平行、垂直问题的证明-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端

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第三篇立体几何

专题01平行、垂直问题的证明

类型对应典例

证明线线平行典例1

证明线面平行典例2

证明面面平行典例3

证明线线垂直典例4

证明线面垂直典例5

证明面面垂直典例6

【典例1】如图，在四棱锥尸―A5CZ)中，平面B45_L平面ABC。，四边形A5CD为正方形，aQ钻为

等边三角形，E是PB中点、,平面AED与棱尸C交于点F.

(I)求证：AD//EF；

(II)求证：平面AEFD；

(HI)记四棱锥P—AEED的体积为匕，四棱锥P—A5CD的体积为匕，直接写出孑的值.

V2

1

【典例2］在如图所示的几何体中，四边形A3CO是菱形，AQNM是矩形，平面ADVMJ_平面4BCZ）,

NZMB-60，AD=2-AM=\.E为人吕的中点.

（1）求证：AN〃平面MEC；

（2）在线段4W上是否存在点尸，使二面角P-EC-O的大小为（？若存在，求出AP的长；若不存在,

请说明理由.

【典例3］如图，在长方体45co-ABf中，/^二^人力二工民户分别为人八M人的中点，。是8C

上一个动点，且8Q=4QC（；l>0）.

（1）当;1=1时，求证：平面BE尸尸平面A。。；

（2）是否存在2,使得8OJ,bQ?若存在，请求出义的值；若不存在，请说明理由.

2

【典例4】如图，菱形ABC。中，AB=2,NZM8=60，”是A。的中点，以BM为折痕，将A4BM

折起，使点A到达点A的位置，且平面平面8CDM,

（1）求证：1BD；

（2）若K为AC的中点，求四面体M—48K的体积.

【典例5】如图，在四棱锥P—A8CO中，四边形A3。为正方形，Q4JL平面ABC。，PA=AB^M

是PC上一点，且BWJ_PC.

（1）求证：PC_L平面MBD；

（2）求直线P8与平面池）所成角的正弦值.

3

【典例6】已知四棱锥中尸一A3CD,底面43co为菱形，NA3C=60。，P4_L平面43c。，E、M

分别是5C、尸。上的中点，直线与平面BAD所成角的正弦值为姮，点尸在PC上移动.

(I)证明：无论点尸在PC上如何移动，都有平面AM_L平面PAO：

(II)求点尸恰为PC的中点时，二面角C—A尸—E的余弦值.

【针对训练】

1.在如图所示的五面体A3CD防中,四边形A8CD为菱形，且

NDAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF〃AB,M为3c中点.

(1)求证:EW//平面3£>E;

(2)若平面4侦_1_平面A8CO,求F到平面BDE的距离.

4

2.己知空间几何体A8COE中，△BCD与ACDE均是边长为2的等边三角形，AABC是腰长为3的等腰三角

形，平面CDE_L平面BCD,平面八AC_L平面BCD

(1)试在平面38内作一条直线，使得直线上任意一点尸与E的连线E尸均与平面ABC平行，并给出证明;

(2)求三棱锥E-ABC的体积.

3.已知三棱锥尸—ABC中，ABA-AC,AB±AP.若平面。分别与棱R4、PB、BC、AC相交于点

E,£G,〃且PCP平面a.

(2)AB1FG.

4.如图，在四边形A'3C£>中，E'是4。的中点，AVB。为正三角形，08=2，DC=bBC=#>.

将A4'50沿直线80折起，使A'到达A处，£到达E处，此时平面A3。_L平面8co.

(1)求证：DC1BE；

(2)求点。到平面8CE的距离.

5

5.如图，直三棱柱ABC-AqG中，NBAC=90°，AB=AC,D,E分别为人4、片。的中点.

B

(1)证明：0E_L平面3CCM；

(2)已知3。与平面8CO所成的角为30°，求二面角。-BC一用的余弦值.

6.在四棱锥P—43C。中，底面A3CD为正方形，PB=PD.

(1)证明：面~4。_1面48。。；

(2)若B4与底面ABC。所成的角为30，PA.LPC,求二面角4-尸。-。的余弦值.

6

参考答案

【典例1】解:

(I)证明：因为正方形A5CZ)，所以AD//3C.

因为ADU平面PBC，BCu平面PBC，

所以A。//平面尸8C.

因为AOu平面AEFD，平面AEFDc平面P8C=即，

所以AD//EF

(II)证明：因为正方形ABC。，所以AD_LA8.

因为平面"48_L平面ABC。，平面R4Bc平面43cQ=A5，A£>u平面A3CO,

所以AD_L平面R48

因为PBu平面BAB,

所以

因为AM4H为等边二角形，K是/"中点，

所以尸3J_AE.

