2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.1向量的加法课时作业含解析北师大版必修4

PAGE其次章平面对量[课时作业][A组基础巩固]1．下列等式：①a＋0＝a；②a＋b＝b＋a；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.其中正确的命题的个数是()A．2B．3C．4D．5答案：D2.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))B.eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))C.eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))解析：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，选项A错误．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))≠eq\o(DA,\s\up8(→))，选项B错误；eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，选项C正确；eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，选项D错误．答案：C3．设a＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＋(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①② B．①③C．①③⑤ D．③④⑤解析：a＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＋(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝0，由0的性质知，①③⑤正确．4．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))、eq\o(OD,\s\up8(→))满意等式eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，则四边形是()A．平行四边形 B．菱形C．梯形 D．等腰梯形解析：∵eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，而eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，即AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：A5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))|＝()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)解析：|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2.答案：B6．化简：(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→)))＋(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→)))＝________.解析：原式＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋(eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).答案：eq\o(AD,\s\up8(→))7．已知|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝1，且∠AOB＝60°，则|eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))|＝________.解析：设eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))，则四边形OACB为菱形，且∠AOB＝60°.∴|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．设非零向量a，b，c，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，则|p|的取值范围为________．解析：因为eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)，eq\f(c,|c|)为三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3；当三个向量配成120°角时，它们的和为0.答案：[0,3]9．化简下列各式：(1)eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))；(2)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)).解析：(1)eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝(eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝0＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→)).(2)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→))＝(Peq\o(A,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→)))＋(eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))＝eq\o(PO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(PB,\s\up8(→)).10.如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝eq\o(OAj,\s\up8(→))(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.解析：因为eq\o(OA3,\s\up8(→))＋eq\o(OA7,\s\up8(→))＝0，所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq\o(A2A3,\s\up8(→))＋eq\o(A5A6,\s\up8(→))＋eq\o(OA2,\s\up8(→))＋eq\o(OA5,\s\up8(→))＋eq\o(OA7,\s\up8(→))＝(eq\o(OA2,\s\up8(→))＋eq\o(A2A3,\s\up8(→)))＋(eq\o(OA5,\s\up8(→))＋eq\o(A5A6,\s\up8(→)))＋eq\o(OA7,\s\up8(→))＝eq\o(OA6,\s\up8(→))＝b6.[B组实力提升]1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.答案：A2．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝c，eq\o(BD,\s\up8(→))＝d，则下列等式中成立的是________(填序号)．①a＋b＝c；②a＋d＝b；③b＋d＝a；④|a＋b|＝|c|.解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．答案：①②④3．在平行四边形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))|，则四边形ABCD是________(图形)．解析：如图所示，eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，又|eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))|，所以|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，则四边形ABCD是矩形．答案：矩形4.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→)).解析：证明：eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→)).因为eq\o(PB,\s\up8(→))与eq\o(QC,\s\up8(→))大小相等，方向相反，所以eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(QC,\s\up8(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))＋0＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→)).5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5km/h.(1)若此船沿着与水流垂直的方向行驶，你知道船的实际航行速度的大小与方向吗？(2)假如此船实际向南偏西30°方向行驶2km，然后又向西行驶2km，你知道此船在整个过程中的位移吗？解析：(1)如图，用eq\o(OA,\s\up8(→))表示水流的速度，用eq\o(OB,\s\up8(→))表示船在静水中的航行速度，则船的实际航行速度是水流速度与船在静水中的速度的和速度．依据平行四边形法则，以OA和OB为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))，即eq\o(OC,\s\up8(→))表示水流速度与船在静水中的速度的和速度，即船的实际航行速度．由题意知OA⊥OB且OA＝OB，则▱OACB为正方形，所以OC＝eq\r(2)OA＝5eq\r(2)，且∠AOC＝45°.所以船的实际航行速度的大小为5eq\r(2)km/h，方向与水流的方向成45°角．(2)如图，用eq\o(AC,\s\up8(→))表示船的第一次位移，用eq\o