2023-2024 学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷含答案

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共

10

个小题，每小题

3

分，共

30

分）1．（3

分）2023

年

9

月

23

日至

10

月

8

日，第

19

届亚运会在杭州成功举办，此次亚运会在规模、项目、覆盖面、商业价值等方面都创造了多个“历史之最”．如图运动图标中，是轴对称图形的是(

)【解答】解：

A

、是轴对称图形，故此选项符合题意；B

、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C

、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D

、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：

A

．2．（3

分）下列运算结果正确的是(

)A．

xxx

448

+=

2B．()

xyxy

−=−

222C．

−+=−+

xxyxxy

()

23D．

aaa

235

⋅=【解答】解：

xxx

444

+=

2

，故

A

错误，不符合题意；()2

xyxxyy

−=−+

222

，故

B

错误，不符合题意；−+=−−

xxyxxy

()

23

，故C

错误，不符合题意；235aaa

⋅=

，故

D

正确，符合题意；故选：

D

．3．（3

分）如图，已知∠=∠=°

CC1

90

，能直接用“

HL

”判定

RtABCRt

∆≅

△

ABC

111的条件是(

)A．∠=∠

CC1，

ABAB

=

11B．

ABAB

=

11

，

ACAC

=

11第2页（共18页）C．

ACAC

=

11，

BCBC

=

11D．∠=∠

BB1，

BCBC

=

11【解答】解：

A

．

AB

和

AB11是一对斜边，缺少一对直角边相等，∴不能利用“

HL

”判定RtABCRt

∆≅△

ABC

111，故此选项不符合题意；B

．

AB

和

AB11是一对斜边，

AC

和

AC11

是一对直角边，∴能利用“

HL

”判定

RtABCRt

∆≅

△

ABC

111，故此选项符合题意；C

．

AC

和

AC11

是一对直角边，BC

和

BC11

是另一对直角边，∴不能利用“

HL

”判定

RtABCRt

∆≅

△

ABC

111，故此选项不符合题意；D

．BC

和

BC11

是一对直角边，缺少一对斜边相等，∴不能利用“

HL

”判定

RtABCRt

∆≅

△

ABC

111，故此选项不符合题意；故选：

B

．4．（3

分）如图，∆ABC

为等边三角形，

AMCN

//

．若∠=°

BAM

25

，则∠=

BCN

(

)A．65°B．60°C．

45°D．35°【解答】解：∆ABC

是等边三角形，∴∠=∠=°

BACACB

60

，

AMCN

//

，∴∠+∠=°

MACCAM

180

，∴∠+∠+∠+∠=°

BAMBACACBBCN

180

，即

256060

°+°+°+∠=°

BCN

180

，∴∠=°

BCN

35

．故选：

D

．5．（3

分）如图，A

、B

是两个居民小区，快递公司准备在公路l

上选取点

P

处建一个服务中心，使

PAPB

+最短．下面四种选址方案符合要求的是(

)第3页（共18页）【解答】解：根据题意得，在公路l

上选取点

P

，使

PAPB

+

最短．则选项

A

符合要求，故选：

A

．6．（3

分）若(2)(3)

xxxmxn

−+=++

2

，则

m

、

n

的值分别是(

)A．

m

=1，

n

=

6B．m

=1，

n

=−6C．

m

=

5

，n

=−6

D．

m

=

5

，

n

=

6【解答】解：(2)(3)

xx

−+=+−

xx

2

6，∴=

m

1，

n

=−6

，故选：

B

．7．（3

分）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？(

)用平方差公式分解下列各式：（1）

ab

22

−（2）−−

xy

22（3）

−+

x2

9（4）

425

mn

22

−A．第（1）道题B．第（2）道题C．第（3）道题D．第（4）道题【解答】解：（1）

ababab

22

−=+−

()()

，它是利用平方差公式因式分解的；（2）

−−=−+

xyxy

2222

()

，它不能利用平方差公式因式分解的；（3）

−+=−−=+−

xxxx

222

9(3)(3)(3)，它利用平方差公式因式分解的；第4页（共18页）（4）

425(25)(25)

