概率论与数理统计（浙大内部课件）

浙大内部课件（盛骤1.11.21.31.4等可能概型（古典概型1.51.62.12.22.32.42.53.13.23.33.4第四章4.14.24.34.4第五章5.15.2第六章6.16.2第七章7.17.27.3第八章第九章第十章10.110.210.3第十一章11.111.211.3第十二章12.112.212.312.4概率第一章概率论的基本概念§1

对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。§2样本空间·定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的

S={x|a≤x≤b(二)

(三)

2∘A＝B

A记A={明天天晴}，B={

B记A={至少有10人候车}，B={至少有5B一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={B

A A

{x

xA

x

A与B

A

AB,ABA

{x

xA

x

A2An至少有一发生

A2An同时发生AB

{x

xA

xB

AA

AB

∩i

∪i

A1

∪i

i

例：设ABA∪B

ABAB

§3频率与概率

(A)AnA—A发生的次数(频数)；n次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为1n；A={

fn(

15

#频率fn

例：抛硬币出现的正面的频n德·**0f(A)f(S)若AA,…,A两两互不相容，则f(AfAfn

(二)定义1fn(A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p0P(A)P(S)若AA,…,AP(APA

PA0不能APA1A1∘P(A

1

QA∪A

P(A)P(A)

P()2∘若A

P(B

A)

P(B)

P(A)

P(B)

P(QB

A∪

P(B)

P(A)P(P(B)P(A)

P(AB)

P(B

P(B)

P(

P(A)

P(B)

P(

A∪(B

P(A∪B)

P(A)P(B

又QB

知P(B

AB)

P(B)P(P(A∪B)P(A)P(B)P( #3的推广 P(AA 1ij P(AiAj

)(1)n1P(A

An1ijk§4（古典概型记A={摸到红球}，求P(A)． P

)CkCnk

/Cn

k0,1,L, N （注：当L>m或L<0

L0）记A＝{n解：

样本点数为Nn，使A发生的样本点数 nn!P(A) nn!/Nn

P(

1Cn

n!/Nn

记A=无2C5PA

例6:a个红球，b个白球，记a＋b＝n．不放回地摸n解

{第k次摸到红球}，k＝1,2,…,n．

P(Ak可设想将n①②,,是n球

号球为红球，将n个人也编号为 , 视

P(Ak)

a(ab1)!(a

ab

与k ,,,1 Ca，每点出现的概率相等，而其中有Ca1

P

)

/Ca 解

a将第k

S＝{①，②，…，n {

} P(A)a

a

记第k次摸到的球的颜色为一样本点 S＝{

P(Ak

1212/712=0.000000§5 记A={B={P(A)=90%而P(B)=85.5%P(A)=0.90是将整批产品记作1时AP(B|A)=0.95是将合格品记作1时B若记P(B|A)=x，则应有若记P(B|A)=x，则应有xP(AB)P(

P(B

A)

P(P(

P(A)

P(B

A)1

P(B|P(B∪C

A)

P(B

P(C

P(BC|B

P(B

A)

P

|A)P(P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|A={生产的产品要报废}

∵AB与ABP(A|B)P(A)

P(AB

AB)

P(AB)

P(AB)P(B)P(A

B)

P(B)P(A|B)0.30.20.70

B,A

P(A)

P(AB)

P(B)P(A

0.30.2Ai={这人第i次通过考核

P(A2|A11P(A2|10.8A={A

P(A)

(1)P(A1)P(A2

1)

1)(3

12

0.60＋0.40.80.40.20.9

0.992P(

P(

1)P

10.40.20.1

与Ai={第i次取到红牌}，i=1,2P(B)

P(1)P(A2

P(1)P(

P(B)

1111

1111

C2(2)(2)

P(B)

2626

C1

/C2

三、全概率公式与Bayes定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn

Bn

Bj

i

i,

1,2,,即：B

j

P(B

j)P(A|Bj

不相容ijQA

AB1

P(

P(ABj

P(Bj)P(AP(B|P(B|A)P(BiP(

BjP(B|P(B|A)P(Bi)P(A|BiP(Bj)P(A|Bjj*P(Bj)=pjP(A|Bj)=qj

p P1 Pn P

PBjPA

BjP

P(B

A)

P(B

A)

P(B)

