2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十九直线与直线垂直(15分钟30分)1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为BC,CC1,A1D1,C1D1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.连接A1C1,BC1,A1B,则MN∥A1C1,EF∥BC1,所以∠A1C1B即为EF,MN所成角,易得∠A1C1B=QUOTE.2.(2024·赤峰高一检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1,若点E是线段CD的中点,A1D与AD1相交于点F,则直线B1F与直线DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.作出图形如图所示,连接AE,取AE的中点G,连接GF,则直线B1F与直线D1E夹角即为∠GFB1,不妨设AB=2AD=2AA1=4,则GF=QUOTE,B1F=3QUOTE,B1G=QUOTE,故cos∠GFB1=QUOTE=QUOTE,所以直线B1F与直线D1E夹角的余弦值为QUOTE.3.(2024·长春高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线共有【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线共有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1答案:84.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱C1D1、C1C的中点,则直线AM和BN所成角的正弦值是【解析】如图,取DD1中点为G,连接AG,MG,则AG∥BN,所以∠MAG为直线AM和BN所成角,设正方体ABCD-A1B1C1D1则AG=QUOTE,MG=QUOTE,AM=3,在△AGM中,由余弦定理可得cos∠MAG=QUOTE=QUOTE,所以sin∠MAG=QUOTE.答案:QUOTE5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为【解析】如图所示:在正方体ABCD-A1B1C1D1所以异面直线AE与CD所成角,即为AE和AB所成的角.设正方体的棱长为2,由于AB⊥平面BCE,所以△ABE为直角三角形,所以BE=QUOTE=QUOTE,所以tan∠BAE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D得到一个三棱锥A′-BC′D.(1)求三棱锥A′-BC′D的表面积.(2)O是CC′的中点,求异面直线BD与B′O所成角的余弦值.【解析】(1)因为ABCD-A′B′C′D′是正方体,所以A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D=QUOTEa,所以三棱锥A′-BC′D的表面积为4×QUOTE×QUOTEa×QUOTE×QUOTEa=2QUOTEa2.(2)连接AD′,B′D′,AB′,在四边形BDD′B′中,BB′DD′,所以四边形BDD′B′为平行四边形,所以BD∥B′D′,所以∠OB′D′为异面直线BD与B′O所成的角.又因为ABCD-A′B′C′D′是正方体,棱长为a,所以B′D′=QUOTEa,B′O=QUOTEa,D′O=QUOTEa,所以cos∠OB′D′=QUOTE=QUOTE,即异面直线BD与B′O所成角的余弦值为QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=QUOTEBB1,则AB1与BC1所成的角的大小是 ()A.60° B.75° C.90° D.105°【解析】选C.设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=QUOTE,B1C2=QUOTE,AC2=QUOTE,所以AQUOTE=AQUOTE+B1QUOTE,则∠AB1C2=90°.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AD=2,AB=3,则异面直线AB1与BC1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.如图,连接AD1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角,因为AA1=1,AD=2,AB=3,所以AB1=QUOTE,B1D1=QUOTE,AD1=QUOTE.在△B1AD1中,cos∠B1AD1=QUOTE=QUOTE,所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为QUOTE.3.(2024·株洲高一检测)一个正方体的绽开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中 ()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°【解析】选D.还原成正方体如图,因为AB∥DE,所以∠CDE是AB与CD所成角,因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°,所以在原来的正方体中AB与CD所成的角为60°.4.(2024·重庆高一检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图,连接A1N,则A1N∥BM,所以∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1所以A1N=C1N=QUOTE,在△A1NC1中,由余弦定理可得:cos∠A1NC1=QUOTE=QUOTE.即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图是正方体的平面绽开图,则在这个正方体中:以下四个结论中,正确的结论是 ()A.BM与ED平行B.CN与BE是异面直线C.CN与BM成60°角D.DM与BN是异面直线【解析】选CD.依据绽开图,画出立体图形,连接BE,BN,BM与ED垂直,不平行,CN与BE是平行直线,CN与BM成60°角,DM与BN是异面直线.【补偿训练】如图是棱长为a的正方体的平面绽开图,则在这个正方体中,直线EF与MN所成角的余弦值为.