因为4Eu平面AEFD，AOu平面AEED，A£cA£)=A，

所以尸8J_平面AEED.

22

(HI)解：由(I)知，Vi=Vc_AEFDf%-48C=丫尸-ADC=和

558

・"j由=§刃，则%-诙产h+§匕=/1,

.YL=1

"V；"81

【典例2】解:

7

(I)CM与BN交于F，连接石尸.

由已知可得四边形BCMW是平行四边形，

所以尸是BN的中点.

因为E是的中点，

所以AN//EF.

又EFu平面MEC，AN£平面MEC

所以AN//平面MEC.

(〃)由于四边形A8CD是菱形，ND4B=60，E是A3的中点，可得

又四边形ADNM是矩形，面ADNM_LiSA3Cr)，

.•.。人」面480

如图是立空间直角坐标系D-xyz,

则0(0,0,0),E(6，o,0),C(0,2,0),P(G，-1,h),

CE=(邪,-2，0),EP=(0,-hh),

设平面PEC的法向量为q=(x,y,Z).

则产〃1=0.1后一2"0

EP-W1=0-y+hz=0

令y=\f3h，.二n}=(2h,>/3h，x/3),

又平面A£>E的法向量%=(0，0,1),

n,-n超13、万

•••8飞’…丽7"标T5,解得什乎

v配>1，

7

二在线段AM上不存在点P，使二面角尸一瓦;一。的大小为?.

8

【典例3】解：(1)当;1=1时，。为3c中点，

因为E是AO的中点，所以ED=BQ,ED[BQ,

则四边形BE。。是平行四边形，所以8E||。。.

乂平面AOQ，DQu半倒A,。。，所以8万|平面4。。.

因为瓦尸分别是ADAA中点，所以历4。，

因为M(X平面A。。，A。U平面A.DQ,所以所II平面AiDQ.

因为BEcEb=瓦瓦'u平面BEF,BEu平面BEF，所以平面BEF\|平面A.DQ.

(2)如图，连接AQ,BO与尸Q,

因为_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AA_L3。.

若3O_LA2,乂4A42u平面HA。，且44「＞/。=尸，所以比＞_1_平面A^。

因为AQu平面A4Q,所以4Q_L8D.

在矩形A8CO中，由AQJ_B。，得44。a。/)区4,

所以A3?=皿5。.

13

又AB=1,4力=2,所以8Q=5，QC=],

贝嘿二5即%

9

小Di

(1)证明：在左图中，•・•四边形AZJCD是菱形，NO46=60，M是AO的中点,

・•・ADLBM

故在右图中，A.MIBM,

,:平面4BM1平面BCDM,平面48MQ平面BCDM=BM,

•・•4M_L平面8CDM,

又BZ)u平面BCDV/，

所以AM_L30.

(2)解：在左图中，•・•四边形ABC。是菱形，ADA.BM,AD//BC,

；・BC工BM，UBM，

在右图中，连接CM,则匕8爪=，S\R“・AM=LXLX2XGX1=3,

A-£>CA/3A»LA/I32▼3

•/K为AC的中点，

・・BCM=,

【典例5】解：(1)连接AC，由尸4_1_立面ABCO，8。0平面ABC。得3DJ.P4,

又BD_LAC,PAryAC=A,

・・・BZ)_L平面尸AC,得尸C_La)，

io

又PC工BM、BDcBC=B，

:.PC_L平面AffiD

（2）法I：由（1）知PCJ_平面MBZ），即是直线与平面MB。所成角，易证P8J_BC，而

BM工PC，

不妨设R4=l，则5c=1,PC=6,PB=B

在RfAPBC中,由射影定理得PM:MC=PB2:BC2=2:b

可得PM=2pC=2且，所以sin/PBM=四=巫,

33PB3

故直线P8与平面MBD所成角的正弦值为直.

3

法2：取A为原点，直线MB，MD、M尸分别为1,九z轴，建立坐标系A-盯z,不妨设%=钻=1,

则P（0,0，D,5（1,0,0）,C（l,l,0）,

由（1）知平面M3。得法向量尸C=（l,l,一1），而PB=（l,0,T）,

网…画也皆邛.

故直线PB3平面所成角的正弦值为直

3

11

【典例6】解：

（I）连接AC

•・•底百A3CD为菱形，ZABC=60°.

・•・AA5C是正三角形，

•••E是3c中点，♦・AE_L5C

又皿•，・・・AE_LA£）

•・•PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,

・・・P4J_AE，又R4cAE=A

・•・AEJ_平面PAO，又AEu平面AEF

・•・平面AEV_L平面尸AO.