P(AB

P(AB)P(

16

例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A={C={被诊断患有癌症}PA|C)

5%,P(A|C)

P(C)=0.005，

P(C)P(A|C)

P(C)P(A|C)

P(C)P(A|C)§6 不放回抽样时

P(A2|A1)9P(A2)P(A2|A1)

P(A2同样，A2的发生对A1定义：设A，B

P(A)

0,P(B)若P(B|A)=P(B)，即AAB相互独立AB相互独立AB相互独立AB定义：设A1A2,LAn为n个随机事件，若对2

均有：PAAL

PA

ij则称A1,A2L,An1∘两两独立不能2∘实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。A={甲击中},B={乙击中}则：C

AB，P(C)

P(A)

P(B)

P(A，B

0.7

0.80.56

解：设

P(A)

P(A)P(AA

)p(p2

pp3 另解，PA

P(AAA∪AA)

p3

p2

例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,p1解：设

第i局甲胜

i1,2,L,

PAPAAAAAAAAp22p21p PA

前四次有两次输

C11pp3C21p2p3 p,当p

P122P1

p2p1,当p总结

S

随机事件AABA事件的运算：ABAB 当AB时 A AP

PA1PA当AB时PAPBPAB=PAPBPP条件概率：PB|A P

当B1,B2,L,Bn为SP(A)

)P(A|B

|A)

P(Bi)P(A|Bij

j

j)P(A|Bj

设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)

A

PBPB

PB

A1PB

当A和BP(A∪B)设A,B,C为三随机事件，当A≠B，且P(A)≠0P(B)≠0时，第二章随机变量及其分布§1

§2定义：取值可数的随机变量为离散量 样本空间样本空间S＝…}1P(S)P(Xxi)

P(

0)

P(A1)p

P(

p)pP(

2)

X0XX0X1X

p)2pP(

3)

p)3P(

k)

P(AA

)

k1

k1,2, k 0－1(p)

*n重贝努利试验：设试验E

A,独立重复地抛n正面，反面，P出现正面

1将一颗骰子抛n次，设A={得到1

P

1从52张牌中有放回地取n次，设A={

P

1P(

k)

kpk

X□

Ckpk

其中q1k推导：设Aii次AP(

0)

)

P(

P(AAA∪AAA∪AAA)C1

P(

2)

P(AAA∪AAA∪AAA)C2p2

P(

3)

P(A1A2A3)一般P

k)

kpk

p)nk,

0,1,2,L,解：以X记“第一人维护的20及时维修”，则知80

PX而Xb200.01,

PX

k

1C200.01k

CC

k

k)

kpk

p)3k,

2

C2p2(10<p<1，设命中X次，(1X的概率分布律；(2)求至少有一次命中的概率。

X

b(n,p)

P(

k)

kpk

0,1,,2

P(

1

P(

1

p)n

limP(n

1)设X为第一次抽得的次品数，Y为第2则

P(A|1

且{X=i}与{Y=j}独立。A={

0|1

L(P)

P(

0)P(A|

P(1

2)P(A|1

P(

2)P(A|

45p2

p)8]

eP(

k)

kk

0,1,2,

P(

k)

e4.5k

1P(

2

P(

2|

2)

P(P(

C 1 ,其中§3

F(x)

P(

1)0

F(x)2)F(x)单调不减，且F(0，F(Q0

P(x1

x2)

F(x2)F求X的概率分布函数

F(x)

PX

xFxFxP(

1)

P

1)

p

时，Fx§4X

F

FF(x)f(t)dt

f

f(x称为X的概率密度函数，简称概率密度f(x)

y

(x)f(x)+

(x)dx

Px1

x2 PxXx 2f

(x)连续点

'(x)

f(x)即在f(x)

f(x)F'(x)

F(x□x)

F(x)

P(x

x□□ □ □ □P(x

x□x)

f(x)□f(x)表示X落在点x 0x例：设X

f(x)2 3x

P(

k)

11

f

c0dt

93

2

c2

F(x)

x1dt

x0x

x0

x 0

x1 dt

1x

1

1x0 1

dt

2dt

3x

(2x3)/ 3

x0 3

x

x3

PXk)

2F(k)

4.5

f(x)b

x(a,设accl

x

xP(c

cl)

dt

F(x)bffF

axbxb例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X

P(X

解：X在区间(-1,2)

