数学学案：单元整合第二讲证明不等式的基本方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元整合知识网络专题探究专题一比较法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方，可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法．eq\x(应用1)设a≠b，求证:a2＋3b2＞2b(a＋b)．提示:用作差比较法证明．作差比较法的步骤是：①作差；②变形;③判断差与0的大小关系；④下结论，其中最关键的步骤是②③。证明：(a2＋3b2)－2b（a＋b）＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2。因为a≠b，所以a－b≠0.从而(a－b）2＞0,于是(a2＋3b2)－2b（a＋b）＞0.所以a2＋3b2＞2b(a＋b）．eq\x(应用2）若a＝eq\f(ln2,2）,b＝eq\f(ln3,3）,c＝eq\f（ln5,5），则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c提示:作商比较法的步骤是:①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论．其中②③是关键步骤，同时要注意分子、分母的正负．解析：∵eq\f(b,a）＝eq\f（2ln3，3ln2）＝log89＞1，且a＞0,b＞0，∴b＞a.又∵eq\f（a,c）＝eq\f(5ln2，2ln5)＝log2532＞1，且a＞0,c＞0，∴a＞c。∴c＜a＜b。答案：C专题二综合法综合法证明不等式的依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证）成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号"的理由要理解掌握．综合法证明不等式的思维方面是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果）,最后推导出所要证明的不等式成立．eq\x（应用）已知a，b,c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca)提示:应用余弦定理解决．证明：设a，b两边的夹角为θ，则由余弦定理，得：cosθ＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）因为0＜θ＜π，∴cosθ＜1,∴eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＜1,即a2＋b2－c2＜2ab。同理可证：b2＋c2－a2＜2bc,c2＋a2－b2＜2ac将上面三个同向不等式相加，即得：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）专题三分析法分析法证明不等式的依据：不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆求”（但绝不是逆推)，即由待证的不等式出发，逐步逆求使其成立的充分条件(执果索因）,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因",步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般说来,对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用．eq\x(应用）设a＞0,b＞0，求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3.提示:此题可以用分析法、综合法和比较法来证明,这里我们用分析法证明．证明：要证a5＋b5≥a3b2＋a2b3成立，即证(a5－a3b2）＋（b5－a2b3）≥0成立，即证a3(a2－b2）＋b3(b2－a2）≥0成立,即证(a3－b3）(a2－b2)≥0成立．而a＞0,b＞0,当a≥b＞0或b≥a＞0时，a3－b3与a2－b2的符号都相同，所以（a3－b3)（a2－b2）≥0成立．所以原不等式成立．专题四反证法运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反的假设;②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题．涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题,也常用反证法．eq\x（应用)用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．解：已知：如图，在△ABC中，∠CAB＞90°,D是BC的中点．求证:AD＜eq\f（1,2）BC。证明：假设AD≥eq\f(1，2）BC.(1）若AD＝eq\f(1，2)BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠CAB＝90°，与题设矛盾．所以AD≠eq\f(1,2）BC。（2）若AD＞eq\f(1,2）BC，因为BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，所以在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD.所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD,即∠B＋∠C＞∠CAB。因为∠B＋∠C＝180°－∠CAB，所以180°－∠CAB＞∠CAB，则∠CAB＜90°，这与题设矛盾．由（1）(2)知AD＜eq\f（1,2）BC.专题五放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法．它是证明不等式的特殊方法．eq\x(应用）已知a，b，c为三角形的三边，求证:eq\f（a，1＋a),eq\f(b,1＋b)，eq\f（c,1＋c)也可以构成一个三角形．证明:设f（x)＝eq\f(x,1＋x），x∈(0，＋∞）,0＜x1＜x2,则f（x2）－f(x1)＝eq\f（x2,1＋x2）－eq\f（x1，1＋x1）＝eq\f(x2－x1，（1＋x2)(1＋x1))＞0，f（x2）＞f(x1）,∴f(x）在(0，＋∞）上为单调增函数．∵a，b，c为三角形三边，∴a＋b＞c,∴eq\f（c，1＋c)＜eq\f（a＋b,1＋(a＋b)）＝eq\f（a，1＋a＋b）＋eq\f（b,1＋a＋b)＜eq\f(a，1＋a）＋eq\f（b，1＋b)，即eq\f(c,1＋c)＜eq\f(a，1＋a)＋eq\