一第3讲 不等式-2021年高考数学二轮复习高分冲刺之精炼与答题规范

第3讲不等式

［考情分析］1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式

恒成立问题常用到基本不等式3题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度.

考点一不等式的性质与解法

【核心提炼】

I.不等式的倒数性质

(\)a>b,ab>0=>—<—.

ab

(2)。<0<。=—<—.

ab

cd

2.不等式恒成立问题的解题方法

。次0>々对一切］£/恒成立Q/a)min>。，x£/；对一切恒成立气/U)max<a,X^I.

(2)/U)>g(x)对一切恒成立O当xe/Ht,«r)的图象在g(x)的图象的上方.

(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.

例1⑴若则下列不等式正确的是()

l)p

C.m~<n~D.logmp>\ognp

【答案】D

【解析】方法一设机=1，n^-,p=2,逐个代入可知D正确.

42

方法二对于选项A,因为0<加v〃<l,所以Ov—vl,又p>l,所以0<—故A不正

n\^)

确；对于选项B,KZ竺一丝=生二变"型20=也二㈣>0,所以”，

p-nnn{p-ri)n(p-n)p-nn

故B不正确；对于选项C,由于函数y=x"在(0,+8)上为减函数，且0<加<〃<1,所以加一

。>〃一。,故C不正确；对于选项D,结合对数函数的图象可得,当时Jog必>log孙

故D正确.

⑵(2020•北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式公TWO的解集是［2,+8),则

关于x的不等式尔十(3。-6)x—3X0的解集是()

A.(-8,-3)U(2,+8)B.(-3,2)

C.(-8,-2)U(3,+°°)D.(-2,3)

【答案】A

【解析】由关于x的不等式以一bWO的解集是[2,+8),得6=2〃且a<0,

则关于x的不等式ax2+(3a—b)x—3b<0可化为x2+x—6>0,

即(x+3)(x—2)>0,解得x<—3或x>2,

所以不等式的解集为(-8,-3)U(2,+8).

易错提醒求解含参不等式a?+bx+c<0恒成立问题的易错点

(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略。=0时的情况.

(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.

(3)不考虑a的符号.

3,x<一,

跟踪演练1⑴己知函数於)=<]j则不等式寺2+x—2W0的解集是

【答案】{x|-1WxWl}

【解析】由£/(x)+x—2<0,得

1x>—,

x<—,?

2或.：

3X2+X2<0X2--+X-2<0

x>-

2

-l<x<-x<l

I31

-1Wx<，或J_I,

22

原不等式的解集为国一IWXWI}.

(2)若不等式(42—4)/+(〃+2立―120的解集是空集，则实数a的取值范围是()

c6°6、

C.-2,-D.-2,-U{2}

【答案】B

【解析】当/一4=0时，解得a=2或〃=—2,

当a=2时，不等式可化为4x—1》0,解集不是空集，不符合题意；当“=—2时，不等式可

化为-120,此式不成立，解集为空集.

当次一4/0时，要使不等式的解集为空集，

-4<0,6

则有1o.解得一2<“<一.

A=(a+2)2+4(/-4)v05

综上，实数。的取值范围是—2,《).

考点二基本不等式

【核心提炼】

基本不等式求最值的三种解题技巧

⑴凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用

基本不等式求最值.

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，

A

即化为)，=,〃+----+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.

g(x)

例2(1)下列不等式的证明过程正确的是()

A.若a,6GR,则2+巴222.巴=2

ab\ab

4I~4

B.若4<0,则Q+—2—2Ja—=-4

aVa

C.若。，Z?e(0,+°°),则1g〃+lg匕N2

D.若aGR,则2"+2一"22)2"-2-"=2

【答案】D

【解析】由于2b,a2的符号不确定，故选项A错误；V«<0,••.«+4-=-(—。)+(——4iW

ahaaJ

一4(当且仅当。=-2时，等号成立)，故B错误；由于Iga,Igb的符号

不确定，故选项C错误；；2。>0,27>0,...2“+2-"22,2"-2-“=2(当且仅当a=0时,等号

成立)，故选项D正确.