1f(f(x)

1xP(X0)2

设10个数中有Y个数大于则 2211031033

2)C

f(x)

e

xx数分布。

□EP()(x)

xxP(X

t|

t)

P(

t P(Xt1F(t0t

e

P(

t1F(t0服从参数为t的Poisson分布，记设备无故障运行的时间为2

解

PNtkett

/k

k0,1,FTt

当t0当t0

tt1PNt01et2

18|

定义：设X的概率密度为f(x

，x

2为常数，称X,

2的正态分布(Gauss分布

□N(,2

f(x)dx令t+

t2Q

f

e2 t2记I (x2y2

re2

I

f(x)dx1X~N(,21∘f(x)关于x2∘

max

f() f(x)xfffσ是反映X在自然现象和社会现象中，大量随机变量记Z~N(Z

et2

( xxX

N(,2)

P(a

QP(a

b

(x

b

t2

P(a

a

e2例

~N(,2P(X

)

P(

P(XP(X

2)

2(2)1

2

X(cm)

N(,2

P(X

(97.8

1===10.8643

即103 97 )2

)1

X(cm)

175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至高大于175cm

P(X

1

175169.7

110.9015

其中

1

1

C1

§5测量值可看作随机变量X，0.2

□N(,

2P(Y

P(

P(Y

1)∪(

P(

例：设随机变量X具有概率密度f

(x)

x 0

x解：分别记X,Y的分布函数为FX

)FYFY(y)PYyPX

yP X yf(x)f(x)f(t)dtf(x)u(f(t)dtf(u(x))u

y16Yy当0y16FY(y)

y

FX

y)

fX

y 0

y

1 0

y

(y)

2其

Y在区间(0,16)若Y为离散量，则先写出Y

y2,Lyj,L,再找出

yj

D得

yi)

P(

若Y为连续量，则先写出YFY(y)

y的等价事件

得FYy

P(

D)；再求出Y的概率密度函数fY---设X的概率密度为

X求Y的概率密度fYy)□y

(

P(X2

y)

f

f

0

f (y)

'(y)f

y)

f

y

y 0

y 定理：设X

fX(x),x，g'(x0(或g'(x0)YgXYfY(

fX(h(y))

h'(y)

y 其中

min(g(),g())，max(g(),g())，h(y)xyg

且：hyyYy

P(Yy)

P(g(X)

y)

P(

)y

FYy

y

y)P(g(X)h(yP(

h(

fXfY(y)

fX(h(y))h'(y)

fX(h(y))

推论：设X

fX(x),{x

(x)

b),当a

0(或

'(x)

YgXYfY(y)

f

(h(y))

h'(y)

y

min(g(a),

max(g(a),h(y)xyg(x)

~N(,

2

X

(y)解：g(x)

g

xh(y)

yfY(y)

fX

e

~N一般若X~N(,2YaXbY~N(aba22若X

f(x)

x 0

x

YX

fYy) y

g(x)

xxy3h(y)g

0，

(y)

f(y)

y3 0

y

3y3f

(y3 24 0, 其他例：设X服从参数为的指数分布，Fx为X

2设

FX试证

ex,x 1ex,x解

由前知,X

fx

,x

,x2

1eX,XY

0Y ,X记

y

当y

y

y

y

P1eX

Pe

1 PX

1

yy,0

y0y1,y1

YUPXkCkpk1knk,k0,1,L, 课件待续§1例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)

Xe,Ye x,x,yF(x,y)

P(

x)∩

P(

y)

F(x,

y

xxF(x,y)F(x

,y) y1

y2

F

F

y2

F

F(,)对任意x(x,y(x,y

F(x,)

F(,)

x,y关于

limF(x

,y)F(x,y)limF(x,

y)

F(x,y)4∘若xx F(x2

y2)

F(x2

F(x1

y2)

F(x1

y1)因为Px1

x2,y1

y2F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有设X,Yxi,yi,i,j1,称PXxi,Yyjpij,i,j1

Pij j解：(X=i,Y=j)的取值情况为P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj|Xi)1 即(X,Y)例2：某足球队在任何长度为t的时间区间内得黄牌或红牌的次数Nt服从参数为t的Poisson分布记Xi为比赛进行ti分钟后的得牌数i1试写出X1X2

t1解：PNt

k

tk

k0,1,PX1

i,X2

j

PX1

iPX2

j|

t

et2t1

tj

i0,1,

ji,ii! (ji)!

