吉林省吉林市朝鲜族四校2025届数学高二上期末考试模拟试题含解析

吉林省吉林市朝鲜族四校2025届数学高二上期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）A. B.C. D.2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%3．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，4．已知数列是等比数列，且，则的值为（）A.3 B.6C.9 D.365．函数，的值域为（）A. B.C. D.6．已知函数的导数为，且，则（）A. B.C.1 D.7．某班新学期开学统计新冠疫苗接种情况，已知该班有学生45人，其中未完成疫苗接种的有5人，则该班同学的疫苗接种完成率为（）A. B.C. D.8．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B.C. D.9．圆：与圆：的位置关系是（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.11．命题“对任何实数，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得12．在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.14．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）15．已知函数，则函数在上的最大值为_______16．已知双曲线与椭圆有公共的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于M，N两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；（2）求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值18．（12分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系内，椭圆E：过点，离心率为（1）求E的方程；（2）设直线（k∈R）与椭圆E交于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得对任意实数k，直线AM，BM的斜率乘积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由21．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，，，（1）求证：；（2）求直线PB与平面MQB所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案【详解】设切点，点由题意，抛物线C的准线，且由，得，则直线的方程为，即，联立令，得由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立因为，，则，即对任意实数恒成立，所以，即，所以，故选：D【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.2、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.3、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.4、C【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.【详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，所以.故选：C5、A【解析】利用基本不等式可得，进而可得，即求.【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴，，∴.故选：A.6、B【解析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.【详解】由得，当时，，解得，所以，.故选：B7、D【解析】利用古典概型的概率求解.【详解】该班同学的疫苗接种完成率为故选：D8、C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.9、A【解析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，两圆心之间的距离，故两圆内切.故选：A.10、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B11、B【解析】可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.【详解】命题“对任何实数，都有”，可写成：，使得，此命题为全称命题，故其否定形式为：，使得.故选：B.12、D【解析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案.【详解】由可得曲线表示圆，则解得或又所以曲线表示圆的概率为故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，所以该几何体的体积为.故答案为：14、1296【解析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个故答案为：129615、【解析】利用导数单调性求出的单调性，比较极小值与两端点，的大小求出在上的最大值.【详解】因为，则，令，即时，函数单调递增.令，即时，函数单调递减.所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.，两端点为，，即最大值为.故答案为：.16、【解析】求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，即双曲线的半焦距，再求出点坐标，利用中点在渐近线上得出的关系式，从而求得，然后可计算面积【详解】由题意椭圆中，即，以线段为直径的圆的方程为，由，解得（取第一象限交点坐标），，双曲线的不在第一象限的渐近线方程为，，的中点坐标为，它在渐近线上，所以，化简得，又，所以，双曲线方程为，则得，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在平面中构造与平行的直线，利用线线平行推证线面平行即可；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，利用向量法即可求得两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】取中点为，连接，如下所示：因为为正方形，为中点，故可得//；在△中，因为分别为的中点，故可得//；故可得//，则四边形为平行四边形，即//，又面面，故//面.【小问2详解】因为面面，故可得，又底面为正方形，故可得，则两两垂直；故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：故可得，设平面的法向量为，又则，即，不妨取，则，则，取面的法向量为，故.设平面的夹角为，故可得，即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.18、(1)双曲线方程为(2)满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和【解析】（1）由双曲线焦点可得值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到的关系式，解方程组可求得值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程试题解析：（1）由已知及点在双曲线上得解得；所以，双曲线的方程为（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为由得设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，且即且①这时，又即所以即又适合①式所以，直线的方程为与19、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用抛物线的定义即求；（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理法结合条件可得，即得.【小问1详解】因为动点到点的距离等于点到直线的距离，所以动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，由，得，所以动点的轨迹方程为.【小问2详解】由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，.联立，得，恒成立，由韦达定理，得，，假设存在一点，满足题意，则直线的斜率与直线的斜率满足，即，所以，所以解得，所以存在一点，满足，点的坐标为.20、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由离心率和椭圆经过的点列出方程组，求出，得到椭圆方程；（2）假设存在，设出直线，联立椭圆，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，结合斜率乘积为定值得到关于的方程，求出答案.【小问1详解】由题可得，，①由，得，即，则，②将②代入①，解得，，故E的方程为【小问2详解】设存在点满足条件记，由消去y，得．显然，判别式＞0，所以，，于是＝＝＝上式为定值，当且仅当，解得或此时，或所以，存在定点或者满足条件21、（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品的总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题22、（1）证明见解析（2）【解析】