弹塑性动力学

弹塑性动力学

冲击动力学实验室

闫鸿浩

2009-9-10

目录

第一讲：概论.....................................................................1

1、弹塑性动力学意义.........................................................1

2、弹塑性动力学研究内容.....................................................1

2.1应力波的传播........................................................1

2.2动力响应............................................................2

3、弹塑性动力学课程主要安排.................................................2

4、参考教材..................................................................2

5、应力波应用...............................................................3

5.1应力波应用..........................................................3

5.2应力波在实际中的应用...............................................3

5.3动力响应............................................................4

第二讲：杆中弹性波的相互作用...................................................12

一、两个半无限长的弹性杆的共轴撞击........................................12

二、弹性波的相互作用（弹性波的叠加原理）..................................13

三、有限长杆与半无限长杆的共轴撞击........................................15

四、弹性波在不同介质界面上的反射和投射....................................20

第三讲：弹性波、塑性波以及特征线求解波动....................................23

不同问题的的特征线法（差分方法）..........................................32

一、初值问题（Cauchy问题）............................................32

二、Goursat问题........................................................33

三、混合边界问题.......................................................34

第四讲：塑性波基本理论.........................................................35

4.1塑性波的定义..........................................................35

4.2一维塑性应力波.......................................................36

4.3有限杆的撞击..........................................................41

4.3.1泰勒试验.......................................................41

第五讲：弹塑性波的相互作用....................................................48

材料本构关系的简化.........................................................49

材料的塑性应力-应变关系................................................49

凹型应力-应变曲线......................................................50

三、凸凹变向的应力-应变曲线............................................50

5.2弹塑性加载波的相互作用................................................54

521两弹塑性波迎面加载（不考虑波在边界的反射）......................55

第六讲：两弹塑性波迎面卸载.....................................................57

第7讲一维应变弹塑性波........................................................66

一维应变问题与一维应力问题的异同点........................................66

第八讲：一维应变波在自由而反射及在不同介质中传播规律.........................73

一、一维应变弹塑性波在自由面的反射........................................73

二、一维应变弹塑性波在不同介质中的传播....................................78

第九讲：固体应变率效应及其本构关系............................................83

霍普金森杆的测试技术.......................................................83