y,

有F(x

f(u,称X,Y为称fxy为二维随机变量X,Y

x,y

f(x,y)dxdy设G是xoy平面上的区域，点X,Y落在GP((X,Y)G)

f(x,2F(x,在f(xy)的连续点(x,y)，

f(x,

f(x,y)表示空间一个曲面，介于它和xoy2PX,YG)等于以G为底，以曲面zf(x,y)所以X,Y例3：设二维随机变量(X,Y)ke(2x3y)f(x,y)

x0，y (1)k2

求分布函数F(x,3求P(YX)的概率 (1)利用－

f

e2xdxe3ydy

6

kf(x,

6e(2x3y)

x0，y

yx6e(2u3v)

x0,y2

F(x,

f(u,v)dudv 0,

x0,y

x0,

0 0, 3

X)

6e(2x3y)dxdy

3e3y(e2

| 3e3ye2ydy

3e5

3e5

| 0xf(x,y)

y

y (1)求常数k；(2)求概

P(X

解

f(x,y)dxdy

f(x,

0

1ky3dy

k0

2

P(X

2 24x[(1

x2 24x(1

§2记为X(x)Yy称为边缘分布函数

F(x,FFX(x)F(x,)FY(y)F(,yFX(x)

P(

x)

P(

)

F(x,即在分布函数F

(x)同理得：FYy

y)

F(,y) P(

yj)

i

yj)

P(

yj)

pij

P(

xi)

P(

)j

pij

pi

XY …

pi

xiP

yj

f(x,

(x)

f

fY(y)

f

FX(x)

F(x,

f(t,y)dy

fXF(

F(,y)

y

f(x,

fY

X和Y

,Y

2

求

2|

2PX

2|

20

- 0.10.1

1|

(3)P(

1|

(1a+b+0.6=1又

1|

1)

1

a

0.b=0.33

P(

ii 0.4

0.3□0.20.3

0.3

1A,(x,y)f(x,y0, 现设(X,Y)x2yx

f(x,y)

x2

y

fX(xfY

( fX(x)

f(x,

x26dy6(xx 0x fY(y)

f(x,

0

y f(x,y)

11 (x

(x

(y

)2

2 2(12

y

X,Y

N(，;2，2; 解：fX(x)

f(x,

(x)2

(x)(y)

(y

)211

21

exp2(12)

1

(x1

x

1

2

1

11

e2(1)

(x

1 1

y22(x1)

2

22(12)

(x1

1

2

(x2

x同理

(y)

22

y§3

P(A)

P(B|

P(

yj)

i,

若

yj)

P(

xi|

yj

PP(Xx|Yy)P(Xxi，Yyj)P(Yy

yj

PP(Xx|Yy)P(Xxi，Yyj)P(Yyi1,为在

yj条件下，随机变量X的条件分布律

P

xi

PP(Yy|Xx)P(Xxi，Yyj)P(Xxj1,i为在

xi条件下，随机变量Y的条件分布律解：X,Y的联合分布率为

0|

3

1|

1)4

2|

1)

p(0

P(

n)

p2qn2

q1

n2,

m1,2,LnX的边缘分布律为：P

P(

n)

p2qn2

n) P(

p2qn2

(n1)p2qn2,

n

2,3,L),

在Y

P(

m|

p2qn2 (n1)p2qn2

n1

m1,2,L,n1.

1,2,L),P(

在X

m条件下，Y

n|

p2qn2

pqnm1

nm1,m

y)

y条件下，X (x

y)

P(

x|

y)

P(X

X

y)

0,P(y

y)

y条件下，X (x

y)

limP(

x

y

y)

P(Xx,yYX

x|

P(y

(x,

fY(y)f(x,y为在YfYy)

y的条件下，X

(x

y)

f(x,X

fY(同理，若对于固定的x,fX(x在Xx条件下，Y

(y

f(x,Y|X

fX(x)

(x

(x|y)

(x

y)

f(x,X

X X

fY(

(x

y)

(x|y)

P(

y

X

X

P(y

y)F

F(x,y)F(x,y

F(y)