【解析】依据正方体的平面绽开图,画出它的直观图如图所示,连接BF,BE,由MN∥BF,得∠EFB是异面直线EF与MN所成的角,则△EFB是正三角形,所以∠EFB=60°所以cos∠EFB=QUOTE,所以异面直线EF与MN所成角的余弦值为QUOTE.答案:QUOTE6.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P分别为AB1,BC1,DD1A.异面直线AB1,BC1所成的角为QUOTEB.MN∥平面ABCDC.四面体A-A1B1N的体积为QUOTED.MN⊥BP【解析】选BD.如图所示,连接AD1,B1D1,则BC1∥AD1,则异面直线AB1,BC1所成的角即为AD1与AB1所成的角,因为AD1=B1D1=AB1,所以异面直线AB1,BC1所成的角为QUOTE,故A错误;连接B1C,则交BC1于N,所以MN是三角形B1QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C错误;MN∥AC,而AC⊥BP,所以MN⊥BP,故D正确.【补偿训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B1C1DA.直线EF,AO是异面直线B.直线EF,BB1是相交直线C.直线EF与BC1所成的角为30°D.直线EF,BB1所成角的余弦值为QUOTE【解析】选CD.如图,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D所以四边形AEOF是平行四边形,在A中,直线EF、AO相交,故A错误;在B中,直线EF、BB1是异面直线,故B错误;在C中,取C1D1中点G,连接EG、FG,则EG∥BC1,所以∠FEG是直线EF与BC1所成的角,设正方体ABCD-A1B1C1D1则EG=QUOTE=QUOTE,GF=QUOTE=QUOTE,EF=QUOTE=QUOTE,所以cos∠FEG=QUOTE=QUOTE,所以直线EF与BC1所成的角为30°,故C正确;在D中,取A1B1中点H,则EH∥BB1,所以∠FEH是直线EF,BB1所成角,cos∠FEH=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直线EF,BB1所成角的余弦值为QUOTE,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.棱长为a的正四面体A-BCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成的角大小是,线段EF的长度为.

【解析】棱长为a的正四面体A-BCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,取BD中点G,连接BE,CE,EG,FG,则EG∥AB,且EG=FG=QUOTEAB=QUOTE,所以∠FEG是异面直线EF与AB所成的角(或所成角的补角),BE=CE=QUOTE=QUOTE,EF=QUOTE=QUOTE,因为EG=FG,所以∠FEG=∠EFG,因为cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠FEG=∠EFG=QUOTE,所以异面直线EF与AB所成的角大小是QUOTE,线段EF的长度为QUOTEa.答案:QUOTEQUOTEa8.如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是【解析】取BC的中点D,连接D1F1,F1所以D1B∥DF1,所以∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角.设BC=CA=CC1则AD=QUOTE,AF1=QUOTE,DF1=QUOTE.在△DF1A中利用余弦定理可得cos∠DF1A=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·徐汇高一检测)如图所示,圆锥SO的底面圆半径|OA|=1,母线SA=3.(1)求此圆锥的体积和侧面绽开图扇形的面积;(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P,设线段SO中点为M,求异面直线AM与PS所成角的余弦值.【解析】(1)圆锥SO的底面圆半径|OA|=1,母线SA=3.所以圆锥的高为h=QUOTE=2QUOTE.所以V圆锥=QUOTE·π·12·2QUOTE=QUOTE,S圆锥侧=π·1·3=3π.(2)如图所示:在圆锥中,作MN∥SP,交OP于N,则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN.依题意AM=QUOTE=QUOTE,MN=QUOTESP=QUOTE,AN=QUOTE=QUOTE,所以cos∠AMN=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面BDE;(2)求异面直线PA与DE所成角的余弦值.【解析】(1)连接AC,设AC,BD的交点为O,连接OE,因为OE∥PA,PA⊄平面EBD,又OE⊂平面EBD,故AP∥平面BDE.(2)由(1)可得∠DEO为异面直线PA与DE所成的角,设AB=2,则EO=1,OD=QUOTE,DE=QUOTE,由勾股定理逆定理可得:△ODE为直角三角形,则cos∠DEO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故异面直线PA与DE所成角的余弦值为QUOTE.1.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为QUOTE的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

【解析】取BC的中点H,连接EH,AH,∠EHA=90°,设AB=2,则BH=HE=1,AH=QUOTE,所以AE=QUOTE,连接ED,ED=QUOTE,因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,在△EAD中cos∠EAD=QUOTE=