2024-2025学年高考数学一轮复习专题2.9函数模型及其应用知识点讲解文科版含解析

函数模型及其应用【核心素养分析】1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合详细实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用.3.培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点学问梳理】学问点一指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的改变随x的增大渐渐表现为与y轴平行随x的增大渐渐表现为与x轴平行随n值改变而各有不同学问点二种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【特殊提示】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并娴熟驾驭几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必需验证数学结果对实际问题的合理性.【典型题分析】高频考点一利用函数模型解决实际问题例1.【2024年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，很多志愿者踊跃报名参与配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预料其次天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少须要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由题意，其次天新增订单数为，设须要志愿者x名，，,故须要志愿者18名，故选B。【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)依据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】【2024·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，须要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，须要支付元.②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，当元时，李明得到的金额为，符合要求；当元时，有恒成立，即，因为，所以的最大值为.综上，①130；②15.高频考点二构建二次函数模型解决实际问题例2.（2024·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，确定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格确定，预料m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特殊关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【解析】(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05xeq\o\al(2,2)＝－0.05xeq\o\al(2,2)＋10x2－40＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．又0≤x1≤200，x1∈N，∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1980－200m(万美元)．∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．(y1)max－(y2)max＝(1980－200m)－460＝1520－200m.易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润． 【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但肯定要亲密留意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最终要还原到实际问题．【变式探究】（2024·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.探讨表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等缘由，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，明显v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函数v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20.))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.高频考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题例3．【2024·全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，则，所以，所以，所以天.【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先须要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式探究】（2024·江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a，支配每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为爱护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).故每年砍伐面积的百分比为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，把x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10))代入，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.高频考点四构建分段函数模型解决实际问题例4.（2024·陕西西安中学模拟）某景区供应自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁运用，管理这些自行车的费用是每日115元．依据阅历，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，明显当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求精确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式探究】（2024·云南昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，须要支配m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经试验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m（60－m），1≤m≤30，,480，m＞30))(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机