F(x,

2F(x, fY(

f(x,y)fY(y)例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y)yfX|Y(x

y)及P

2

1P(XP(X2Y1 2X(x12dx2

2f(x,y)

x

dx1y

1

yfY(y)

f(x,y)dx二维均匀分布的条件为分布二维均匀分布的条件为分布 fX

(x

y)

y<x

x0

数Y在区间x,1上随机取值，求Y的概率密度fYy)分析:

为求Y的概率密度，就要先求X,Y而根据X的边缘概率密度和Y在X 0x 即可求得X,Y的概率密度,而fX(x) 解：对任给x(0x1在Xx条件下，Y x

y (y|x)1Y|

x

y1,0x故X,Y的概率密度为：f(xy)

fX(x)fY|

(y|x)1 fY(y)

f(x,y)dx

dxln(1 01

y §4定义：设F

y)及

(xFYy)分别是二维随机变量X,YF(x,F(x,y)FX(x)FY(P(

y)

P(

称随机变量X,Y若X,Y是连续型随机变量，f(xy),fX(x),fYy)

(x,y)

fX

fYy)若X,Y是离散型随机变量，则X,Y条件等价于：P

xi

yj)

P(

xi

yjpijpi□pijpi□例1：§1例2中X和Y？(X,Y)6e(2x3y)f(x,y)

x0,y2e2xfX(x)

x

fY(y)

y

0

y故有

(x,y)

fX(x)

fYy),因而X,Y

x,y

gxhy

axb,c

yd其中abcdP(P(P(P(

1)12)11)22)2

P(P(P(P(

P(

1)1P(

1)12121故P

P(

因而X与Y例4:设X与Y P( P(P(Yj)例5X,Y1f(x,y) 1 (x)2

(x)(y (y

)2exp2(12)

1

(x

(y

)2fX(x)

fY(y)

21

"

如果

(x,y)

fX(x)

fY(y)"

即X,Y反之，若X,Y由于

(x,

fX

fYy)

(x,y)

fX(x)

fY(y)特别的有

(1,2)

fX(1

fY(2)11

1

e2

x f(x,y)

fX(x)

(y)

1 x

x0,y

xP(

2Y) dxx

1e2

4dx

3x 4dx n设E是一个随机试验，它的样本空间是S设X1X1e,X

X2e,L,

Xne是定义在S由它们构成的一个n维向量X1,X2,L,Xn称为n维随机变量。对于任意n个实数x1,x2,L,xn，nF(x1,x2,Lxn)P(X1x1,X2x2,L,Xnxn称为n维随机变量X1,X2,L,Xn的分布函数。 设X1,X2,L,Xn所有可能取值为(x1i

,L,xni

ij1,P(X1

,X2x2i,L,Xnxni

j1,

ij1, 称为n维离散型随机变量X1,X2,L,Xn的分布律。若存在非负函数f(x1x2,Lxn)，使得对于任意实数x1x2,LF(x,x,Lx)

1f(x,

,Lx)dxdx

X1,X2,LXn的分布函数F(x1x2,Lxn则X1,X2,LXn的k(1

n) (x1)F(x1,,,L, F(X,X)(x1,x2)F(x1,x2,,L, P(

x1i)

P(

x1i,X

x2i,L,Xn

xniP(

x1i,X

x2i)

P(

x1i,X

x2i,L,Xn

xni fX1(x1 L

f(x1,x2,L,xn)dx2dx3 f(X1,X2)(x1,x2 L

f(x1,x2,L,xn)dx3dx4 若对于所有的x1,x2,L,xn,有 F(x1,x2,L,xn)FX(x1)FX(x2)LFX( 则称X1,X2,L,XnX1X2,LXm与Y1,Y2,L,Yn设X1X2,LXm的分布函数为F1(x1x2,LxmX1,X2,L,Xm,Y1,Y2,L,Yn的分布函数为F(x1,x2,Lxm,y1,y2,Lyn若F(x1x2,Lxmy1y2,LynF1(x1x2,Lxm)F2y1y2,Lyn称X1,X2,L,Xm与Y1,Y2,L,Yn设X1,X2,L,Xm与Y1,Y2,L,Yn则Xii

12,Lm与Yj

j12,Ln设hx1x2,Lxm和gy1

y2

yn则hX1,X2,L,Xm和gY1,Y2,L,Yn§5 ZX

f(x,

则Z

F(z)