（H）由（I）得，AE，AO,4P两两垂直，以AE，AO，A尸所在直线分别为“轴，V轴，z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，

•・•AE_L平面PA。，

工NAME就是EM与平面PAO所成的角，

在WMME中，sin/AME=姮，即丝=如，

5AM2

设A5=2a，则4E=6〃，得4M=\/%，

又40=48=2。，设%=»,则“（0,。口），

所以40=5〃2+从=缶,

从而b=a,：•PA=AD=2^z，

则A（0,0,0）,8（扁-a,0）,C（扃,a,0）,D（0,2a,0）,P（0,0,2a）,

E（^,0,0）,F?&a,

\/

所以AE=（岛,0,0）,AF=型募M,B力=卜岛,340）,

设方（x,y,z）是平面AEb一个法向量，则

12

，ay取z=〃，得力=（0,—2a,〃）

[nAF=O-——+—+t7z=0

22

又8。_L平面ACF,・•.BD=卜岛,3〃,0）是平面ACF的一个法向量,

:.COSH,BD=JJ'=Y'_V15

卜代明马.26a5

【针对训练】

1.【思路引导】

(1)取8。中点。，连接0M,0E.

因为O,M分别为BD,3C的中点，所以OM//CD,且OM=-CD.

2

因为四边形A3CZ)为菱形，所以CD//AB,又CD<Z平面ABFE,ABu平面ABFE.

所以CD//平面A班E.

因为平面ABFE1平面CDEF=E£CZ)u平面CDEF,

所以CD//EF.

又A8=C£>=2,所以EF=[c。.

所以四边形OMFE为平行四边形，所以MF//OE.

又OEu平面BDE，且Mb(Z平面8DE,所以M/7〃平面8DE.

13

⑵由⑴得E必〃平面30E,所以F到平面的距离等于M到平面8OE的距离.

取AO的中点H、连接EH,BH,

因为四边形ABCO为菱形，且ZDAB=60,£4=EO=A8=2EF,

所以EH_LA£),8”_LA。，

因为平面4)E_L平面A3CD平面ADEf)平面ABCD=AD、所以EH_L平面ABCD,EHLBH,

因为EH=BH=6，所以BE=&'

所以5“=gx小『［半)=半.

设尸到平面8OE的距离为近又因为S„/,w=-S»rn=-x—x4=—.

所以由％一皿M=VM-BDE，得L义6x®=Lxhx叵，解得八二叵.

32325

即F到平面8DE的距离为巫.

5

2.【思路引导】

(I)SXOC的中点N,取50的中点M,连接MM则MN即为所求，证明EN〃A〃，MN〃8c可得平面

£MN〃平面ABC即可(2)因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，求三棱锥E-ABC

的体积可转化为求三棱锥N-ABC的体积，根据体积公式计算即可.

解：

(1)如图所示，取OC的中点N,取8。的中点M,连接MN,则MN即为所求.

14

E,

DMH

证明：连接EM,EN,取3C的中点〃，连接A”，

「△ABC是腰长为3的等腰三角形，”为8C的中点，

：.AHLBC,又平面ABC_L平面BCD,平面4801平面88=8C,AHu平面A8C,

・・・A”_L平面BCD,同理可证EN_L平面BCD,

：.EN!/AH.

TENC平面ABC,AHu平面4BC,

・・・EN〃平面ABC.

又M,N分别为3D,。。的中点，

:.MN//BC,

•「MNa平面ABC,8Cu平面48C,

〃平面ABC.

又MNCEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,

・•・平面EMN〃平面ABC,

又EAz平面EMN,

尸〃平面4BC,

即直线MN上任意一点〃与上的连线E卜均与平面ABC平行.

(2)连接DH,取C”的中点G,连接NG,则NG

由(1)可知EN〃平面ABC,

・•・点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，

又&BCD是边长为2的等边三角形，

又平面4BC_L平面BCO,平面ABCn平面BCD=BC,O〃u平面8c。，

平面ABC,・・・NG_L平面ABC,

15

易知・,.NG=等，

又SAABC=；BGAH=；x2x用一产=?五,

VE\BC=~SAABCNG=&

33

3.解：

证明（1）因为PCP平面a,平面a。平面Q4C=E”，PCu平面尸AC,所以有PCIIE斤，同理可证出

尸C||尸G、根据平行公理，可得防〃/G：

（2）因为A3J_AC，ABLAP^APcAC=A,AP,ACu平面PAC,所以ABJ_平面R4C,而PCu

平面PAC,所以。、由⑴可知PC||R7||£：",所以

4.【思路引导】（1）先由题证明BDJ.DC，再证明。CJ_平面4BD则可得OC_L5E：

（2）用等体积转化法%_8CE=%-88,求点O到平面8CE的距离.

解：(1)由08=2，DC=1,BC=5

可知+=3。2,

；・BD上DC，

又,:平面ABD平面BCD，且平面ABDc平面BCD=BD

，£>C_L平面ABD，

又3Eu平面AB。，

・••DCA.BE.

