平行的判定定理题型二补全平行的条件题型三线面平行、面面平行的性质定理题型四线面垂直、面面垂直的判定定理题型五补全垂直的条件题型六线面垂直、面面垂直的性质定理题型七判断平行，垂直的有关命题题型八平行，垂直的综合应用题型一 线面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积．例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.

(1)若点在上,,证明:平面;练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点.

(1)设过三点的平面为，求证：平面平面；(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.

(1)求证：平面；练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

题型二 补全平行的条件例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．(1)当点M在何位置时，平面?练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.(1)求证：平面；(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.(1)证明：平面平面；(2)已知点在上，且平面平面，求线段的长.题型三 线面平行、面面平行的性质定理例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求证：BE∥平面DCF；例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（

）

A． B．平面C． D．点B，D到平面的距离不相等．练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．(1)求证：；练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；(2)求证：BC∥l．练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：；练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.若点为线段中点，求证：；题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．(1)求证：平面平面ABC；例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面.

(1)若为的中点，证明：平面；练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，.(1)证明：平面；练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将，分别沿AB，CD翻折成，，并连接，使得平面平面ABCD，，且．连接，如图2．

(1)证明：平面平面；练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．

(1)求证：平面平面；题型五 补全垂直的条件例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．(1)证明：面；(2)若满足面，求的值．例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．(1)求证：；(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．(1)求证：平面；(2)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在线段FG上确定一点M使得平面平面PFG，并说明理由；练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面．(1)求证：．(2)若为中点，试在上找一点，使平面平面．练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；(2)若，且为锐角，求证：平面．例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．

(1)求证：；练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的长；练习29．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；练习30．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.

(1)证明：平面；题型七 判断平行，垂直的有关命题例13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，若，则C．若，、分别与、所成的角相等，则D．若m//α，m//β，，则例14．（2023·全国·校联考二模）（多选）已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则至少有一条与直线垂直D．若，则练习31．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则练习32．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（

）A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直；B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直；C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直；D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直练习33．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则练习34．（2023·四川·校考模拟预测）已知a，b是不同的两条直线，，是不同的两个平面，现有以下四个命题：①；②；③；④．其中，正确的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（

）A．若，，，则B．若，l，m分别与，所成的角相等，则C．若，，，若，则D．若，，，则题型八 平行，垂直的综合应用例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.(1)若，求证：平面平面；(2)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由.例16．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N.(1)求证：∥平面ACM；(2)求证：平面平面AMN.练习36．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面；练习37．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，，E，F分别为棱PA，PC的中点．(1)求证：平面ABCD；(2)若，求证：平面平面PBC．练习38．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正四面体中，，，分别是，，的中点，则（

）A．//平面B．C．平面平面D．平面平面练习39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAB，，，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：平面ADP．(2)求证：平面平面．练习40．（2022·高三课时练习）（多选）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（）A．PB⊥AC B．OC⊥平面PABC．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC

专题8.2空间中的平行和垂直关系题型一线面平行、面面平行的判定定理题型二补全平行的条件题型三线面平行、面面平行的性质定理题型四线面垂直、面面垂直的判定定理题型五补全垂直的条件题型六线面垂直、面面垂直的性质定理题型七判断平行，垂直的有关命题题型八平行，垂直的综合应用题型一 线面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）可以通过作辅助线结合中位线得到线线平行证明线面平行或者通过证明面面平行得到线面平行；（2）先求三棱锥的体积，得到三棱锥的体积，利用几何体的分割可得答案.【详解】（1）证法一：连接AC交BO于点，连接．，∴四边形为平行四边形,∴是的中点；∵中，是的中点,；∵平面，平面，∴平面.

证法二：中，分别是的中点，，又平面，平面,平面，且，∴四边形是平行四边形，，又平面，平面,平面;，平面,∴平面平面，∵平面，平面.（2）连结，，

由中，，得，,∴的面积;又平面，,∴三棱锥的体积为;∵是的中点，,∴.例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面BEF；【详解】（1），F分别为，的中点，，平面，平面，平面，又F，G分别为，AB的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，EF，平面BEF，平面平面BEF．练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行；【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．

，分别是和的中点，，．又四边形为正方形，，从而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，∵平面，则平面；练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.

(1)若点在上,,证明:平面;【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点,连接,根据已知条件证明四边形是平行四边形,即可证明;【详解】（1）如图所示:

取中点,连接,因为,所以,又,所以,因为,所以,又因为为的中点,所以且,即有且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面平面，所以平面.练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点.