P(Z

z)

f

y)dxdy

z

f

xy

f(u

y,

f(u

y,y)dy

fZ固定z,

故Z的概率密度为：fZ(z)

f(z

y,令xu

由X,Y

Z(z)又可写成

(z)

f(x,

XY的密度函数公式称为ffXfX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zZX

1

(zfZ(z)

fX(x)fY(z

z

tx 1e

e(x2)

21e4 1

2

2 e2

Z

X□N(,2),Y□N(,2 则ZX

□N(,22 ZX

fZ(z)

(x)

(z0

x

0x0zx 即z1x

zdx

0zf(z)1 dx2 1zz f(x)

e

xx

Z

Y解：根据卷积公式：fZ(z

fX(x)fY(z当z0时，fZ(z)当z0时，仅当x0、zx0于是当

0时，fZ(z)

dx

(z)

z e

zz

0 这是参数为(2,)的分布(Gamma)的密度函数 则Z

Y服从参数为

2的

fZ(z

fX(

fY(z

f(x)1(

y11e

x

10,当z0时，fZ(z)

xzx

y2

xy

(z)

x (zx)

e

fY(y)2(

20,

y e

212

)0

(z xz z121e

11

2

12

)0

□

1

且常数A

12

12MmaxX,Y

,

设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FYy现在来求MN的分布函数Fmax(z)和Fmin(z)。M(M(z)P(Mz)P(Xz,Yz)Fmax(z)FX(z)FY(z)

z)

P(

P(

z)Fmin(z)

z)1

1P(FminFmin(z)1(1FX(z))(1FY(z))

z)1P(

(xi

MmaxX

NminXi的分布函数Fmaxz和Fminz1iFFmax(z)FX(z)FX (z)L (z)Fmin(z)1[1FX(z)][1 (z)]L[1 特别，当X1,X2,L,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)(z)(F(z))n (z)1[1F(z)]n 令U

max(X,Y备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如fX(x)

xx

efY(y)

yy

0,

0，且 FX(x)

1e

xx

1e

yy

(z)

1e()

zzfminfmin(z)()e()zzFmax(z)

FX(z)FY(z)

z

zffmax(z)ezez()e()zz当

(z)当Z0

(z)

(z

(

ze(zy)e ezze()

[e

ezf(z)f(z) [ezez]zz2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y=1}=0,f(x0,y0)≠fX(x0)·fY(y0)则X和Y不独立，对吗？ §1

810980

8109801010 820965

8209651015

分别是8910 设离散型随机变量X的分布律为：PX

xk)

k1, kkk的数学期望，记为EX,

kxf

x x

E(E(X)xf

xf

f(f(x)xx

Xkk1,2,是指数分布的密度函数是指数分布的密度函数

(k1,

的分布函数F(x1

xx

minX1X2,故N

(x)1(1F

2

xx

(x)

2e

xxE(

)x

xe

|

e

e 从而E(N210210481E(X

041821 X~b(5

10)

P(

0)(1

E(Y

X(求EX)解：X的分布律为：PXX的数学期望为：

k)

kek!

k

E(X)

kk

e

k k

k1

eeEX例XU(ab)，求EX)b

ax解：XX

f(x) E(X)

xf(x)dxb

aab 定理：设Y是随机变量X

gXg是连续函数,P(

xk)

pk

k1, 若g(xk)pk绝对收敛，则有E(Y

E[g(X)]g(xk)pkX是连续型随机变量，它的概率密度为

(x)若

g(x)

(x)dx

则有E(Y

E(g(X

g(x)

(x)dx定理的重要意义在于我们求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了。定理：设Z是随机变量X,Y

gX,Yg是连续函数,若二维离散型随机变量X,YP(

xi

yj)

i,

则有E(Z

E[g(X,Y)]g(xi

yj j 则有E(Z

E(g(X,Y

g(x,

y)

特别地，EX

(x,

1x解：X

(x)

SE(S

f(x)dxx2 ZsinXY)(XY 2(0

解：E(Z)

]