mnmnmn

22

−=+−

，它是利用平方差公式因式分解的；综上，第（2）道题错误，故选：

B

．8．（3

分）如果

xax

2

++16是一个完全平方式，则

a

的值是(

)A．

±4B．4C．

±8D．8【解答】解：

xax

2

++16

是完全平方式，∴=±⋅

axx

24

．∴=±

axx8

．∴=±

a

8．故选：C

．9．（3

分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在(

)A．

∆ABC

三边的垂直平分线的交点B．

∆ABC

的三条中线的交点C．

∆ABC

三条角平分线的交点D．

∆ABC

三条高所在直线的交点【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择

∆ABC

三边的垂直平分线的交点．故选：

A

．10．（3

分）如图，已知∠=°

AOB

120

，点

D

是∠AOB

的平分线上的一个定点，点

E

，F

分别在射线OA和射线OB

上，且∠=°

EDF

60

．下列结论：①

∆DEF

是等边三角形；②四边形

DEOF

的面积是一个定值；③当

DEOA

⊥

时，

∆DEF

的周长最小；④当

DEOB

//

时，

DF

也平行于OA．其中正确的个数是(

)第5页（共18页）点

D

是∠AOB

的平分线上的一点，∴=

DMDN

，∠=°

AOB

120

，∠=∠=°

DNODMO

90

，∴∠=°

MDN

60

，∠=°

EDF

60

，∴∠=∠

EDNFDM

，∴∆≅∆

DENDFMASA

()，∴=

DEDF

，∴∆DEF

是等边三角形；故①正确；SS

∆∆

DEMDFN

=

，∴+=+

SSSS

∆∆

DEM

四边形DEON

四边形DEONDFN

，即

SS

四边形DEOF

=

四边形DMON

，点

D

是∠AOB

的平分线上的一个定点，∴四边形

DMON

的面积是一个定值，∴四边形

DEOF

的面积是一个定值，故②正确；DEOA

⊥

，∴点

E

与

N

重合，垂线段最短，∴DE

的值最小，当

DE

最小时，

∆DEF

的周长最小，∴当

DEOA

⊥

时，

DE

最小，

∆DEF

的周长最小，故③正确，DEOB

//

，∠=∠=°

DDFB

60

，∠=°

AOB

120

，∴∠≠∠

DFBAOB

，∴DF

一定与OA不平行，故④错误．故选：C

．二、填空题（本大题共

6

个小题，每小题

3

分，共

18

分）11．（3

分）分解因式：

aba

−=

ab(1)

−

．【解答】解：

abaab

−=−

(1)

．故答案为：

ab(1)

−

．12．（3

分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中

ABAC

=

，立柱

ADBC

⊥

于

D

，若

BD

=

8

米，则

BC

=16

米．【解答】解：

ABAC

=

，

ADBC

⊥

，∴==

CDBD

8米，∴==

BCBD

216米，故答案为：16．13．（3

分）若(3)|6|0

ab

−+−=

2

，则以a

、b

为边长的等腰三角形的周长是

15

．【解答】解：由(3)|6|0

ab

−+−=

2

，得：

a

−=

30

，60

−=

b

，解得a

=

3

，b

=

6

，当

3

为腰时，336

+=

，不能构成三角形；当

6

为腰时，369

<<

，能构成三角形，周长为66315

++=

．第6页（共18页）第7页（共18页）故答案为：15．14．（3

分）已知am

=

3

，

an

=

5，则

amn−

=35．【解答】解：am

=

3，

an

=

5，∴amn−=÷

aa

mn=÷353=

5，故答案为：

35．15．（3

分）如图，等边三角形

ABC

的三个顶点都在坐标轴上，

A(3,0)

−

，过点

B

作

BDAB

⊥

，交

x

轴于点D

，则点

D

的坐标为

(9,0)

．【解答】解：

A(3,0)

−

，∴=

OA

3，∆ABC

是等边三角形，OBAC

⊥

，∴==

OCOA

3，∴==

ACBC

6

，

∠=∠=°

ACBABC

60

，BDAB

⊥

，∴∠=∠−∠=°

CBDABDABC

30

，∴∠=∠−∠=°

BDCACBDBC

30

，∴∠=∠

BDCCBD

，∴==

CDBC

6

，∴=+=

ODOCCD

9

，∴点

D

的坐标(9,0)

．故答案为：(9,0)

．16．（3

分）如图所示，在等腰

∆ABC

中，ABAC

=

，∠=°

B

50

，D

为

BC

的中点，点

E

在

AB

上，∠=°

AED

70

，若点

P

是等腰

∆ABC

的腰

AC

上的一点，则当

∆EDP

为等腰三角形时，∠EDP

的度数是

140°

或100°

或70°*（

）

．【解答】解：

ABAC

=

，∠=°

B

50

，∠=°

AED

70

，∴∠=°

EDB

20

，当

∆DEP

是以

DE

为腰的等腰三角形，①当点

P

在

P1位置时，

ABAC

=

，

D

为

BC

的中点，∴∠=∠

BADCAD

，过

D

作

DGAB

⊥

于G

，

DHAC

⊥

于

H

，∴=

DGDH

，在

RtDEG

∆

与

Rt

△

DPH1

中，DEDP

=

1，

DGDH

=

，∴∆≅

RtDEGRt

△

DPHHL

1

()