(1)设过三点的平面为，求证：平面平面；(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先分别证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证；（2）过作，垂足为，先根据面面垂直的性质分别证明平面，平面，再根据锥体的体积公式即可得解.【详解】（1）∵G是BP的中点，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形AEPG是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵分别是BC，BP的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，且平面，∴平面平面；（2）过作，垂足为，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，∴，∵因为平面平面，平面平面，，平面，∴平面，即是三棱锥的高，∵，∴由勾股定理得，，∴，∴，∴四棱锥与三棱锥的体积之比.

练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.

(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又，所以，因为为的重心，所以，所以，所以，又平面平面，所以平面.练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

【答案】证明见解析.【分析】连接，设点为的中点，连接，，则可证和，从而证得平面和平面，则平面平面，即可证平面.【详解】证明：如图，连接，设点为的中点，连接，，

在中，因为点为的中点，点为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可证得，又因为，分别为正方形的边，的中点，故，所以.因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.又因为平面，所以平面.题型二 补全平行的条件例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；（2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，.为的中点，，即四边形为平行四边形，.平面平面平面.（2）设，取中点，连接，则在中，分别是的中点，平面平面，平面.与相似，且相似比为，为的三等分点.在点位置时满足平面.即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；【答案】(1)为的中点，证明见解析；【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理作答.【详解】（1）连接，取的中点为，连接，则平面.在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点，而为的中点，于是，平面平面，所以平面.练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；【答案】(1)存在，【分析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论；【详解】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，则，又因为，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面，因为，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，因此，线段上是否存在点，且当时，平面.练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．(1)当点M在何位置时，平面?【答案】(1)点为的中点【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；【详解】（1）如图1所示，分别取的中点为，连接．因为分别是的中点，所以，且.又因为，所以，所以.又，所以.所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面.所以，当点为的中点时，有平面.练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.(1)求证：平面；(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)当为的中点时平面平面，证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到，再说明，即可得证；（2）当为的中点时平面平面，由可得平面，根据中位线的性质得到，即可得到平面，从而得证.【详解】（1）证明：平面，平面，，，，，又，平面，平面，平面；（2）解：当为的中点时平面平面，证明：因为，平面，平面，所以平面，又为的中点，为的中点，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面.练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面．【详解】（1）证明：过点作，交于点，连接，因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又由平面，平面，所以平面.（2）证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，因为平面，平面，所以平面；又由（1）知平面，且，平面，所以平面平面，即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.(1)证明：平面平面；(2)已知点在上，且平面平面，求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形中位线性质可证得，结合线面垂直的性质和可证得，，由线面垂直的判定可得平面，根据面面垂直的判定可得结论；（2）由面面平行和线面平行的性质可证得，由此可知为中点，由此可得结果.（1）分别为中点，，又，；平面，平面，，又，；，平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面平面，平面，平面，平面，平面平面，，又为中点，为中点，.题型三 线面平行、面面平行的性质定理例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求证：BE∥平面DCF；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面ABE∥平面DFC即可得解；【详解】（1）证明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF．例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（

）

A． B．平面C． D．点B，D到平面的距离不相等．【答案】BC【分析】由平行线分线段成比例可判断A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断B；由线线平行和垂直的性质可判断C；由线面平行性质可判断D.【详解】在四面体中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面又平面，而平面平面,可得又平面,面，则平面,故B正确；同样可得平面,所以点B，D到平面的距离相等，故D错误；由,可得,故C正确；由,且,但不一定与相等,故,不一定相等,故A错误.故选：BC练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】(1)由底面是正方形得，用线面平行的判定定理证得平面，再用线面平行的性质定理证得；【详解】（1）证明：因为底面是正方形，所以，平面，平面，所以平面，又因为平面与交于点，平面，平面平面所以．练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行；【详解】（1）在图1中，因为，，，所以，，又，所以，因为，，所以，故，