0.1

sin(0

0.25sin

0.2sin(02) sin(12)0.15

yx,x

XYf(x,y)2x3y2

求数学期望EY, yyy 解：E(Y yf(x,y)dydx

x

1

2x3 1lny|x

3lnx2

1dx

2 E(1)

f(x,

dxx

1

2x4 3[ ]|x

(11

(

1) 2x4

2y2

4

考虑：先求E(Y

f(f(y) 2x3 2x0y y

单位商品可获利1000调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该种商品每周所获得利润的数学期望。解：设ZZg(X,Y)1000Y

若Y若YX和Y相互独立，因此X,Y)f(x,y)1 10x20,10y E(Z)g(x,y)f(x,

500(x

y)1100设C是常数，则有E(C)设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX

CE(X设X,Y是两个随机变量，则有E

Y)

E(X)

E(Y

c)

aE(X)bE(Y)设X,Y是相互独立的随机变量，则有EXY

E(X)E(YC是常数，P

1,E(X)

E(C)

1C E(CX)

(x)dx

C

xf

CE(X E(

Y)

(x

y)

(x,

xf(x,y)dxdy

yf

y)dxdy

E(X)E(Y E(XY)

(x,

xyfX(x)fY(

xfX

yfY(y)dy

E(X)E(Y不停车，以XEX)。Xi

X1X

L

E(

)P(

P(第i站有人下车

1(9 E(X)

E(X1)

E(X2)L

E(X1010[19)208.784(次设随机变量X1X2X3X

Y EXi

i,

YX1X4X2X由条件，E(Y

E(X1X4)

E(X2X3E(X1)E(X4)E(X2)E(X31423§2另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000D(X)VarD(X)Var(X)E[XE(X

将DX记为X)称为X的标准差或均方差反之，若X取值比较分散，则DX)较大。

xk)

k1,DD(X)[xE(X)]k 对于连续型随机变量其概率密度为

(x),DD(X)[xE(X)]2fDD(X)E(X2)[E(X

E(X)]2EX

2XE(X)[E(XE(X2)2E(X)E(X)[E(XE(X2)[E(X

E(X)

X证明：EX*)

证：EX*)

1E(

1[E(X)]D(X*)E(X*)[E(XE[(X

)2

E[(

P(

E(X

0

p)1pE(X2

p)12pDX

E(X2)[E(Xpp2

p(1

X的分布律为：P

k)

k

k1,

由上节例5已算得EXEX2

1)X

E[X(

E(X kk(k

2e k2ee

k2

k2

DXEX2[EX)]2

设X~U(ab)，求DX)

b

ax

f(x) 上节例6已算得：EX)

aE(X2)x2f

bx2

b

a2

D(X)E(X2)[E(Xa2

a2b2

(b

e

xf(x)

x解：E(X) xf

x

e xe

edxE(X2)x2f

x2

2

xe

dxDXEX2[EX

设C是常数，则D(C)设X是随机变量，C是常数，则有D(CX设X,Y

C2D(X

Y)

D(X)

E(X

E(Y特别，若X,Y相互独立，则有D

Y)

D(X)

综合上述三项，设X,Y相互独立，abc则

c)

a2D(X)b2D(YD(X

0

P(

C)

且C

E(X

D(C)

E

E(C)]2D(CX)

E(CX

[E(CX

C2E(X2)C2[E(XD(

Y)E(

Y)]2

E(X))

E(Y

E(X)]2E

E(Y)]22E[

E(X

E(Y

E(X

E(Y当X,Y

EX)与

E(Y)故E

E(X

E(Y)]

E(X

E(Y)]所以D

Y)

D(X)D(Y

□

解：随机变量X是n重伯努利试验中事件A

A在第kA在第k

k1,于是X1X2,LXn相互独立，服从同一01 1-p易知XX 1-p 故知：EX

E(Xi)E(Xi) D(X)D(Xi)D(Xi)np(1 即EXnp，DXnp(1以n,p为参数的二项分布变量，可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的01分布的随机变量之和。例7：设X□N(,2)，求EXDX

X

t2Z的概率密度为：(t) e t2于是E(Z

dt tD(Z)

E(Z

)

t2e

2

t22dt因为

Z，故EX

E(Z),D(X)D(Z)2D(Z)即正态分布的两个参数,2独立的nXi

N(,2

CC0C1X1C2X2LCnXn□N(CCLC,CC LC 2C1,C2LCn是不全为0

N

则Z2X

N(4,

Y)

P(X

由于XYN(0.100.052故有P

Y)