（2）取B力的中点尸，连接A尸.

•・・八4'双）为正三角形，，A45r）也为正三角形,

/.AFA.BD.

16

由3。=2,知=

•・•平百A5£)_L平面5CZ)，平面45£)「1平面8。£>=3£>，

•*-AF_1_平面BCD，

又•・•£为？对应的点，

・・・E为AO的中点，

・••点E到底面BCD的距离为无，BE=6ED=L

2

又CDJ_AO,CD=3：・CE=O'

又BC=布,

，B£2+CE2=BC2，，BEICE，

•­S=-BExCE=-x>j3xy/2=—^

sliCFO

S9='oxOC=gx2xl=L

设。点到平面BCE的距离为h.

*VD-BCE=VE-BCD»

.1c,_lcV3_>/6._1y/3

,•~SABCE'fj=-SABCDX-~/I=1X—,

DJ乙乙乙

解得人=也，

2

・•・点D到平面BCE的距离为YZ.

2

5.【思路引导】解法1：(1)建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；

(2)设4)=。，利用鸟。与平面5c。所成的角为30°得到。的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余

弦值，得到二面角的余弦值.

解法2：(I)取BC中点尸，连接A尸、EF,易证A/_L平面3CG片，再证明OE|iAF.可得。七_1_平

面BCC百

17

(2)设利用与。与平面5CQ所成的角为30°得到。的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余

弦值，得到二面角的余弦值.

解法3：(1)同解法2

⑵设惧=2。，利用三棱锥耳—8OC等体积转化，得到与到面5C。的距离，利用8c与平面BCD所

成的角为30。得到4c与d的关系，解出。，在两个平面分别找出放行直于交线，得到二面角，求

出其余弦值.

【详解】

解法1：

(1)以A为坐标原点，射线为不轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-孙z.

11

设AB=1，AD=a,则5(1,0,0),C(0,1,0),B,(1,0,24/),力(0,0,。)，4(1,0,2〃)，E

Izz

O£二(器,0),BC=(-l,l,0),B,C=(-l,l,-2«).

因为DEBC=0,DEBC=0'

所以DE_L5C,DE1B,C,BCu面BCC/i，面BCC中,BCcB£=B

于是DE_L平面3CCM.

(2)设平面8co的法向量〃=(毛,％,z0),

则〃BC=O，HBD=0,

又8。=(一1」,0),二(-1,0M),

18

-X）+y=0，1、

故《0‘n°八，取/=1，得〃=U，—.

E+%=01a）

因为8c与平面所成的角为30。，4。=（一1,1,一2〃），

21

I/n•B.C/==一

所以辰（〃“"3。。，.•.而二J（2+4叫（2+,）2

解得4=1,

〃=（LL夜）.

2

由（1）知平面5c用的法向量A尸=0

1

nAF2+2&

cos//,AF=--；--7=----------------\=—

同的历西.周IT2

所以二面角D-BC-B.的余弦值为也.

2

解法2：

（1）取3C中点尸，连接A/、EF,

\-AB=ACAAF1BC，

8B]JL平面ABC，A/7u平面48。

BB11AF,

而5Cu平面BCG4.8Ru平面8CC4、BCc48=8

4/，平面BCC/1.

♦・・£：为与C中点，EF||BBX,EF=；BB「

EFIDA,EF=DA，

二.四边形ADEF为平行四边形，

AF\\DE.

。£'_1_平面8℃由「

19

(2)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-A＞，Z.

设80,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2a),则0(0,0M),4(1,0,2a),10.

I22/

设半由BCD的法向量〃=(%,%,z0),

则〃・8。=0，〃・8。=0，

又3C=(-LL0)，BD=(-1,0,67),

-xo+yo=O

故《

f+az0=0

取％=1,得"=1,1,—j.

Ia)

因为B.C与平面所成的角为30。，B、C=(-1,1,-2tz),

所以|cos<”,BXC)>|=sin30°，

字力二(1,1,@.

解得G=

(11

由(1)知平面BC用的法向量-,-,0

I22

20

所以二面角。-8C一4的余弦值为巨

2

解法3：

(1)同解法2.

6____

(2)设45=AC=1,M=2a,则3C=&，AF=芋BD=DC=、f(i7^，

・•.DF=y/AD2+AF2=旧+；

,,SBDC=]-BCDF=^^-^S,BI=；BB>BC=6*

22z

D到平面BCB、距离DE=—f设，到面BCD距离为d,

2

由VB「BDC=VD-BCB,

得孔sDE李皿4即拼缶冬g.警。

d=.2a

72a2+1

因为6。与平面3c。所成的角为30。,

2a

所以4C=sin30。2d

y/2a2+}

而在直角三角形4313c中旦C=[BB：+BC2=4a