第14章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级上册 微专题5　因式分解

一、几何背景下的多结论问题第十四章整式的乘法与因式分解微专题5因式分解注：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．因式分解类型

直接考查因式分解1一次运算1．分解因式：(1)x2－5x＝______________；(2)m2－16＝______________；(3)4x2－9y2＝_________________；(4)m2＋12m＋36＝______________；(5)4a2－4a＋1＝______________；(6)x2－5x＋4＝______________．x(x－5)(m＋4)(m－4)(2x＋3y)(2x－3y)(m＋6)2(2a－1)2(x－4)(x－1)2．分解因式：(1)－4m2＋n2；

(2)16x2＋8xy＋y2；(3)2a(b＋c)－3(b＋c)；

(4)(3m－1)2－(2m－3)2.解：(1)原式＝n2－4m2＝(n＋2m)(n－2m).(2)原式＝(4x)2＋2·4x·y＋y2＝(4x＋y)2.(3)原式＝(b＋c)(2a－3).(4)原式＝[(3m－1)＋(2m－3)][(3m－1)－(2m－3)]＝(5m－4)(m＋2).因式分解2二次运算3．分解因式：(1)a3－4a＝______________；(2)x2y＋4xy＋4y＝______________；(3)a3＋2a2＋a＝______________．a(a＋2)(a－2)y(x＋2)2a(a＋1)24．分解因式：(1)m4－1；

(2)2m3n－32mn；(3)－3x3＋6x2y－3xy2；

(4)a4－2a2b2＋b4.解：(1)原式＝(m2＋1)(m2－1)＝(m2＋1)(m＋1)(m－1).(2)原式＝2mn(m2－16)＝2mn(m＋4)(m－4).(3)原式＝－3x(x2－2xy＋y2)＝－3x(x－y)2.(4)原式＝(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2.类型

综合应用应用1求值5．若3a＋4b－2＝0，则6a＋8b＝__________．6．若2a＋b＝－5，2a－b＝3，则4a2－b2的值为__________．7．若a－b＝2，ab＝－3，则a3b－2a2b2＋ab3的值为__________．4－15－128．先分解因式，再求值：(x＋y)(x2＋3xy＋y2)－5xy(x＋y)，其中x＝6，y＝－4.解：原式＝(x＋y)(x2＋3xy＋y2－5xy)＝(x＋y)(x2－2xy＋y2)＝(x＋y)(x－y)2.当x＝6，y＝－4时，原式＝[6＋(－4)]×[6－(－4)]2＝2×100＝200.应用2简便计算9．用简便方法计算：(1)3.142＋3.14×6.86；

(2)5.72－4.32.解：(1)原式＝3.14×(3.14＋6.86)＝3.14×10＝31.4.(2)原式＝(5.7＋4.3)×(5.7－4.3)＝10×1.4＝14.类型

方法拓展

拓展1配方法10．阅读材料：如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等．例1：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).例2：求式子x2＋4x＋6的最小值．解：原式＝(x2＋4x＋4)＋2＝(x＋2)2＋2.∵(x＋2)2≥0，∴当x＝－2时，x2＋4x＋6有最小值2.结合上述阅读材料，解决下列问题：(1)分解因式：m2－4m－5；(2)求式子x2－6x＋12的最小值．解：(1)原式＝(m2－4m＋4)－4－5＝(m－2)2－9＝(m－2＋3)(m－2－3)＝(m＋1)(m－5).(2)原式＝(x2－6x＋9)＋3＝(x－3)2＋3.∵(x－3)2≥0，∴当x＝3时，x2－6x＋12有最小值3.拓展2分组分解法11．八年级课外兴趣小组进行活动时，老师提出了如下问题：将m2－mn＋2m－2n因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(m2－mn)＋(2m－2n)＝m(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋2).解法二：原式＝(m2＋2m)－(mn＋2n)＝m(m＋2)－n(m＋2)＝(m＋2)(m－n).由此可以体会到，项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等达到因式分解的目的，这种方法称为分组分解法．请利用分组分解法解决下列问题：(1)分解因式：a3－3a2＋6a－18；(2)已知m＋n＝5，m－n＝1，求m2－n2＋2m－2n的值；解：(1)原式＝a2(a－3)＋6(a－3)＝(a－3)(a2＋6).(2)原式＝(m2－n2)＋(2m－2n)＝(m＋n)(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋n＋2).∵m＋n＝5，m－n＝1，∴原式＝1×(5＋2)＝7.解：△ABC是等边三角形．理由如下：∵2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0.∴(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝0，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0.∴a－