在图2中，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以；练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；(2)求证：BC∥l．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明；（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．【详解】（1）证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD，NQ∥AD，又MN⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则MN∥平面PAD，同理可得NQ∥平面PAD，又平面MNQ所以平面MNQ∥平面PAD.（2）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：；【答案】证明见解析【分析】根据题意，利用面面平行的判定定理证明平面与平面平行，再根据面面平行的性质定理得到线线平行；【详解】证明：矩形，，又平面，平面，平面，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，平面与棱交于点G，且平面，平面平面，平面平面，平面平面，故，得证;练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.若点为线段中点，求证：；【答案】证明见解析【分析】取中点，根据得到，由为正三角形得到，根据线面平行的判定得到平面和平面，进而得到平面平面，结合面面平行和线面平行性质可证得结论.【详解】证明：取中点，连接，也，，，可得且，所以，，所以，因为为中点，所以为正三角形，即，所以，又因为平面，平面，所以平面，在中，因为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又由，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，又由平面平面，且平面，所以.题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．(1)求证：平面平面ABC；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，则，连接,,利用勾股定理得出，然后利用线面垂直判定定理得出平面，再利用面面垂直判定定理即可得出结论.【详解】（1）取中点，连接，，，，，，，，又平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面ABC.例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且

(1)求证：平面平面ABC；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即得；【详解】（1）连结OC，，，又是以AB为直径的圆周上一点，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面.

(1)若为的中点，证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.【详解】（1）在四棱锥中，为的中点，又，则，而，因此平面，所以平面.练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面.【详解】（1）∵，，，由勾股定理得：，中，，∵，∴，又因为底面，底面，所以，又因为且平面，∴平面，练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，所以，又为弧的中点，则是弧的中点，所以，而由题设知：，则，所以，即，由底面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将，分别沿AB，CD翻折成，，并连接，使得平面平面ABCD，，且．连接，如图2．

(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，然后有线线垂直，最后再由页面垂直的判定定理证明即可；【详解】（1）如图2，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面；练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．

(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由勾股定理证得，，得到平面，证得，从而证得平面，进而利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；【详解】（1）证明：因为是正方形，且，可得，且，又因为，可得，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．题型五 补全垂直的条件例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．(1)证明：面；(2)若满足面，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解.【详解】（1）证明：因为，，，所以，，所以，，则，因为平面，平面，所以，，又因为，、平面，所以，平面.（2）解：因为平面，平面，所以，，若面，平面，则，因为，，由余弦定理可得，因为平面，、平面，则，所以，，，在中，，，，所以，，所以，，所以，，则，因此，若满足面，则.例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．(1)求证：；(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)当为中点时，；证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可证得结论；（2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面，由线面垂直的性质可证得结论.【详解】（1）连接，四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.（2）当为中点时，，证明如下：分别为中点，，又平面，平面，平面；分别为中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，由（1）知：平面，平面，平面，.练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；【答案】(1)答案见解析；【分析】（1）根据线面垂直和面面垂直的判定定理，结合面面垂直的性质定理进行证明即可；【详解】（1）取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，，又，平面，故平面．又平面，故平面平面，这两个平面的交线为．在中，作，则有平面；练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．(1)求证：平面；(2)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；（2）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长.【详解】（1）连交于点F，连EF，∵是菱形，∴F是中点，又∵E是中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵平面ABCD，平面平面ABCD，∴平面，∵平面，∴，∵菱形，，，平面，∴平面，又平面，∴，在中，过F作，垂足为M，又，平面，所以平面，∴存在M满足条件，在中，，，F是中点，∴，∴．练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在线段FG上确定一点M使得平面平面PFG，并说明理由；【答案】(1)为中点，理由见解析【分析】（1）为中点，连接，，过作于，由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；【详解】（1）为中点，证明如下：连接，，过作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，为等腰三角形又平面，所以，为等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面．(1)求证：．(2)若为中点，试在上找一点，使平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)为的中点【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得.（2）结合面面垂直的判定定理判断出点的位置.【详解】（1）取的中点，连接，，，∵，∴．在底面菱形中，∵，∴三角形是等边三角形，则，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）为的中点，连接交于点．连接，∵，，∴所以四边形是平行四边形，∴为的中点，则．∵平面平面且交线为，，平面，∴平面，则平面，由于平面，∴平面平面，所以是的中点.练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；【答案】(1)存在，【分析】（1）存在这样的E点；且当时满足，过点F作交AD于点E，则可得，，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论，【详解】（1）存在这样的E点；且当时过点F作交AD于点E，∵△PBC为正三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，∵∴AD⊥平面PEF，∵AD平面PAD，故平面PAD⊥平面PEF题型六 线面垂直、面面垂直的性质定理例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；(2)若，且为锐角，求证：平面．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.【详解】（1）面面，，面面，面，所以面，又的面积为6，所以三棱锥的体积.（2）由题设，即，又为锐角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，可得，再利用勾股定理证明，即可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，再根据结合棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1），，，，平面，平面，又平面，，由直角梯形，，，，，得，则，所以，又，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）取的中点，连接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）得，则，，，，，即三棱锥的体积为.