，∴∠=∠=°

APDAED

1

70

，∠=°−°−°=°

BAC

180505080

，∴∠=°

EDP1

140

，②当点

P

在

P2

位置时，同理证得

RtDEGRt

∆≅

△

DPHHL

2

()

，第8页（共18页）第9页（共18页）∴∠=∠

EDGPDH

2

，∴∠=∠=°−°=°

EDPGDH

2

18080100

，③当点

P

与点

A

重合时，

∆EDP

是等腰三角形，

ABAC

=

，∠=°

B

50

，∴∠=°

BAC

80

，∴∠=

EAD

40

，18040702∴∠==°

EDP°−°

，综上∠EDP

的度数为140°

或100°

或70°．故答案为：140°

或100°

或70°．三、解答题（本大题共

9

个小题，第

17、18、19

题每题

6

分，第

20、21

题每题

8

分，第

22、23

题每题9

分，第

24、25

题每题

10

分，共

72

分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6

分）计算：

162023|12|8

−+−−

03

．【解答】解：

162023|12|8

−+−−

03=−+−−

41212=

2

．18．（6

分）先化简，再求值：()()()()

abaabababab

−−−++÷

2222

，其中

a

=

2，b

=−1．【解答】解：原式

=−+−+++

aabbaabaab

222

2=+

ba

2

，当

a

=

2，b

=−1时，原式

=−+=

(1)23

2

．19．（6

分）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为

1

个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，∆ABC的顶点均在格点上，点

A

的坐标为(1,4)

−

．（1）直接写出∆ABC

的面积

S∆ABC

=

6

；（2）已知∆ABC

与△

ABC

111关于

y

轴对称，请在坐标系中画出△

ABC

111；（3）点

Pab

(,)

与点

A(1,4)

−

关于

x

轴对称，求

2ab

−

的值．【解答】解：（1）

14362S∆ABC

=××=

．故答案为：6．（2）如图，△

ABC

111即为所求．（3）点

Pab

(,)

与点

A(1,4)

−

关于

x

轴对称，∴=

a

1，b

=

4

．∴−=−=−

2242

ab

．20．（8

分）如图，已知∆ABC

和

∆ADE

，

ABAD

=

，∠=∠

BADCAE

，∠=∠

BD

，

AD

与

BC

交于点

P

，点C

在

DE

上．第11页（共18页）（1）求证：

ACAE

=

；（2）若∠=°

B

25

，∠=°

APC

65

，求∠E

的度数．【解答】（1）证明：∠=∠

BADCAE

，∴∠+∠=∠+∠

BADDACCAEDAC

，即∠=∠

BACDAE

，在

∆BAC

和∆DAE

中，BDABADBACDAE∠=∠=∠=∠，∴∆≅∆

BACDAEASA

()

，∴=

ACAE

；（2）解：∠=°

B

25

，∠=°

APC

65

，∴∠=∠−∠=°−°=°

BAPAPCB

652540

，又∠=∠

BADCAE

，∴∠=°

CAE

40

，由（1）知

ACAE

=

，11(180)(18040)7022∴∠=∠=×°−∠=×°−°=°

EACECAE

．21．（8

分）小雅同学计算一道整式除法：(axybxyxy

3223

+÷)(2)

，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为128

xyxy

4334

−

．（1）直接写出a

、b

的值：

a

=

6

，b

=

；（2）这道除法计算的正确结果是；（3）若

xy

=−5，327

xy

−=

，计算（2）中代数式的值．【解答】解：（1）(axybxyxyaxybxyxyxy

3223

+⋅=+=−

)(2)22128

43344334

，∴=

212

a

，

28

b

=−

，∴=

a

6

，b

=−4；故答案为：6，

−4

；（2）(64)(2)32

xyxyxyxyxy

3223

−÷=−

22

；故答案为：32

xyxy

22

−

；（3）32(32)