一、系统测试标定...........................................................83

二、试样准备设计...........................................................84

三、试验方案的建立.........................................................84

四、测试原理及基本方程.....................................................84

第十讲：理想塑性梁的动力响应...................................................87

第十一讲：简支弹塑性梁受到冲击波作用时的动力响应..............................96

弹性变形能和塑性变形能....................................................102

第十二讲：刚塑性梁动力分析的基本方程..........................................104

塑形较的运动连续条件为....................................................104

第二部分：刚性区和塑性区的运动方程.......................................108

第一讲：概论

1、弹塑性动力学意义

弹塑性动力学是固体力学的一个分支学科，它主要研究各种弹塑

性物体或在短时强加载作用下的运动、变形及其破坏规律。

在穿甲弹及装甲板的研究中，在传播与飞行器的设计中，在原子

弹爆炸所产生的强击冲击波的防护工程结构设计中，以及在机械工

业、土建水利工程、抗震结构设计等广泛的领域中，都会遇到弹塑性

应力波、应变波和动力响应问题。

弹塑性动力学区别与塑性力学（静力学），主要在于弹塑性材料

在动荷载下具有一系列重要的、与静载荷作用下不同的力学特性（这

些特性反映在本构关系中）；同时分析动力学问题时，必须计入介质

的惯性。

2、弹塑性动力学研究内容

2.1应力波的传播

研究局部扰动向未扰动区的传播，它是将动力效应作为一个传播

过程来研究；当物体在局部受到突然加载时，由于物体的惯性，突加

载荷对于各个部分质点的扰动不可能同时发生，而是要经过一个传播

过程，由局部扰动区逐步传播到未扰动区。

1

2.2动力响应

忽略扰动的传播过程，研究结构的变形与时间的关系。

对于梁、拱、薄板、薄壳这样一类结构，在三个方向上，总有一

个或两个尺度方向上比较小，而常常突加的载荷作用的方向又往往就

是尺寸最小的方向。此时，应力波在这个方向上传播所需要的时间比

起载荷作用的时间短些，因此应力波的传播现象很快消失，结构的动

力响应主要表现在结构的变形与时间的关系；这就是动力响应研究问

题。

3、弹塑性动力学课程主要安排

3.1一维弹性应力波

3.2杆中弹性波的相互作用

3.3塑性波理论

3.4弹塑性波的相互作用

3.5试验技术（霍普金森测试技术获得材料动态本构关系）

3.6梁的动力响应

4＞参考教材

《应力波基础简明教程》郭伟国、李玉龙编西北工业大学

出版社；

《应力波基础》第二版王礼立著国防工业出版社；

《塑性动力学》杨桂通、熊祝华编清华大学出版社。

2

5、应力波应用

5.1应力波应用

a、爆炸和冲击载荷下结构动态响应；

b、冲击载荷下材料的动态性能；

c、动态断裂问题。

5.1.1、弹性波理论可以解释一般强度的瞬态载荷作用；

5.1.2、弹塑性波理论可以解释高强度的瞬态载荷作用下局部分析；

5.1.3、远离区域可以用弹性时预估；

5.1.4、在无损探伤、地震波的测量、煤、矿田勘探方面也可以用到。

5.2应力波在实际中的应用

a、铁丝在重锤的影响下，出现断裂的地方可能发生在A点，也

可能发生在B点。因为在撞击的瞬间会有应力在铁丝中传播，应力

波在固定端B点发生反射，反射后的应力大于初始应力，可以在初

始应力的2〜4倍之间。这将在以后的学习中具体讨论。

图3・物对铜丝的冲击

3

b、炸药爆炸引起的层裂，因为大多数脆性材料固体中，抗压能力

比抗拉能力强。压缩波不能引起破坏。然而当压缩波到达背面反射为

拉伸波，在往返传播过程中往往在自由面附近出现层裂，当然后续学

习过程中可以自己进行分解。

5.3动力响应

《简支梁在突加载荷作用下的响应》

q

o

t

这里有相概念，如果在静力分析中，很容易求出该结构的挠度，

梁的应力等。但在突加载荷下，’是惯性力的影响，即运动加速度的

问题。我们将在后面详细介绍几种工况下梁的动力相应问题。

在静态载荷下材料的应力-应变关系如图2所示，此时，载荷对

试件所做的功全部转化为试件的应变能。但当材料在冲击载荷作用

下，材料内部出现不均匀的变形，外力对试件所做的功，除一部分使

4

试件产生应变能，还存在一部分用于产生试件的惯性。此时的应力-

应变关系如下图所示。

图2材料的单向压缩本构关系

在介绍本课程之前，我们要先理解一些概念：

质点、波阵面、波速、质点速度、纵波、横波、弥散波、冲击波、

加载波、卸载波。

弥散波：高应力水平增量波，某介质改变，波速减小，周期拉长,

散开。

冲击波：高应力水平增量波，某介质改变，高波速。追赶低波速,

强间断波，连续波变为冲击波。

加（卸）载波波阵面材料压实（稀疏）。

一维弹性应力波

物体受到冲击载荷后，扰动传播，先后、时间、次序反复传播。

波的分类：纵波和横波。区别：质点扰动的方向与波的传播方向

“平行”或“垂直”。

在波的传播过程中，需要考虑两种速度：1、扰动传播速度C；2、

质点移动速度Vo

5

图2.1圆柱杆的冲击压缩

是突然加到杆的另一端，均布于表面，设压缩波开始以某个速

度CL沿杆向右传播，经过一段时间t后，传播到C』设质点的速度

为根据牛顿第二定律，得

FLdt=mdvL

式中，m是受到扰动质点部分的质量，m=Adi（A是杆的横截面的

面积，是材料密度），因为=FJA,所以

Adt=AdldvL

dl」

=—av.