(x+l)(2y+l)

(2)(2019天津)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为

【答案】4百

.any(x+l)(2y+l)2xy+2y+x+l2xy+6/—,6./日

【解析】——令』-―尸-----=)—=2yJxy+-P=.由x+2y=5得

J孙yjxyyjxyy/xy

522而，即而W斗，即孙W等，当且仅当x=2y=|•时等号成立.所以2而+

-Y=N22y/^--^==4百,当且仅当2=-^=,即xy=3时取等号，结合“W纪

yjxy\^xyy/xy8

(x+l)(2y+l)

可知，xy可以取到3,故的最小值为4G.

而

易错提醒运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定"''三相等".所

谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相

等”是指满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的

条件一致，否则最值取不到.

跟踪演练2（1）（2020•北京市中国人民大学附属中学模拟）已知a>0,b>0,且“一6=1,则2。

+」的最小值为.

b

【答案】2c+2

【解析】V>0,b>0,由a—8=1,得a^\+b,：.2a+-^2+2b+-^2+2.2h---2

flbb\b

+20,当且仅当6=2—时，等号成立，.•.2a+*!■的最小值为20+2.

2b

（2）（2020•江苏）己知SfV+ynia，yWR），则x2+V的最小值是.

4

【答案】-

5

【解析】方法一由题意知y#0.由5/尸+），4=1,

1-V4

可得『=-

5〉

所以,+丁=察+丁=翳

1/o

当且仅当二=49，即y=±半时取等号.

4

所以/+V的最小值为

方法二设f+、2=/>0,则/=/一9.

因为5%斤+;/=1,所以5«—W+y4=i,

所以4）#—5/>2+I=O.

由/=25尸一1620,解得L二舍去）

4

故f+产的最小值为二.

专题强化练

一、单项选择题

1.不等式（一x+3）（x—1）<0的解集是（）

A.{x|—l<x<3}B.{x|l<x<3）

C.{小<-1或x>3}D.{小<1或x>3}

【答案】D

【解析】不等式即（x—3）（x—1）>0,由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为

或x>3}.

2.下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝！Ja（r>b（?'

B.若a>6,c<d,则

cd

C.若a>b,c>d,则a—c>〃一4

D.若ab>。,cob,则

ab

【答案】D

【解析】对于A选项，当c=0时，不成立，故A选项错误.

当a=l,b=0,c=—2,d=—1时，—,故B选项错误.

cd

当a=l,b—0,c—1,d=0时，a—c—b—d,故C选项错误.

由不等式的性质知D正确.

3.（2020•北京市昌平区新学道临川学校模拟）已知一元二次不等式於）<0的解集为{x|x<-2或

x>3},贝的解集为（）

A.{x|x<-2或x>lg3}B.{x|-2<x<lg3}

C.{x|x>lg3}D.{x|x<lg3}

【答案】D

【解析】一元二次不等式/(x)<0的解集为{x|x<-2或x>3],

则/%)>0的解集为3—2<x<3},

则川0»0可化为一2<l(Tv3,解得x<lg3,

所以所求不等式的解集为以仅<也3}.

4.若公功>0,且仍=1,则下列不等式成立的是（）

.1b,

A.«+—<—<10g2（tz+Z?）

b、।.1

B.—<log2（〃+b）<a+—

,1,b

C.a+—<log2（a+b）<—

「、.1b

D.Iog2（〃+份<〃+4<牙"

【答案】B

【解析】由题意得公

・••捺<1,Iog2（o+b）>log22y[ab=1,

篦11

2b>〃+—>〃+/?=>〃+—>log2（a+力.

bb

5.（2018•全国山）设a=logo.20.3,*=log20.3,则（）

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】Va=logo,20.3>logo,21=0,

/?=log20.3<log21=0,/.ab<0.

..・a+h=j_+j_=log。3O.2+log。32=logo.30.4,

ahab

1=logo.30.3>logo.304>logo.31=0,

0<a+b<1,ab<a+b<0.

ab

6.已知心>0,y>0,x+2y+2xy=S,则x+2y的最小值是（）

「-911

A.3B.4C.-D.—

22

【答案】B

【解析】由题意得%+2y=8—»2丫28—(音上)2,当且仅当犬=2>时，等号成立，整理得

(x+2y)2+4(x+2y)—3220,即(x+2y—4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,所以x+2y24,所以

x+2y的最小值为4.故选B.

7.已知〃>—1,b>—2,(«+1)0+2)=16,则〃+匕的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由a>—1,b>—2,得〃+1>0,Z?+2>0,〃+力=(a+l)+(b+2)—322J(a+l)(Z?+2)

-3=2X4—3=5,当且仅当〃+1=力+2=4,即。=3,/?=2时等号成立，所以的最小

值是5.