xyxyxyxy

22

−=−

，

xy

=−5，327

xy

−=

，∴原式

=−×=−

5735

．22．（9

分）如图，在∆ABC

中，DE

垂直平分

AB

，分别交

AB

、BC

于点

D

、E

，AE

平分

∠BAC

，∠=°

B

30

．（1）求∠C

的度数；（2）若

DE

=

2

，求

BC

的长．【解答】解：（1）DE

是边

AB

上的垂直平分线，∴=

AEBE

，∴∠=∠=°

BBAE

30

．

AE

平分∠BAC

，∴∠=∠=°

BAEEAC

30

，∴∠=∠+∠=°+°=°

BACBAEEAC

303060

，∴∠=°−∠−∠=°−°−°=°

CBACB

180180603090

；（2）

AE

平分∠BAC

，∠=°

ACB

90

，

DEAB

⊥

，∴==

ECED

2

，DE

垂直平分

AB

，∴∠=°

BDE

90

．在

∆BDE

中，∠=°

BDE

90

．∠=°

B

30

．∴==

BEDE

24

．∴=+=+=

BCBEEC

42623．（9

分）在课后服务课上，老师准备了若干张如图

1

的三种纸片，

A

种纸片是边长为

a

的正方形，B

种第12页（共18页）第13页（共18页）纸片是边长为b

的正方形，C

种纸片是长为b

，宽为

a

的长方形，并用

A

种纸片一张，B

种纸片一张，C

种纸片两张拼成如图

2

的大正方形．【发现】（1）根据图

2，写出一个我们熟悉的数学公式

()2

abaabb

+=++

222

；【应用】（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：①已知：

ab

+=

7，

ab

22

+=

29

，求

ab的值；②如果一个长方形的长和宽分别为(11)

−

x

和(4)

x

−

，且(11)(4)30

−+−=

xx

22

．求这个长方形的面积．【解答】解：（1）由图

2

可知，()2

abaabb

+=++

222

，故答案为：()2

abaabb

+=++

222

；（2）①ab

+=

7

，

ab

22

+=

29()()4929

2221022ab

=

abab

+−+−==

．②令11−=

xm

，

xn

−−

4

，则

mm

22

+=

30

mn

+=

7

，()()

2222mnmnmn+−+∴=49302−=192=，即(11)(4)192−−=

xx．故这个长方形的面积为192．24．（10

分）我们定义：如果两个多项式

M

与

N

的和为常数，则称

M

与

N

互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如

MFxx

=−+

26

2

与

Nxx

=−+−

21

2

互为“对消多项式”，它们的“对消值”为

5．（1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是

②③

（填序号）:①32

xx

2

+

与32

x2

+

；②

x

−

6

与

−+x

2

；③

−+

52

xyxy

23

与521

xyxy

23

−−

．（2）多项式

Axa

=−

()2

与多项式

Bbxxba

=−−+

2

2(

，b

为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；（3）关于

x

的多项式Cmxx

=++

2

64

与

Dmxxn

=−++

(1)()互为“对消多项式”，“对消值”为t

．若

abm

−=

，bcmn

−=

，求代数式

abcabbcact

222

++−−−+

2

的最小值．【解答】解：（1）3232622

xxxxx

222

+++=++

，xx

−−+=−

624，−++−−=−

525211

xyxyxyxy

2323

，∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②③组多项式是互为“对消多项式”，故答案为：②③；（2）

Axaxaxa

=−=−+

()2

222

，

Bbxxb

=−−+

2

2

，∴+

AB=−+−−+

xaxabxxb

222

22=−+−−++

(1)(22)()

bxaxab

22

，

A与

B

互为“对消多项式”，∴−=

10

b

，

−−=

220

a

，解得

a

=−1，b

=1．∴+

ab

2=−+

(1)1

2=+11=

2，∴它们的“对消值”是

2；（3）Cmxx

=++

2

64

，

Dmxxnmxmnmxmn

=−++=−+−−−

(1)()()

2

，∴+=−−+−

CDmnmxmn

(6)(4)

，C

与

D

互为“对消多项式”且“对消值”为t

，第14页（共18页）第15页（共18页）abm

−=

，bcmn

−=

，∴−=−+−=+=

acabbcmmn

()()6

，∴++−−−+

abcabbcact

222

21[()()()]2

2222=−+−+−+

abbcact1[()6]2(2)

2222=+++−

mmnm1[(6)6]2(2)

2222=+−++−

mmm=−+

mm

2

432=−+

(2)2828

m

2

，∴代数式

abcabbcac

222

++===+

2

的最小值是

28．25．（10

分）已知点

Aab

(,)

是平面直角坐标系中一点，且|3|690

abb

++−+=

2

，点

Bxy

(,)

是平面内一动点，

∆ABC

是以

AB

为斜边的等腰直角三角形（点

A

、

B

、C

逆时针排列）．（1）直接写出点

A

的坐标：

A

(3,3)

−

；（2）如图

1，当点

B

位于

x

轴正半轴上时，求证：OCBC

=

；（3）如图

2，点

B

在第二象限内运动，−<<

30

x

，03

<<

y

，

AHx

⊥

轴于点

H

，点G

是OB

的中点．现在给出两个结论：①

BGAB为定值；②∠CGH

的大小为定值，其中有且只有一个是正确的，请找出正确的结论并加以证明．【解答】（1）解：|3|690

abb