2024高考数学统考一轮复习第七章立体几何第三节空间图形的基本关系与公理教师文档教案文北师大版

PAGE第三节空间图形的基本关系与公理授课提示：对应学生用书第128页[基础梳理]1．四个公理(1)公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：eq\a\vs4\al(位置,关系)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个,公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))(2)等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内aα多数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l多数个1．公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内．公理2：可用来确定一个平面．公理3：(1)可用来确定两个平面的交线．(2)推断或证明多点共线．(3)推断或证明多线共点．公理4：(1)可用来推断空间两条直线平行．(2)等角定理的理论依据．2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．[四基自测]1．(基础点：平面的概念)下列命题中，真命题是()A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同始终线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2．(基础点：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满意a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．确定平行 B．确定相交C．确定是异面直线 D．确定垂直答案：D3．(易错点：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与A．30° B．45°C．60° D．90°答案：C4．(拓展点：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号)．①P∈a，P∈α⇒aα；②a∩b＝P，bβ⇒aβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈α⇒bα；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④授课提示：对应学生用书第129页考点一平面的基本性质挖掘1共面问题/自主练透[例1](1)如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()[解析]A，B，C图中四点确定共面，D中四点不共面．[答案]D(2)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC[解析]由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.[答案]C[破题技法]1.由元素确定平面时，要看元素满意的条件．(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线．2．共面问题的证明证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将全部条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．挖掘2共点、共线问题/互动探究[例2]如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面[解析]连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以[答案]A[破题技法]1.证明点共线，(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)干脆证明这些点都在同一条特定的直线上．2．证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点二空间直线的位置关系挖掘1异面直线的判定/自主练透[例1]如图所示为正方体表面的一种绽开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．[解析]平面图形的翻折应留意翻折前后相对位置的改变，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，明显AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．[答案]3[破题技法]异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设动身，经过严格的推理，导出冲突，从而否定假设，确定两条直线异面．此法在异面直线的判定中常常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．挖掘2平行与垂直的判定/自主练透[例2]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．异面 D．平行[解析]连接D1E并延长交AD于M点(图略)，因为A1E＝2ED，可得，M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF＝2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合．且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,FB)＝eq\f(1,2).所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,FB)，所以EF∥BD1.[答案]D[破题技法]1.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来推断．(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．2．留意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点三异面直线所成的角挖掘1异面直线所成角的求法/自主练透[例1](1)(2024·广东珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4[解析]取A′D的中点N，连接PN，MN，∵M是A′C的中点，∴MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD，∵四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，∴PB∥CD，且PB＝eq\f(1,2)CD，∴MN∥PB，且MN＝PB，∴四边形PBMN为平行四边形，∴MB∥PN，∴∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，∴异面直线BM与PA′所成角的正切值为eq\f(1,2).故选A.[答案]A(2)如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．[解析]如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝2eq\r(2)，∴ME＝eq\r(2).又CM＝2eq\r(2)，DN＝2eq\r(2)，NE＝eq\r(2)，∴CE＝eq\r(3)，则cos∠CME＝eq\f(CM2＋EM2－CE2,2CM·EM)＝eq\f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8).[答案]eq\f(7,8)[破题技法]求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采纳图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解易于作出平行线的题目补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体找异面直线相应的位置，形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体挖掘2异面直线所成角的应用——三种语言转化/互动探究[例2]如图，平面α∩β＝l，ADα且AD⊥l，BCβ且BC⊥l，A、B∈l.AD与BC是异面直线，且所成的角为θ，AD＝b，BC＝c，AB＝a，求DC的长度．[解析]在平面α内，过B作BE綊AD，由异面直线所成角的定义知∠CBE＝θ，