dtL

式中dl/dt为速度CL（脉冲速度）。所以

=CL（乙）

类似的，横向脉冲速度可以写成

=C,s（%）

式中是剪应力，Cs是横向扰动速度，%是质点的速度在剪切时的

变化。

A-~A（—x）

X

由牛顿第二定律得

6

[AA(—x)]Ax——

xt

化简后得

丁-1

由于杆变形是弹性的，所以

/=E(*=)U是位移。所以1式可以写成

X

22厂2

「「Ur~uuEu

-[£-]=下一

对于一维条件下，令c0=产，所以J=c；]。下面我们对1式进

行求解，我们知道一般偏微分方程

222

A—^-+2B—^-C-^+D—E—+FuG+0

xxyyxy

当笈AC0时，为双曲线型方程；

B-AC0时，为抛物线型方程；

B2AC0时，为椭圆型方程。

22

上式中V0

所以A=C；；B=0,C=-lo所以公AC4C；=0为双曲线型方程。

求解双曲线型方程的方法由(波动求解)驻波

a、分离变量法；

b、变换法。在这里我们可以用变换法，谐波分量分离后得

一/、/.〃Xncor

U(x,Z)=w()(sincos-)

式中1为特征长度，Co为波速，其三角函数项可以进一步写成

7

所以

U(x,f)=^[sin,(xCor)sin-^-(xCot)]

这里假设存在非谐波函数F和G,将有

U(x,t)=F(xCo/)G(xC0Z)

这里可以证明x和x+C。/是方程的正解。作如下变换=xC°t,

=XCQt得

du=(±)d(-)d

XX

X

XX

因此

uu

对y/2同样推导得

"c。

8

7=9c°4c。

所以得

?=孰(------)"上上)=c；(WC2〃2〃、

2--------------F）3

将2式和3式代入1式得

222222

C：（T22-4）=C：（T+2UU.

得

即方程u(,)=F()+G()成立，因此方程的通解为

U(x,Z)=F(xCQt)G(xCot)

这里假设传入波引起的位移山沿X正方向传播，设反射波引起

的位移U2沿X负方向传播。

波的反射叠加

当波在材料中传播时，遇到自由表面时会发生反射，如果入射波

是压缩波，那么反射波是拉伸波。这里设传入波引起的位移5沿X

正方向传播

U〃=F(xCot)

设反射波引起的位移沿x负方向传播，

UR«=G(XCot)

因为在自由表面上(x=l)其应力恒等于零，即

net—InRe

9

而=EE(j/Y),所以

nel=E[F'(lCot)G\lC(/)]+0

通过上式我们可以看出，放射波与入射波的脉冲方向相反。

在x=l处速度为

%=匕"%+号号=6(*+G)

=2G'Co或2F,C0

上式为入射波的2倍。

若右端固定，则右端位移和速度为零，即s0,v=0o

%=CqF'G'CU0

得

F'=G

进而

“,“=£(%&)+E(尸G)=2EF'

XX

所以叠加后的脉冲重合后，质点的速度是任一脉冲的2倍。从而

达到叠加的效果。

不同材料，变截面杆中应力波

图2.6在横确面变化时波的反射和透射

।为强度弹性压缩波向右传播，在1和2的界面处，该压缩波将一

10

部分透射，一部分反射。反射强度为R，透射强度为「，则在界面

处满足如下两个条件：

1、两侧杆内力相等；

2、质点速度连续。

通过条件1,我们可以得到

4(7+R)"2T1

通过条件2,我们可以得到

匕VRVT2

应力表达式为=。0匕，贝h/=——,VR=——,vT=——,代入上

1G1G2c2

式，得

1R7'3

CiiG2G

C称为波阻抗，是材料本身的特性，是密度和声速的乘积。

联合1、2、3式解得

=242c24

Af|C|+A-,2c2

_42c24Cl5

L4G+42c2'

