数学学案：等比数列习题课-等比数列习题课

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修5第二章2。3等比数列习题课——等比数列习题课1．了解分期付款的含义，理解复利的实质．2．掌握有关分期付款的还贷问题．3．掌握数列求和的常用方法——错位相减法．题型一错位相减法【例1】求数列1，3a,5a2，7a3，…,(2n－1）an－1的前n项和．分析:数列中含字母参数,应注意分类讨论，利用错位相减法．反思:对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯．题型二分期付款问题【例2】陈老师购买安居工程集资房一套需82000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，陈老师已有现金28800元，尚缺10000元，以月利率为1％，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？（不满百元凑足百元,lg1。01＝0。0043，lg1。061＝0.0258，lg1.07＝0.0294）分析:解答本题可以陈老师的欠款为主线计算．也可假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款．反思:解题关键点是掌握分期付款问题的两种常用处理办法：（1）按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n项，并由此归纳迭代出数列的通项的一般表达式；（2)以贷款和存款及增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡（或大小)建立方程(或不等式）．题型三转化为等比数列问题【例3】设数列{an}的前n项和Sn＝eq\f（4,3）an－eq\f（1,3）×2n＋1＋eq\f(2,3)，n∈N＋，求数列{an}的通项公式．分析：解答本题可充分利用Sn与an的关系式,将问题转化为等比数列问题来求解．反思：（1）将一个数列问题转化为等比(差）数列来求解,这是求解有关数列通项公式与前n项和公式的基本思想．(2）已知数列{an｝的首项a1,且an＋1＝man＋k(m，k为常数)．①当m≠1时，可得an＋1－c＝m(an－c）,则有an＋1－man＝c(1－m)，c＝eq\f(k,1－m)，转化为等比数列求解．②当m＝1时,an＋1－an＝k，利用等差数列求解．1设Sn为等比数列{an｝的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2）＝(）．A．－11B．－8C．5D．112已知｛an}是等比数列,a2＝2，a5＝eq\f(1，4），则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()．A．16（1－4－n）B．16（1－2－n)C．eq\f（32，3)(1－4－n）D．eq\f（32,3)（1－2－n)3已知在等比数列｛am}中,各项都是正数,且a1,eq\f(1,2）a3,2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8）＝()．A．1＋eq\r(2)B．1－eq\r（2）C．3＋2eq\r（2)D．3－2eq\r(2）4若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋r，则r的值是________．5已知x≠0，x≠1，y≠1，则（x＋eq\f(1，y)）＋（x2＋eq\f(1,y2))＋…＋（xn＋eq\f（1,yn）)的值为________．6已知数列｛an｝是公比大于1的等比数列，Sn为数列｛an}的前n项和，S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4成等差数列．（1）求数列｛an}的通项；（2)令bn＝nan，求数列｛bn｝的前n项和Tn.答案:典型例题·领悟【例1】解：当a＝1时,数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝eq\f（n[1＋(2n－1）］,2)＝n2.当a≠1时,有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1）an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1）an，②①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1）an,∴（1－a）Sn＝1－（2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)＝1－（2n－1）an＋2·eq\f(a(1－an－1)，1－a)＝1－(2n－1）an＋eq\f(2(a－an），1－a).∵1－a≠0，∴Sn＝eq\f（1－（2n－1）an，1－a)＋eq\f（2（a－an),(1－a）2）.【例2】解：解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元（1≤n≤6），则a0＝10000，a1＝1。01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1。012a0－（1＋1。01)a，……a6＝1.01a5－a＝…＝1。016a0－［1＋1.01＋…＋1.015］a。由题意可知a6＝0,即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0,a＝eq\f（(1.01）6×102，(1.01)6－1）。又因为lg(1.01）6＝6lg1。01＝0。0258，所以1.016＝1.061，所以a＝eq\f(1.061×102，1.061－1)≈1800.答：每月应支付1800元．解法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104（1＋0。01）6＝104×（1.01)6（元）．另一方面，设每个月还贷a元,分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a（1＋0.01）5＋a(1＋0。01)4＋…＋a＝eq\f(a[(1＋0。01）6－1],1.01－1）＝a(1.016－1）×102。由S1＝S2，得a＝eq\f（(1。01)6×102，（1.01）6－1）.以下解法同解法一，得a≈1800。答：每月应支付1800元．【例3】解:当n＝1时，a1＝S1＝eq\f（4，3）a1－eq\f(1,3）×4＋eq\f(2,3），∴a1＝2.当n≥2时，由Sn＝eq\f（4，3)an－eq\f（1，3）×2n＋1＋eq\f（2，3),①得Sn－1＝eq\f(4，3）an－1－eq\f（1，3）×2n＋eq\f（2，3）.②由①－②，得an＝eq\f(4，3)（an－an－1）－eq\f(1,3)（2n＋1－2n)．整理得：an＋2n＝4(an－1＋2n－1），∴｛an＋2n}是首项为a1＋2＝4，公比为4的等比数列．∴an＋2n＝4×4n－1，∴an＝4n－2n。随堂练习·巩固1．A由8a2＋a5＝0,得eq\f(a5,a2)＝－8，即q3＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(S5，S2）＝eq\f(\f（a1（1－q5），1－q)，\f（a1(1－q2),1－q））＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f（33，－3）＝－11.2．C3．C4．－15．eq\f(x（1－xn）,1－x)＋eq\f(yn－1,yn＋1－yn)当x≠0，x≠1，y≠1时，（x＋eq\f(1,y)）＋（x2＋eq\f（1，y2）)＋…＋（xn＋eq\f（1,yn))＝（x＋x2＋…＋xn)＋(eq\f（1,y）＋eq\f(1,y2)＋…＋eq\f（1，yn))＝eq\f(x(1－xn）,1－x)＋eq\f(\f(1，y)（1－\f（1，yn）),1－\f（1，y）)＝eq\f(x（1－xn),1－x)＋eq\f(yn－1,yn＋1－yn)。6．解：(1)由已知