数学同步优化训练：平面向量数量积的物理背景及其含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.4平面向量的数量积2。4。1平面向量数量积的物理背景及其含义5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1。若e1、e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（)A.e1·e2=1B.e1·e2=—1C.e1·e2=±1D。|e1·e2｜＜1解析：两个平行的单位向量,当它们的方向相同时，数量积为1，当它们的方向相反时,数量积为-1。答案：C2.判断正误，并简要说明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-=；④|a·b｜=|a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.解:上述7个命题中只有③⑦正确：对于①:两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②：应有0·a=0；对于④：由数量积定义有|a·b｜=|a|｜b｜·|cosθ|≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有｜a·b｜=|a｜｜b｜；对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a·b=0；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.3。已知|a｜=3,｜b｜=6，当：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为60°时，分别求a·b。解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,∴a·b=｜a｜|b｜cos0°=3×6×1=18；若a与b反向,则它们的夹角θ=180°，∴a·b=|a|｜b｜cos180°=3×6×(-1）=—18。②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，∴a·b=0.③当a与b的夹角是60°时，有a·b=｜a|｜b｜cos60°=3×6×=9。4。已知｜a｜=10，｜b｜=12,a与b的夹角为120°，求a·b。解：由定义，a·b=｜a｜｜b｜cosθ=10×12×cos120°=-60.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。(2006高考四川卷，理7)如图2-4—1,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(）图2A。，B。，C.，D.,解析：在正六边形中｜P1P2|的长度设为1，则｜P1P3|=，｜P1P4｜=2，｜P1P5|=，|P1P6｜=1。由数量积的计算公式,得=1×cos30°=，=1×2cos60°=1，=1×2cos90°=0,=1×1cos120°=，∴为最大.答案：A2.(2006高考福建卷,理11)已知｜｜=1，｜｜=，·=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°。设=m+n（m，n∈R)，则等于(）A。B。3C.D.解析：设的模长为a，则由向量加法的几何意义得两式相除得=3。答案：B3.给出下列命题：①在△ABC中,若·＜0，则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若·＞0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中，正确命题的序号是______________________。解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角。①∵·＜0，∴·=-·＞0,∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角。所以推不出△ABC是锐角三角形。故命题①是假命题。②∵·＞0，∴·=-·＜0。∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题。③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C。而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0；另一方面,由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一个直角。故命题④是真命题。答案:②④4.若向量a，b,c满足a+b+c=0，且|a|=3，｜b|=1，｜c|=4，则a·b+b·c+a·c=_____________。解法一：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·∴2（a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）=—(|a|2+|b｜2+|c｜2）=-（32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13。解法二：根据已知条件可知|c|=|a｜+|b｜，c=—a-b，所以a与b同向，c与a+b反向。所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4—12=-13.答案:—135。已知a,b是两个非零向量,同时满足｜a｜=|b|=｜a-b｜，求a与a+b的夹角。解法一：根据｜a|=｜b｜，有|a｜2=｜b|2，又由|b｜=｜a—b｜，得｜b|2=｜a｜2—2a·b+｜b|2∴a·b=|a|2。而|a+b｜2=|a｜2+2a·b+｜b|2=3|a｜2∴｜a+b|=.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=,∴θ=30°。解法二：设向量a=（x1,y1)，b=(x2，y2），∵｜a|=｜b|，∴.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(),即a·b=（)。由｜a+b｜2=2(）+2×（）=3（)，得|a+b|=(）。设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°。解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a,OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.∵｜a｜=|b|，即||=|｜，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b,=a—b.而｜a｜=｜b｜=|a-b|，即|｜=｜|=｜|。∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°。6.若(a+b)⊥(2a—b），(a-2b)⊥(2a+b），试求a,解：由(a+b)⊥（2a—b)，(a-2b)⊥(2a+即∴a2=b2，｜a|2=|b|2,｜a｜=|b|。由2a2+a·b-b2a·b=b2—2a2=|b|2-2|a｜2=｜b|2—2×｜b|2=—|b｜2，∴cosθ=。∴a,b的夹角的余弦值为。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知向量a，b，a·b=—40，｜a｜=10，｜b｜=8，则向量a,b的夹角为（)A.60°B.—60°C.120°D。-120°解析：根据公式a·b=|a|｜b|cosθ，得cosθ=，由此可求两向量的夹角为120°.答案：C2.下列命题中真命题的个数是(）①｜a·b｜=｜a｜·｜b｜②a·b=0a=0或b=0③|λa|=｜λ｜·｜a｜④λa=0λ=0或a=0A.1B。2C解析：由向量数量积的定义,可知①②错误，③④正确.答案：B3.(2006高考陕西卷，理9)已知非零向量与满足（）·=0且·=，则△ABC为（）A.三边均不相等的三角形B。直角三角形C。等腰非等边三角形D。等边三角形解析：由（）·=0可知∠A的平分线与边BC垂直。又cosA==，所以∠A=。所以△ABC为等边三角形。答案:D4.如图2-4—2所示,在平行四边形ABCD中，｜求:（1）·；（2）·；(3）·。图2解:（1）·=9;（2)·=—16；(3）·=—6。5。设n和m是两个单位向量,其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n—3解：｜m｜=1,|n|=1,由夹角是60°，得m·n=。则有|a|=|2m+n|=。|b|=|2n-3m|=.所以a·b=（2m+n）·（2n—3m)=m·n—6m2+2n2=所以a，b的夹角为120°.6.已知向量=a，=b，∠AOB=60°,且|a|=｜b｜=4。(1)求｜a+b｜,|a—b｜；(2)求a+b与a的夹角及a—b与a的夹角.解法一：（1）|a+b|2=(a+b）2=a2+2a·b+b2=｜a｜2+2｜a｜｜b｜cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16=48，∴|a+b｜a-b|2=(a-b）2=a2—2a·b+b2=｜a|2-2｜a|｜b|cos60°+|b｜2=42-2×4×4cos60°+42=16—16+16=16,∴｜a—b（2)记a+b与a的夹角为α，a—b与a的夹角为β，则cosα=，∴α=30°。cosβ=.∴α=60°。解法二:如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB。∵|a|=|b｜=4，∴四边形OACB为菱形.（1）a+b=，a-b=,又∠AOB=60°，∴｜a+b｜=||=2｜|=2××4=，a-b=|｜=4.(2）在△OAC中，∠OAC=120°，∴∠COA=∠OCA=30°。a+b与a的夹角即∠COA=30°，a—b与a的夹角即与所成的角为60°。7。已知｜a｜=5,｜b｜=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?解：若向量a+mb与a—mb互相垂直，则有（a+mb)·（a—mb）=0，∴a2-m2b2=0。∵｜a｜=5，｜b|=12,∴a2=25，b2=144。∴25-144m2∴m=±。∴当且仅当m