8.已知正实数a,b,c满足2浦+9〃-c=0,则当他取得最大值时，』+'一日的

cabc

最大值为()

9

A.3B.-C.1D.0

4

【答案】C

【解析】由正实数mb,c满足。2—2"+处2—c=o,

a22ab.9b24ab

得-------H--------=12-------

一厂/।9b一曰1.cib

当且仅当一=---,即。=36时，一取取&大t值一，

ccc4

又因为a1—2ab+9b2—c=0,

所以此时c=12/?2,

当且仅当〃=1时等号成立.故最大值为1.

二、多项选择题

9.设段)=lnx,0<〃<h,若p=/(J拓)，7)-=g[A〃)+7(份]，则下列关系式中正

确的是()

A.q—rB.p<qC.p=rD.p>q

【答案】BC

【解析】r=；(Ina+lnb)=p=\ny/ab,p=\n\[ab<q=\n-1^.

10.已知“CZ,关于x的一元二次不等式f-6尤+“W0的解集中有且仅有3个整数，则a

的值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】ABC

【解析】方法一设y=f—6x+a,则其图象为开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所

示.

若关于x的一元二次不等式x2—6x+a<0的解集中有且仅有3个整数，

(2~—6x2+aW0,

则1,解得5<aW8,

-6xl+a>0,

又aWZ,故a可以为6,7,8.

方法二分离常数，得aW—f+6x,函数y=-f+6x的图象及直线y=a,如图所示，由图

易知5<aW8.

11.(2020・威海模拟)若a,人为正实数，则a泌的充要条件为()

I1

A.—>—B.Ina>lnb

ah

C.alna<b\nbD.a—b<ell—eh

【答案】BD

【解析】对于A,因为a>/?>0,所以故A错误；对于B,因为y=lnx在(0,+°O)

ab

上为增函数，所以a>/»0Olntz>ln%,故B正确；对于C,设y(x)=xlnx,则/(x)=lnx+l(x>0),

令/(x)=0,得x=L当xe伍时(x)<0,於)单调递减；当xe[L+co]时,/(x)>0,

大用单调递增，所以不能推出aln“Cln6,故C错误；对于D,设g(x)=x-e，(x>0),

贝i]g'(x)=l—e，.因为x>0,所以e*>l,所以g'(x)<0,g(x)在(0,+8)上单调递减，所以当

a>b>0时，g(a)<g(h),即a—ea<h—eb,即a—h<ea—eb,充分性成立；当a>0,h>0,且a—

*e"-e"时，易证得必要性成立，故D正确.

12.(2020•新高考全国I)已知a>0,b>0,且a+b=l,贝女)

A.a2+b2^-B.2ll~b>-

22

C.k)g2a+log2。2—2D.+\/bV2

【答案】ABD

【解析】因为〃>0,b>0,a+b=l9

所以a-\-b^2\[cib,

当且仅当〃=人=1时，等号成立，即有HW1.

24

122

对于A,a+b=(<a+b)—2ab=\—2ab^\—2X-,故A正确;

42

1

对于B,2"P=2〃r=-X2”9

2

因为a>0,所以2为>1,即2“F>L,故B正确；

2

对于C,Iog2iz+log2z?=log2^^1og2-=-2,故C错误；

4

对于D,由(A/^+yjH)2=a+b+2Jah=1+2JalW2,

得y/a+\[bW5/2,故D正确.

三、填空题

13.对于0<〃<1,给出下列四个不等式：①log〃(l+a)<log,(l+1)；②log"(l+a)>k)g,(l+1)；

,141

③。；④+—.其中正确的是.(填序号)

a

【答案】②④

【解析】由于0<。<1,所以函数yu)=iog6和以无)=/在定义域上都是单调递减函数，而且1

+a<\+—,所以②④是正确的.

a

14.当尢£(0,+8)时，关于x的不等式蛆2—(〃?+1)冗+〃?>0恒成立，则实数m的取值范围

是.

【答案】(1,+8)

【解析】•.“£(0,+°°),"/一(〃z+l)x+m>0恒成立,

/.机(X2—x+1)>X恒成立，

Y

...机—恒成立,

JC-X+1

x1

当x£(0,+8)时，--------------1------4T=1'

%+X-1r+112V1-1

XH-------1

X

当且仅当X=L,即X=1时取“=”.・••加>1