分析上式可知

1、透射波不改变入射波的性质，因为24c—恒为正。

]G+2G

2、界面不发生反射时则R=0,所以％2。2=46，

11

3、在以后如果想改变透、反射强度，可以根据4式和5式调

整材料、面积利密度。

完

第二讲：杆中弹性波的相互作用

一、两个半无限长的弹性杆的共轴撞击

当两个物体相互碰撞时，应力会在两个物体从接触界面处各自传

播，本讲中研究两根半无限长纵杆向共轴碰撞后应力传播现象。

图3.1两半无限长杆共轴撞击

如图3.1(a)两杆的截面积相等，在撞击之前，两杆中均无应力,

且分别具有初始质点速度V］和V2,这里假定VyV2。但自从撞击后，

应力波以相反的方向在各自的材料中传播，设碰撞后的质点速度分别

为VA和VB，应力分别为，和B。由动量定理可以得到

尸1(乙匕)(la)

12

B=2%）（lb）

定义波在传播过程中受到的波阻抗为C，符号为。由上式可

以看出符号为负，表示受压

在界面上满足以下条件

1、相同的质点速度；

2、应力相等。

即

V=VA=VB，=AB（2）

根据条件，所以

二1（VV,）2（vv2）（3）

得

忏M+2.,=।2（…）（4）

1+21-*■2

分析4式，我们可以知道

V

b、如।,Vi=O,则v=0,=22（A杆为刚壁）

c、如2，则v=V2，=（v2V］）,这相当于刚性杆B对弹性

杆A的撞击。

二、弹性波的相互作用（弹性波的叠加原理）

多列弹性波共同作用下的应力和质点速度，只要将它们的应力和

质点速度叠加即可。

叠加原理成立的理由：各种强度，各种类型的波都具有相同的波

13

速，即弹性区范围内材料具有唯一的现行应力-应变关系。

图3.2两弹性波的相互作用

通过图3.2我们可以看出，AE,BF分别为加载面A和B的特征

线，CG和DH分别为加载面C和D的特征线。我们可以把物理平面

分成9个区域，其中1、3、5、9不受任何一列波的影响；2和8区

只受到右行波的作用；4和6区受到左行波的影响；7受到左右两列

波的共同作用。我们要重点研究各区在受到左行和右行波的作用下应

力、质点速度和应变的变化。

设右行波的波幅为1,左行波的波幅为2,干扰产生的波幅为

3,质点速度为V3，由波阵面上的动量守恒条件得

v（右行）

V（左行）

C

图中M是瞬间作用面，在该面上质点的速度相同。

14

L.（0,）7

C3（.（3.））5

内2（02）%

V

R3（2（32））R

先考虑右侧（M）

,0,

由上述两式得

因为在瞬间碰撞面上质点的速度相同，得

□—也

即

321_223

-312

而1=0C0Vl和2=0。0匕得

丫二匕匕

三、有限长杆与半无限长杆的共轴撞击

对于两根半无限长杆的碰撞，只是一次弹性波，未涉及反射，本

节将分析波在有限长杆中的反射后的情况。

15

M0=0______________

「B-|IA

J

V0

Ch(CJ,

图3.4有限长杆共轴碰撞

碰撞后的质点的速度和应力可以采用前节所述的半无限长杆共轴撞

击求得。

y=-।2%

I+2I+2

当右行波(反射后)满足n=0,所以由压缩波被反射成拉伸

波，

_(2])匕

当仁七时一，左行压缩波到达自由端产生反射。

c2

1、当I=2时

16

图3.5有限长杆与半无限长杆豉撞

(n)物理平面।(b)速度平面；(O典型时刻的应力分布；(d)典型时刻的速度分布

如果A杆有限长，则满足

图3.6物理平面和速度平面

这时我们可以自己分析。

17

2、若<1,即由软杆碰撞硬杆，依据

即得V3<0,由于两杆接触界面处的质点速度不同，两杆将脱离，即杆

B以反向速度脱离界面，撞击过程结束。此时杆A中有=2L2CJC2,

压缩应力脉冲，因为界面断开，所以没有卸载波跟上。整个撞击过程

在物理平面和速度平面上表示，如图3.7所示。

图3.7(p0G)2/(p0G)x<1时撞击结果

如果杆A也为有限长杆，在特殊情况下，其长度也满足

L\l（6=L/6