练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明出平面，在上取一点，使得，连接、，证明出平面平面，可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；【详解】（1）证明：在直角三角形中，因为，，所以，即在四棱锥中，，，又因为，、平面，所以，平面，所以，平面，如图，在上取一点，使得，连接、.因为，所以，所以，又因为，所以四边形是矩形，所以.因为平面，平面，所以，平面，在中，，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以，平面平面，所以平面，因为平面，故.练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．

(1)求证：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取AC中点O，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明即可推理作答.【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正和正中，，则，而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，又平面ABC，即有，而．因此四边形DOBE是平行四边形，则，从而平面ABC，平面ADC，所以.练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的长；【答案】(1)【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把放到一个直角三角形中，从而可求长度.【详解】（1）取的中点，则，又平面平面，平面平面平面，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又.练习29．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得；【详解】（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四边形为菱形，即又，且平面，平面，又平面，.练习30．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.

(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性质定理得到，最后利用线面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1），在等腰梯形中，作，则，在中，，所以，，在中，，解得，所以，即，由平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面.题型七 判断平行，垂直的有关命题例13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，若，则C．若，、分别与、所成的角相等，则D．若m//α，m//β，，则【答案】B【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项.【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；对于B，因为，，，且，，则，因为，，则，故，B正确；对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，，，则与相交，D错误.故选：B.例14．（2023·全国·校联考二模）（多选）已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则至少有一条与直线垂直D．若，则【答案】BCD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD．【详解】若，可能平行也可能异面，A错；，则，又，则，B正确；若，假设与不垂直，过直线任一点在平面内作直线，因为，所以，又，则，又，是平面内两相交直线，因此，而，所以，即直线中如果有一条不与垂直，则另一条必定与直线垂直，C正确；若，如图，设，，过直线上一点在平面内作直线，则，同理过在平面内作直线，则，因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以重合，即重合为平面和的交线，所以，D正确．故选：BCD．练习31．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则【答案】C【分析】根据线、面位置关系逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确；对于选项D：若，，但不能得到，所以虽然，不能得到，故D错误；故选：C.练习32．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（

）A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直；B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直；C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直；D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直【答案】C【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：和，然后对选项逐一验证即可得到结果.【详解】设，则有两种情况：和，当时，在平面内不存在直线与平行，故AB错误；当时，在平面内一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直，当时，在平面内不存在直线与平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与垂直，综上：不一定存在直线与平行，但一定存在直线与垂直，故C正确，D错误；故选：C练习33．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质判断即可.【详解】对于A，由，，可得或，故A错误；对于B，由，，，可得或平面相交，故B错误；对于D，由，，，可得或相交或异面，相交或异面时两直线可能不垂直，故D错误；对于C，若，则存在直线，使得，又，所以，又，所以，故C正确．故选：C.练习34．（2023·四川·校考模拟预测）已知a，b是不同的两条直线，，是不同的两个平面，现有以下四个命题：①；②；③；④．其中，正确的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】若，则，故①正确；若，则，故②正确；若，则或，故③错误；若，则在平面内存在直线，使得.又，所以，所以，故④正确.所以正确的个数有3个.故选:C.练习35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（

）A．若，，，则B．若，l，m分别与，所成的角相等，则C．若，，，若，则D．若，，，则【答案】AC【分析】由垂直的性质及平行公理可判定选项A正确，对于BD，通过反练习说明其错误，利用线面平行的性质可判断选项C正确.【详解】对于A，若，，则，又，则，故选项A正确；对于B，若，，分别与，所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故选项B错误；对于C，因为，，，所以，，，因为，所以，因为，，所以，因为，所以；故选项C正确；对于D，若，，，则可以与平行，故选项D错误.故选：AC.题型八 平行，垂直的综合应用例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.(1)若，求证：平面平面；(2)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）先证明平面，再证明平面平面即可；（2）存在棱的中点使得平面，可使用线面平行判定定理证明.【详解】（1）由已知，为中点，连接，若，则，又∵底面是菱形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）棱上存在点，使得平面，为中点，证明如下：取的中点，连接，，∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.故存在棱的中点使得平面.例16．（2023春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N.(1)求证：∥平面ACM；(2)求证：平面平面AMN.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连结BD交AC于E，连结ME，由三角形中位线的性质可得ME∥SB，结合线面平行的性质可得平面ACM；（2）由线面垂直得线线垂直，由线线垂直