数学学案：导数的四则运算法则

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1-1第三章3。2。3导数的四则运算法则能利用导数的四则运算法则求较简单初等函数的导数．1．初等函数由__________经过有限次四则运算和有限次复合构成初等函数．不要求对由基本初等函数经过复合构成的初等函数求导，即不要求对复合函数求导．【做一做1】下列函数不是初等函数的为（）A．y＝cB．y＝x2C．y＝xsinxD．y＝eq\f(1，x）2．导数的四则运算法则设f（x)，g(x）是可导的，则（1）函数和（或差）的求导法则：［f(x)±g(x)］′＝__________。即两个函数的和(或差）的导数,等于这两个函数的导数________．这个法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差),即（f1±f2±…±fn)′＝f1′±f2′±…±fn′。【做一做2】函数y＝x5＋x的导数为__________．(2）函数积的求导法则：［f（x）g（x）］′＝__________.即两个函数的积的导数，等于________个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上________个函数的导数．【做一做3】[Cf（x）]′＝__________。(其中C为常数，f（x）可导）［Cf（x)]′＝Cf′（x）．此式可表述为：常数与函数积的导数,等于常数乘以函数的导数．(3）函数商的求导法则:eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx,gx)）)′＝____________（其中g(x)≠0)．【做一做4】eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，gx））)′＝__________.(其中g（x)可导且g（x)≠0)1．对导数的四则运算法则的理解．剖析：（1)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导．这是因为公式中的每个函数要求在其定义域内可导，所以在其公共定义域内可导，即在它们的和、差、积、商的定义域内可导．例如，f(x）＝log3x＋x2,函数f（x)是h(x)＝log3x与g（x)＝x2的和，h(x）在其定义域(0,＋∞）内可导，g（x)在其定义域R内可导，则f(x）在其定义域(0，＋∞)内可导．(2)两个函数不可导，但它们的和、差、积、商（分母不为零)可能可导．例如，设f（x)＝sinx＋eq\f（1，x)，g（x）＝cosx－eq\f(1，x)，则f(x），g(x）在x＝0处不可导，但它们的和f（x)＋g(x）＝sinx＋cosx在x＝0处可导．2．如何运用运算法则求初等函数的导数？剖析：要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式．再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．对于不具备求导法则结构形式的要进行适当的恒等变形．如:y＝cos2x，此函数不是基本初等函数也不具备求导法则的结构形式，可对其进行变形为y＝cos2x＝2sinxcosx,然后用积的导数运算法则求导．题型一应用求导法则求导数【例1】求下列函数的导数：（1)y＝x4＋3x3－2x－5；(2)y＝xlog3x；（3）y＝eq\f(sinx,x);(4)y＝x－sineq\f（x，2）coseq\f（x，2）.分析：对于前三个函数是由基本初等函数经过加减乘除四则运算得到的简单的初等函数，求导时可直接运用求导法则进行求导．对于函数(4）不符合求导法则的公式结构形式,先将其解析式运用三角恒等变形公式进行适当变形，然后选用相应的法则，结合求导公式求导．反思：运用求导法则和导数公式求导的基本步骤:(1)分析所给函数y＝f(x）的结构和特征，对于不符合求导法则公式结构形式的可适当进行变形．(2）选择恰当的导数公式和求导法则进行求导．(3)整理后得结果．题型二求曲线的切线【例2】(2010·天津高考）已知函数f（x）＝ax3－eq\f(3，2）x2＋1（x∈R)，其中a＝1.求曲线y＝f(x)在点（2，f（2))处的切线方程．分析：利用导数公式和求导法则求出f′（2），再用点（2,f(2))在曲线上求得f(2)，即可求切线方程．反思：能够利用导数公式和求导法则准确地对所给函数求导是解决问题的关键，因此要熟记导数公式表和求导法则．【例3】(2010·陕西高考）已知函数f（x)＝eq\r（x)，g(x）＝alnx,a∈R。若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x)相交且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程．分析：利用交点坐标满足两个函数解析式和两曲线在交点处切线相同得到两个方程，联立，解得a＝eq\f(e，2)，x＝e2。进一步可求切线方程．反思：在不知道切点的情况下,求切线方程时一般地先设切点坐标,运用已知条件列方程或方程组求切点坐标,然后求切线方程．1下列运算正确的是（）A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x）′B．（sinx－2x2)′＝（sinx）′－(2)′(x2）′C．(cosxsinx)′＝(sinx）′cosx＋（cosx)′cosxD．［（3＋x2）(2－x3）］′＝2x(2－x3）＋3x2(3＋x2)2函数y＝x＋eq\f（1，x)的导数是（）A．1－eq\f(1，x2）B．1－eq\f(1,x）C．1＋eq\f(1,x2)D．1＋eq\f（1，x）3f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1）＝4，则a的值等于()A．eq\f（19，3）B．eq\f（16，3)C．eq\f（13,3)D．eq\f（10,3)4（2010·全国卷)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(）A．a＝1，b＝1B．a＝－1,b＝C．a＝1,b＝－1D．a＝－1，b＝－15若曲线f(x）＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．答案：基础知识·梳理1．基本初等函数【做一做1】C2．(1)f′(x)±g′（x)和（或差）【做一做2】y′＝5x4＋1（2)f′(x)g（x)＋f(x)g′(x)第一第二【做一做3】Cf′(x)Cf（x）是常数函数y＝C与函数f(x)的积，可直接应用积的求导公式求解．［Cf（x)］′＝C′f(x）＋Cf′(x）＝Cf′（x),即[Cf（x)]′＝Cf′（x）．（3）eq\f(gxf′x－fxg′x，g2x）【做一做4】－eq\f（g′x，g2x)函数eq\f（1,gx)可以看成是常数函数y＝1与函数g(x)的商,可直接应用商的导数公式求导．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，gx)））′＝eq\f(gx×1′－1×g′x,g2x)＝eq\f（gx×0－g′x，g2x)＝－eq\f(g′x，g2x）.典型例题·领悟【例1】解：（1）y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋（3x3）′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.（2)y′＝(xlog3x）′＝x′log3x＋x(log3x)′＝log3x＋eq\f（x,xln3）＝log3x＋eq\f(1,ln3）。(3）y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（sinx,x）))′＝eq\f（xsinx′－x′sinx,x2)＝eq\f（xcosx－sinx，x2）。(4）先化简原式y＝x－sineq\f(x，2）coseq\f（x,2)＝x－eq\f(1，2）sinx,故y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）sinx)）′＝x′－eq\f(1，2）(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.【例2】解：∵a＝1，∴f（x）＝x3－eq\f(3,2)x2＋1,f（2）＝3，f′(x)＝3x2－3x,f′（2)＝6。∴曲线y＝f（x）在点（2，f(2))处的切线方程为y－3＝6（x－2），即y＝6x－9.【例3】解：f′（x）＝eq\f（1,2\r（x）），g′(x）＝eq\f(a，x)（x＞0)，由已知得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\r（x)＝alnx，,\f（1,2\r（x)）＝\f(a，x)，)）解得a＝eq\f(e，2)，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e）．切线的斜率为k＝f′(e2)＝eq\f（1,2e），∴切线的方程为y－e＝eq\f(1,2e）(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.随堂练习·巩固1．A2．Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x））)′＝(x)′＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，x）))′＝1－eq\f(1,x2）.3．Df′(x）＝3ax2＋6x，f′（－1）＝3a－6＝4，a＝eq\f(10，