数学学案：第二讲一圆周角定理VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一圆周角定理1．了解圆心角定理，并能解决问题．2．理解圆周角定理及其两个推论,并能解决有关问题．1．圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC,则有∠BAC＝______∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系．【做一做1】如图所示,在⊙O中，∠BAC＝25°，则∠BOC等于（)A．25°B．50°C．30°D．12.5°2．圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对____的度数图形语言符号语言A，B是⊙O上两点,则弧的度数等于______的度数作用确定圆弧或圆心角的度数【做一做2】如图所示，两个同心圆中，的度数是30°，且大圆的半径R＝4，小圆的半径r＝2，则的度数是__________．3．圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角______；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______．（2）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧"；（2）“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中"；（3）由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．（4)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说，就是圆心角相等能推出弧相等，进而能推出弦相等．【做一做3－1】如图所示，在⊙O中,∠BAC＝60°，则∠BDC等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【做一做3－2】如图所示，AB是⊙O的直径，C是上的一点，且AC＝4，BC＝3，则⊙O的半径r等于(）A．eq\f(5,2)B．5C．10D．不确定答案：基础知识·梳理1．eq\f（1，2）【做一做1】B根据圆周角定理，得∠BOC＝2∠BAC＝50°.2．弧∠AOB【做一做2】30°的度数等于∠AOB，又的度数等于∠AOB，则的度数是30°。3．(1)相等相等(2）90°直径【做一做3－1】C∠BDC＝∠BAC＝60°.【做一做3－2】A∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r（42＋32）＝5。∴2r＝AB＝5。∴r＝eq\f（5，2).相等的圆周角所对的弧不一定相等剖析：“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的,如图．若AB∥DG,则∠BAC＝∠EDF，但≠。题型一求线段的长【例题1】如图,△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D，E.（1）指出图中相似的三角形，并说明理由;（2）若EC＝4，DE＝2，求AD的长．分析：（1）本题证三角形相似要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；（2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．反思：求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．题型二证明线段相等【例题2】如图，BC为圆O的直径,AD⊥BC，＝，BF和AD相交于E，求证：AE＝BE。分析：要证AE＝BE，只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB,而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．反思：（1)有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等;要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．题型三易错辨析易错点误认为同弦或等弦所对圆周角相等【例题3】如图所示，∠BAD＝75°，则∠BCD＝__________。错解：∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD，∴∠BAD＝∠BCD．∴∠BCD＝75°。错因分析：错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠BAD＝∠BCD．反思：同弦或等弦所对的圆周角不一定相等．当弦是直径时，同弦或等弦所对的圆周角相等,都等于90°；当弦不是直径时,该弦将圆周分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上,或同在劣弧上，同弦或等弦所对的圆周角相等；若一个圆周角的顶点在优弧上,另一个圆周角的顶点在劣弧上，则同弦或等弦所对的圆周角不相等，它们互补（如本题)．答案:【例题1】解：(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD＝∠EAC。又∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC.∵∠B＝∠E，∠BAE＝∠BCE，∴△ABD∽△CED，△AEC∽△CED.（2)∵△CED∽△AEC,∴eq\f（CE,AE）＝eq\f(ED，EC)。∴CE2＝ED·AE，∴16＝2×AE，∴AE＝8.∴AD＝AE－DE＝6。【例题2】证明：∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC为直角．又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB，∴∠BAD＝∠FBA。∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE。【例题3】正解：∠BAD是所对的圆周角，∠BCD是所对的圆周角，则所对的圆心角为2×75°＝150°,又和所对圆心角的和是周角360°，∴所对圆心角是360°－150°＝210°,∴所对圆周角∠BCD＝eq\f（1,2）×210°＝105°。1如图所示，弦AC与BD相交于圆内一点P，且AB＝10，CD＝5,BP＝8，则PC＝__________。2(2011·湖南高三十二校联考)如图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于点D,已知BC＝1，AB＝eq\r（3），则AD＝__________。3如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AC＝AB,求证：BD＝DC．4已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径,AD的延长线交外接圆于F，求证：＝。5如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。（1）证明:△ABE∽△ADC；(2）若△ABC的面积S＝eq\f(1,2）AD·AE，求∠BAC的大小．答案：1．4∵∠A＝∠D，∠C＝∠B,∴△ABP∽△DCP。∴eq\f(AB，CD）＝eq\f（BP，PC）.∴eq\f（10,5)＝eq\f(8,PC),解得PC＝4.2．如图所示，连接OD，由于AC是⊙O的直径，则∠ABC＝90°。又BC＝1，AB＝eq\r(3)，则AC＝eq\r（AB2＋BC2)＝eq\r(12＋(\r（3）)2)＝2，所以OA＝OD＝eq\f（1,2）AC＝1.又∠AOD＝2∠ABD＝∠ABC＝90°，故△AOD是等腰直角三角形，则AD＝eq\r（2）OA＝eq\r（2)×1＝eq\r（2）。3．证明：如图,连接AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AC＝AB，∴BD＝CD。4．分析：转化为证明∠BAE＝∠FAC，再转化为证明△ABE∽△ADC.证明:∵AE是直径，∴∠ABE＝90°。又∠ADC＝90°,∴∠ADC＝∠ABE。又∠AEB＝∠DCA,∴△ABE∽△ADC。∴∠BAE＝∠FAC，∴＝.5．分析：(1)证明这两个三角形的两个角对应相等;（2）利用（1)的结论，和三角形面积公式的正弦形式，转化为求sin∠BAC.（1）证明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD.又∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,∴∠AEB＝∠A