2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词课后素养落实含解析新人教B版必修第一册

PAGE课后素养落实(六)命题与量词(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列语句是命题的是()A．102021是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？D．a≤15B[A，D不能推断真假，不是命题；B能够推断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．故选B．]2．(多选题)下列命题是假命题的是()A．多边形的外角和与边数有关B．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集C．二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根D．若整数m是偶数，则m是合数ABD[因为Δ＝4＋4a23．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是()A．全称量词命题，真命题B．全称量词命题，假命题C．存在量词命题，真命题D．存在量词命题，假命题C[当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题．故选C．]4．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是()A．对随意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2bB．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．一次函数在定义域上是单调函数D[A中含有全称量词“随意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但事实上是指“全部的”5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3C[方程无实根应满意Δ＝a2－4＜0，即a2＜4，故当a＝0时适合条件．故选C．]二、填空题6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为______，是存在量词命题的为______．(填序号)②④①③[①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．]7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相像的三角形面积相等；②存在一实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．①③④[①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不肯定相像；②对随意x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，所以不存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0，为假命题；③当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.]8．若命题“∃x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命题，则实数m(－∞，－2][该命题为真命题，等价于方程x2＋mx＋1＝0有正根，又因为x1·x2＝1＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4≥0，,x1＋x2＝－m＞0，))即m≤－2，所以m的取值范围是(－∞，－2]．]三、解答题9．推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)任何一个实数除以1，仍等于这个数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈R，(x＋1)2≥0；(4)∃x∈R，x2＜2.[解](1)命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题．10.若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．[解]因为ax2－2ax－3＞0不成立，所以ax2－2ax－3≤0恒成立．(1)当a＝0时，－3≤0成立；(2)当a≠0时，应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ≤0，))解之得－3≤a＜0.由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0].1．(多选题)设集合A＝{x|x2－6x－7＜0}，B＝{x|x≥a}，下列命题中为真命题的是()A．存在a∈R，使A∩B＝∅B．若a＝0，则A∪B＝(－7，＋∞)C．若∁RB＝(－∞，2)，则a∈AD．若a≤－1，则A⊆BACD[集合A＝{x|x2－6x－7＜0}＝{x|－1＜x＜7}，B＝{x|x≥a}．对于命题A，当a≥7时，A∩B＝∅，所以A是真命题．对于命题B，当a＝0时，B＝{x|x≥0}，所以A∪B＝{x|x＞－1}＝(－1，＋∞)，所以B是假命题．对于命题C，若∁RB＝(－∞，2)，则a＝2，则a∈A，C是真命题．对于命题D，若a≤－1，在数轴上把集合A，B表示出来，如图所示，由图易知A⊆B，所以D是真命题．综上，四个命题中为真命题的是ACD．]2．若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1 B．a≤1C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1A[当a≤0时，明显存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a＜0；当a＞0时，由Δ＝4－4a2解得－1＜a＜1，故0＜a＜1．综上所述，实数a的取值范围是a＜1．]3．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若ab＝0，则a2＋b2＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若M∩N＝M，则N⊆M.其中假命题的个数是________．4[①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不肯定全等；②a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；③当c＝0时不成立；④M∩N＝M，说明M⊆N.]4．下列命题中是真命题的为________．(填序号)①菱形的每一条对角线平分一组对角；②∀x1，x2∈R，且x1＜x2，都有xeq\o\al(2,1)＜xeq\o\al(2,2)；③∀x∈Z，x2的个位数不是2；④方程2x＋4y＝3的全部解都不是整数解．①③④[①真命题．由菱形的性质可知，该命题是真命题．②假命题．如－2＜－1，但是(－2)2＞(－1)2.③真命题．∀x∈Z，x2的个位数有可能是0,1,4,5,6,9.④真命题．当x，y∈Z时，左边是偶数，右边3是奇数，不行能相等．](1)已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m(2)若(1)中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解](1)∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．又y＝2x－1－m在[1,2]上的