撞击结束后，杆B处于质点速度为VB=V3<0,=0的状态，（如图3.8

中的点4）,而杆A处于

的状态，如图3.8中的点5。即撞击结束后，入射杆B以一个速度回

弹，而杆A则以速度

飞出。

18

图3.8(p.G)JW.GLVLA杯也是有限长杆的情形

3、当＞1时

如果入射杆B的波阻抗大于被撞杆A的波阻抗时，杆B中由于

撞击产生的左行波在杆的自由端反射后，应力降为零，质点速度变为

唳=__o

2+1

此时，杆A和杆B的应力和速度分别为

2+1

=12匕

2+1

1，_(21)V2

3一丁

2T1

_12V2

■『

此时的物理平面和速度平面分别为

19

图3.9撞击过程在物理平面和速度平面上的表示

四、弹性波在不同介质界面上的反射和投射

上节我们讲述了不同截面，不同材料波的反射与投射，这里我们

重点研究弹性应力波垂直入射截面集合形状相同的两种介质截面上

的反射与投射。

假设A和B具有相同的截面面积，其波阻抗分别为।和2,在

界面两侧取两个紧邻界面的质点M,N,如图3.10所示。

图3.10弹性波在不同介质界面上的反射与透射

当入射波的波阵面到达界面左侧时，由波阵面上的相容条件可得

质点获得的速度的增量为

vi=­

2

20

当入射波在界面上反射后，质点又获得一个速度增量

V2=—

2

因此，反射和入射叠加后紧邻界面左侧的质点M的速度和应力分别

为

L

VM=Vi彩+——

22

M~12

在界面的右侧，只有投射波通过，因此，质点N的速度和应力

分别为

%=匕­

2

N=3

根据连续性条件，在界面上的质点速度和应力应该相等，即有

VM-VNJM-N

得

3=I2

_L_2__3_

221

用|和V1来表示2，3,%，匕，则有

」

2=2.];v2=-I-?.V)

1+21+2

—2].i，-乙22”

3—]，丫3一

1+21+2

定义尸=」一为反射系数，7=3—为投射系数。我们可以把上式

I+91+2

21

简写成

2=F„V2=F%

3=71，匕-Tv\

I

注意到T总是为正值，因此投射波总是和入射波的性质相同，但

是，反射系数可正可负，因此反射波的性质必须视条件而定。我们来

讨论波阻抗对反射和入射波的影响。

1、2>>>此时F<o,0<T<lo因此，反射波与人射波的应力符

号相反，而透射波虽然和人射波的应力符号相同，但是幅值要小于入

射波。这种情况也就相当于波从较“硬”的材料传入较“软”的材料。

2、2此时F>0,T>l0因此，反射波与入射波的应力符号

相同，而透射波虽然和入射波的应力不但符号相同，但是幅值要大干

入射波。这种情况也就相当于波从较“软”的材料传人较“硬”的

材料。

3、2=1，此时F=0,T=l。因此，当波到达两种介质的界面时

将全部透过，并无反射波产生。这说明：两种不同的介质，虽然。和

Co不同，但是只要波阻抗相同，弹性波在通过其界面时就不会产生反

射，这称为波阻抗匹配。在不希望产生反射波的情况下.选材时就可

以通过考虑波阻抗匹配的问题来满足要求。

兀

22

第三讲：弹性波、塑性波以及特征线求解波

动

本节讲述弹性波、塑性波转变以及用特征线法求解波动，进一步

过渡到塑性波理论基础。

23

首先限制波在半无限长细杆中传播。对于小变形情况下，分析杆

中的微单元可知

2

—=-4（1）成立，U,为X方向上的位移和应力，为

xr

密度。

依据材料本构关系不同，该方程具有不同的形式性质，波的传播

也将出现不同情况。

例如：弹塑性材料有：

当II。，=

“>0，=

其中。为屈服应变，对应的屈服应力为。，且有。=，那么1

式进一步成立

—一凡―即—

txdxx

所以

21z722

c2—⑵

tdx'x

大家可以看到其中系数为c2=Jj,该值不一定是定值，可能

a

变化。

对于这种材料可知：弹性波在前传播，塑性波在后传播（因速

度不同），见图

24

eg:对于土壤或某种材料，本构关系会有:

