数学学案：第二讲三圆的切线的性质及判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精三圆的切线的性质及判定定理1．理解切线的性质定理及其两个推论，并能解决相关的计算或证明问题．2．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．1．切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的____符号语言直线l与圆O相切于点A,则______图形语言作用证明两条直线垂直【做一做1】如图所示，直线l与⊙O相切于点A，B是l上任一点(与A不重合），则△OAB是（)A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．性质定理推论1文字语言经过圆心且垂直于切线的直线必经过____符号语言直线l与圆O相切于点A，过O作直线m⊥l，则A∈__图形语言作用证明点在直线上【做一做2】如图所示，直线l与⊙O相切，P是l上任一点，当OP⊥l时，则(）A．P不在⊙O上B．P在⊙O上C．P不可能是切点D．OP大于⊙O的半径3．性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过____符号语言直线l与圆O相切于点A，过点A作直线m⊥l，则O∈__图形语言作用证明点在直线上由性质定理及其两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下的结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．(1)垂直于切线；(2)过切点；（3)过圆心．于是在利用切线的性质时,过切点的半径是常作的辅助线．【做一做3】直线l与⊙O相切于点P，在经过点P的所有直线中，经过点O的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4．切线的判定定理文字语言经过半径的____并且____于这条半径的直线是圆的____符号语言OA是圆O的半径，直线l⊥OA,且A∈l，则l是圆O的____图形语言作用证明直线与圆相切在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径的外端"和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图①,②中的例子就不能同时满足这两个条件，所以都不是圆的切线．【做一做4】如图，AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，AC＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．答案:1．半径OA⊥l【做一做1】C∵l与⊙O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB。∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形．2．切点m【做一做2】B由于OP⊥l，则P是l与⊙O的切点,则P在⊙O上．3．圆心m【做一做3】A过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上，故选A.4．外端垂直切线切线【做一做4】分析：转化为证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC。∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．又AC＝CB，∴OC⊥AB.又OC是⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线．1．圆的切线的有关知识剖析：（1）切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;（3）切线垂直于过切点的半径；（4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．2．判定切线的方法剖析:判定切线通常有三种方法：(1)定义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;（2）距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3）定理法：过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化．在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法：若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证明这条直线与此半径垂直，即用定理法；若不能确定已知要证的切线与圆有公共点，则需先向这条直线作垂线，再证明此垂线段是圆的半径，即用距离法证明;通常不用定义法证明．题型一圆的切线性质的应用【例题1】如图，在△ABC中,AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E。求证:DE⊥AC．分析:由于DE是⊙O的切线，则OD⊥DE，故要证DE⊥AC，只需要证明OD∥AC即可．反思：利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线，出现了垂直关系．题型二判断或证明圆的切线【例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C．求证:CD是⊙O的切线．分析：只需证明OE⊥CD即可．反思:定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是:①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．答案：【例题1】证明：连接OD，AD，如图．∵AB为⊙O直径,∴AD⊥BC。∵AB＝AC,即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC。∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC。【例题2】证明：如图,连接OE.∵OA＝OE,∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3。∴OE∥AD。∵AD⊥CD，∴OE⊥CD。∴CD与⊙O相切于点E。1如图，PA为⊙O的切线，A为切点,已知PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为（）A．eq\f(3，4)B．eq\f（3,5）C．eq\f（4,5)D．eq\f（4，3)2如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延长线上一点，且OB＝BP，∠AOC＝120°,则PA与⊙O的位置关系是（)A．相离B．相切C．相交D．不确定3（2011·北京丰台二模）如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点,已知∠D＝46°,则∠A＝__________。4（2011·北京石景山一模）如图,圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过点C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD,D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．5如图,BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C,连接OD，且∠AOD＝∠APC．求证：AP是⊙O的切线．答案:1．C由PA为⊙O的切线，知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理，得OP＝eq\r(OA2＋AP2）＝5。故cos∠APO＝eq\f(PA,OP)＝eq\f(4,5).2．B如图，连接AB.∵∠AOC＝120°，∴∠AOB＝60°。又OA＝OB，∴△AOB是等边三角形,∴OB＝AB.又OB＝BP，∴AB＝BP，∴∠P＝∠BAP.又∠OBA＝60°，∴∠P＝30°.又∠AOB＝60°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP,则PA与⊙O相切．3．67°如图所示,连接OB，OC，则OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝180°，则四边形OBDC内接于一个圆．则有∠BOC＝180°－∠D＝180°－46°＝134°，所以∠A＝eq\f（1，2)∠BOC＝eq\f(1,2)×134°＝67°。4．4如图所示，连接OC，连接BE交OC于点F，则OC⊥l，BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC，OC⊥BE.又直径AB＝8，则OB＝OC＝4.又BC＝4，故△OBC是等