（圆梦高考数学）题型01 不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）（含答案及解析）

题型01不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法02权方和不等式的应用及解题技巧技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧技法04对数型糖水不等式的应用及解题技巧技法01基本不等式链的应用及解题技巧本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.知识迁移知识迁移基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．由基本不等式链:,可得（R），对于AB由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；对于C【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确【法二】由,得,又因为,所以,即.【法三】,又因为,所以.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．技法02权方和不等式的应用及解题技巧在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.知识迁移知识迁移权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)例2．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．因为，所以由权方和不等式可得当且仅当，即时，等号成立．【答案】C1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是.2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设且，则的最小值是．3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是．技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移知识迁移1.糖水不等式定理:若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;2.糖水不等式的倒数形式:设,则有:例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒数形式，,则有:【法二】，故B正确；因为，所以有，故A错误；，故C正确；，故D正确．【答案】BCD例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,选A.【法二】，若,但,综上所述，.【法三】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.【答案】A1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（

）A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化B．若，，则C．若，，则D．若，，则2.若等比数列前项和为,比较与的大小.3.证明:中,技法04对数型糖水不等式的应用及解题技巧在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移知识迁移(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有例4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【法一】对数型糖水不等式因为,所以.在上述推论中取,可得,且.所以,即,选A.【法二】普通型糖水不等式由已知条件,可得.同公式(2)的证明过程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.综上,,选A.1.比较的大小？2.比较大小:与？3．（2022·安徽黄山·统考一模）下列不等式不正确的是（

）A． B． C． D．

题型01不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法02权方和不等式的应用及解题技巧技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧技法04对数型糖水不等式的应用及解题技巧技法01基本不等式链的应用及解题技巧本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.知识迁移知识迁移基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．由基本不等式链:,可得（R），对于AB由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；对于C【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确【法二】由,得,又因为,所以,即.【法三】,又因为,所以.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：对A选项：，，，，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；对B选项：，而成立，成立，故B选项正确；对C选项：，（当且仅当时等号成立），故C选项正确；对D选项：，（当且仅当时等号成立），，故D选项错误.故选：ABC.2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；对于B，，，又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；对于C，，，所以，则，并且时等号成立.，所以C正确；对于D，，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：ACD.3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D.【详解】对于A，由当且仅当时等号成立，即，故A错误；对于B，由，得，即，当且仅当时等号成立，即，故B正确；对于C，由，得，当且仅当时等号成立，即，故C正确；对于D，由，得，即，即，故D正确.故选：BCD.

技法02权方和不等式的应用及解题技巧在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.知识迁移知识迁移权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)例2．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．因为，所以由权方和不等式可得当且仅当，即时，等号成立．【答案】C1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是.【答案】【分析】将转化为，然后利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，即，因为正实数，所以，，所以，当且仅当等号成立.故答案为：.2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设且，则的最小值是．【答案】【分析】结合已知条件并由乘“1”法将变形为，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，因为，所以由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立，综上所述：的最小值是.故答案为：.3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】首先对关系式进行恒等变换,进一步整理得,最后利用基本不等式的应用求出结果.【详解】已知正数满足,所以,所以:则:，当且仅当时，取等号；要使恒成立,只需满足即可,故.故答案为:.

技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移知识迁移糖水不等式定理:若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;2.糖水不等式的倒数形式:设,则有:例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒数形式，,则有:【法二】，故B正确；因为，所以有，故A错误；，故C正确；，故D正确．【答案】BCD例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,选A。【法二】，若,但,综上所述，.【法三】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.【答案】A1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（

）A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ACD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确；对于B，，因为，，所以，故，即，故B错误；对于C，若，则，根据“糖水不等式”，，即，故C正确；对于D，若，则，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD若等比数列前项和为,比较与的大小【答案】【解析】;故。证明:中,【解析】在中,根据正弦定理可知:同理可得:,

技法04对数型糖水不等式的应用及解题技巧在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移知识迁移(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有例4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【法一】对数型糖水不等式因为,所以.在上述推论中取,可得,且.所以,即,选A.【法二