II0，=

II>0，=但<

对应图可表示为

图8-2

针对此类材料，塑性波波速大于弹性波波速，所以最终塑性波

能追赶到弹性波，一旦超过了弹性波会形成陡峭的波前，一旦应变速

度不连续会出现强间断面，若连续则形成弱间断波。

特征线：

针对波动方程

25

;=L—二是双曲线二阶偏微分方程，由数理方程

txax

知识可知解特征线解法如下:

依据偏微分方程原理，这类方程可以在物理平面（X,t）平面内沿

特征线进行数值积分。所谓特征线就是波界面的运动轨迹。

方程

A——+B—C1

tx

d—dt——dx2

tx

求解三，-

_____L_____2.3

t'X

AB

=AdxBdt

dtdx

CB

其中=CdxBd—4

ddx

=Ad

当0,且।=20时，此时曲线上导数由无穷多解，曲线

就1式的特征线，而I=20为特征线上的相容条件。由

.0=CdxBd0dxdtd

'(dx,dt,d)——=—5

20=AdCdt0BAC

由0得Adx-Bdt=0得包=H,将包=4代入1式，得

dxBdxB

噌一+一)c6

dxxx

A(一+—一)C7

tdtx

对于6式两边同乘以dx,得5(—dt+一dx)Bd=Cdx

xx

26

对于7式两边同乘以dt,得4(一dt+一dx)Ad=Cdt

tX

BAC

下面我们讲解典型的波动方程的解法

~2U_?-U

下“V

上式可以写成-%,=人两个函数代入上式，得

A、」=。2—,已知速度V和应变，满足式B、—包=，一。设(x,

tXtXXt

t)平面内有一曲线满足沿曲线速度V,应变变化，即

C、a7v=——Va,t——Va.x

tx

D、d=——dt——dx

注意dx和出是曲线上的X和t的全微分，所以与是曲线的

斜率。再重新整理A、B、C、D式得

vV

—dt~\----dxdv

tx

dtT----dxd

x

上式可以看成」,，,一,一的方程组，求解得

tXXt

式中

27

100c2

0110

=(dx)2=(cdt)2

dtdx00

00力dx

000c2

0110

=c'(dxddtdv)

