2025届江苏省兴化市戴南高级中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2025届江苏省兴化市戴南高级中学数学高二上期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是A. B.C. D.2．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）A.2 B.C. D.33．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.4．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（）A. B.C. D.5．过椭圆+=1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（）A.20 B.18C.10 D.166．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.77．过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.8．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．与的等差中项是（）A. B.C. D.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形11．方程所表示的曲线为（）A.射线 B.直线C.射线或直线 D.无法确定12．已知，则下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.14．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为_________15．已知等差数列满足，公差，则当的前n项和最大时，___________16．若两条直线与互相垂直，则a的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，且）的图象经过点和

.（1）求实数，的值；（2）若，求数列前项和

.18．（12分）已知数列是等差数列，为其前n项和，，（1）求的通项公式；（2）若，求证：为等比数列19．（12分）已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点①若，求；②求的值20．（12分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.21．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x（单位：百万元）23456经济回报y（单位：千万元）2.5344.56（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.参考公式：22．（10分）已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及相应的的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选2、C【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.【详解】因为数列满足，，（且）所以，，，，因为恒成立，所以，则M的最小值是，故选：C3、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.4、C【解析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】，，，为锐角三角形，的外接圆就是它的最小覆盖圆，设外接圆方程为，则解得的最小覆盖圆方程为，即，的最小覆盖圆的半径为.故选：C5、A【解析】根据椭圆的定义求得正确选项.【详解】依题意，根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.故选：A6、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.7、C【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，所求直线的方程为，即，故选：C8、D【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D9、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A10、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C11、C【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.12、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据充分性和必要性，求得参数取值范围，即可求得结果.【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合为集合的真子集，故只需.故答案为：.14、【解析】建立如图直角坐标系，设点，根据题意和两点坐标求距离公式可得，结合圆的面积公式计算即可.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，由，化简并整理得：，于是得点M轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故答案为：15、3【解析】根据公式求出前n项和，再利用二次函数的性质.【详解】因为等差数列，，所以，当时，取到最大值.故答案为：3.16、4【解析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.【详解】由题可知，.故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）将A、B点坐标代入，计算求解，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式，即可得答案.【小问1详解】由已知，可得，所以，解得，

.【小问2详解】由（1）得，又，所以，故

.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由已知条件列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用等比数列的定义证明即可【小问1详解】设数列的公差为，则由，，得，解得，所以【小问2详解】证明：由（1）得，所以，（）所以数列是以9为公比，27为首项的等比数列19、（1）（2）①,②【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可得椭圆的方程，（2）①由题意可得的方程为，再与椭圆方程联立，解方程组求出的坐标，从而可求出；②当时，，当时，直线方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得中点的坐标，再将直线的方程与方程联立，求出点的坐标，从而可求出的值【小问1详解】由题意得解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①当时，直线的斜率，则的垂线的方程为由得解得故，，②由，，显然斜率存在，，当时，当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为由得显然设，，则，则中点直线的方程为，由得所以综上的值为20、（1）；（2）或.【解析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【小问1详解】因为，所以P到直线的距离等于，所以抛物线C的准线为，所以，，所以抛物线C的标准方程为；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l恰与抛物线C相切当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立方程，得若，显然不合题意；若，则，解得此时直线l的方程为综上，直线l与抛物线C相切时，l的方程为或.21、（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【解析】（1）根