dvdx00

d0dtdx

100

001

=dxdvc~dtd

dtdv00

Qddtdx

100

010

=dxdvc1dtd

dtdxdv0

00ddx

1000

0110

=dxddtdv

4dtdx0dv

00dtd

令=0得到特征线的特征方程

dt1,.…

—=—±dxCdt8

dxC

1、定义dt/dx=l/c,为正向特征线a+；

dt/dx-1/c,为负向特征线a.。

28

2^转向，正向特征线负向特征线，转向即x轴向t轴转；

3、图中a+,a一也即过平面（x,t）M点的两条不同的特征线。

积分8式可得两条特征线表达式，当然会出现积分常数，代表一族（一

系列）的特征线。

如果令1=23=4有

出_d_19

dxdvC

即

dv=Cd10

在特征线上满足上式，表达了V和沿特征线的变化规律。从9式我

们可以知道

dtd1

瓦=不'加C5正向特征线11

dt1d1

区=石'加?负向特征线

从8式和9式可知（x,t）和（v,）两个平面具有相同形式的

表达式。当然也说明了八=Cd是（v,）平面上的特征线，（x,t）

是物理平面，（v,）是速度平面，也可以表达成（v,）（x,t）,

上一讲中也提到了该平面。为了更好的表达特征线和相容关系式，11

式引入应变函数C=C（）满足（）=°C（W,则d（）=C（）d=dvo

做一可以将11式改写为

dx+cdt=0

沿a12b

v+()=

29

相容条件

V+()=13

式中，在同一特征线上为常数，有时称为Riemann不变量。

22

如将方程-4=。2-4的解称作波，那么12a式表示波是随时间沿x轴

r

正向传播，即正向波（左行波），12b式称作反向波（有行波），其中

的v（）表示正向波波前的质点的运动速度与应变关系。如是弹

性波，则G=co〃s/,则其特征线为x=Cot±ki2,这是两族各自平行

的直线特征线族，其坡度为士工

C

对于同向的不同的特征线，表示了不同波在不同质点引起的相

应。为用特征线法计算波的传播规律，这里定义过物理平面（x,t）

任一点曲线进行定义。

30

如果过M点的切线斜率满足

1dtpdt1

—>—及一>—

CdxdxC

该曲线方向为时间，如果满足

1dt1

—>一>一

CdxC

该曲线方向为空间。

在上图b中知，AA线是空间，BB线是时间，当曲线斜率满足

包=±工时，此时为特征线，含时间和坐标，且在曲线上，有（v,）

dxC

相容关系。

注意一下几个原则：

a、曲线方向的定义是对该曲线段上任一点来判定的；

b、过某点的正向特征线，负向特征线相互关系与（x,t）相

互关系一致；

c、如果说某曲线段是空间的，则该曲线段上过任一点的两条

特征线都位于该曲线的同侧，如图所示。

图8-5

这里AB是空间的，过该线段上点的所有的特征线位于AB

31

22

的上侧。对于波动方程/过（X,t）平面内任一点可

作两根不同的特征线。如果C2为常数，则这两条特征线是直线,

如方程中C?是应变或的函数，（例如非弹性材料），则其特征

线上的坡度变化，不再保持直线状。

不同问题的的特征线法（差分方法）

一、初值问题（Cauchy问题）

已知某时刻L，AB段上的各量值已知，AB是空间的（因为

特征线在同侧）。求：t>ti不同时刻的值。

由偏微分方程理论可知：在AB给出初值下，由且唯一确定

一个特征三角形ABP区域内的函数值。其中AP为正向特征线,

BP为负向特征线。ABP是AB的影响区，P点依赖于AB段，

该区域的值都依赖于AB°A'AM,BM“B,M依赖于MN.。

计算时采用差分法，对N1点，用AN［，M］N］线段为直线。得

XxA=C（ttA）

XX=

M\CMIQ，M1）

32

类似的应变与速度也满足

=CA（V叱）

M=CA（Vn“i）

二、Goursat问题

在（x,t）平面内的两根不同特征线上给出函数由相容条件存在

即函数（v,）满足

V+（）=

求其它点的函数。

在偏微分方程理论中已证明，如已知特征线AB,AC上的函数值，

可确定特征四边形ABCD区域内任一点的函数值，在采用数值法求

解时，与Cauchy问题相似，用短直线段代替特征线的曲线段，用差

分方程代替微分方程。声速C对每步计算取常数，取已知点的C值。

计算次序从给定的特征线AB或AC开始，逐层向四边形区域内部推

移，当然四边形内结点的多少应根据计算精度而定。

33

三、混合边界问题

这里AB,BP是特征线，AP点的斜率在正负特征线斜率之间，

从前学过的内容，我们知道，AP是时间曲线。

已知AP函数，v或值在特征线AB上，给出两个函数的v和

值，构成混合边界问题，将AB点分多个小的线段，从结点1引另一

特征线与AP相交与2点(用短直线代替)在(v,)平面内A'B'

对应与AB的特征线，在AP上已经给出值，则2为已知，从1'引

特征线与2相交与2'，于是(v,)平面内2'求出，也可求出对应

的v值，从结点2、3引特征线相交与4,相应的可求出4'(v,)0

类似下去可求出区域内的全部结点即其上的函数值。结点4,4值用

下式计算

xx1=C,(t4)

xx2=C2(/t2)

VVf=cf([)

vv.=C.(.)

22'27

一旦4坐标函数值求处后，可依Goursat问题计算特征线2、4上其

34

它的结点函数值。这样ABP区域内的结点、结点值可全部求出。

兀