P(X

(0(0.10)(2)表1分分布率或密度函数方P(Xk)pk(1p)1kk0,1二项分布P(Xk)Ckpk(1np(1-泊松分布()P(Xk)kekk均匀分布f(x)1(ba),ax 指数分布EP()ex,xf(x) 11正态分布N(,2(xf(x) e22x§3

E(X

Cov(Cov(X,Y)E[XE(X)][YE(YCov(X,Y D(X)D(YCov(X,Y

Cov(Y,X)，Cov(X,X)

D(XCov(X,Y)E(XY)E(X)E(YCov(aX,bY)

abCov(X,Y

Cov(X1

X2,Y

Cov(X1,Y)Cov(X2,Y

bY,

dY)

bY)答案：acDXbdD(Yadbc)CovX,Ya2D(X)b2D(Y)2abCov(X,Y XY

abX)

时，b

证明：考虑以X的线性函数abX来近似表示以abX近似表达Y的好坏程度,e(ab)越小，abX与Y 下面来求最佳近似式：e(abmine(a

e(a,b)E(Y2)b2E(X2)a22bE(XY)2abE(X)2aE(Ye(a,

2a2bE(X)2E(Y)

a0E(Y)b0E(X

Cov(X,Y)e(a,

2bE(X2)2E(XY)2aE(X)

b0

D(X 已得：aE(YbEX

Cov(X,Y

D(X

,b)

E

bX

bX)]E

bX

D(Y)b2D(X)2bCov(X,YD(Y)

[Cov(X,Y D(X

(1 )D(Y1.由

,b)

1

0

XY 1

E

bX)2D

特别，当

1时，CovX,Y)

Cov(X,Y)D(X 当XY1时，CovX,Y0， 相关系数XY是一个用来表征X,Y

较大时，e(a0b0)较小，表明X,Y

1

e(a0b00，表明X,Y之间以概率1

较小时，e(a0b0)较大，表明X,Y

注意，X与YX与Y

Cov(X,Y)E(XY)

E(X)E(YD(

Y)

D(X)D(Y从而可知，当X与Y相互独立

X与Y已知P(XY)=0,判断X和Y是否不相关？是否 1 11E(X

(1)14012114E(XY

(1)(1)14(1)111(1)141114所以，COVX,Y

0,即X与YP(

P(

141P(

1)

P(

所以，X与Y不独立1f(x,y) 21(x

(x

(y [ 2

求X和Y的相关系数，并证明X与Y相互独立解：由于X,Y(X1)2

X与YfX(x

xfY(y)

22

(Y2)222

y所以EXDX2；E(YD(Y 而CovX,Y)

2

(x1)(y2)

(x,

(x1

(X1

(y2 2 1 [y(2(x2 1 (X1)2 (x1)

(x

)

(X1)2(x(x

2

1 于是XY

1D(X Cov(D(X

即二维正态变量X,Y)的概率密度中的参数就是X,Y的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由X,Y各自的均值、方差以及它若X,Y)服从二维正态分布，那么X和Y相互独立

对于二维正态变量X,Y)X和Y不相关

X与YU,VCOV(U,V

COV(

Y,

Y)

D(X)

D(Y)所以，U与V（2）X~

0)

P(X

1,X

0)

P(X

P(

0)1

0)

P(X

0)

P(

0)1

0)

U与V§4 定义：设X和Y若EXk

k12,L若E

E(X)]k

k12,L则称它为X的k阶中心矩若EXkYl

k,

则称它为X和Y的

若E

E(X)]k

E(Y)]l

k,

则称它为X,Y的

l阶混合中心矩 DX1 CovX1X2，称为X

Cov(X2,X1 D(X2 n维随机变量X1X2,LXn)，CovXiXj

D(X1

Cov(X1,X2 Cov(X1,Xn)Cov(X,X

D(X Cov(X,X)称矩阵

Cov(Xn,X1 Cov(Xn,X2 D(Xn 为n维随即变量X1,X2,LXn)的协方差矩阵，

(x

(x

1f(x1,x1

[ 2

2(12

X1 1

(X,

)的协方差矩阵为：C

2 2 2

C

1

2C

1

1

(X (X)(Y (Y经计算

)

(X)

[ 2 1

1 于是XX)的概率密度可写成：f(x

) exp1

(X)TC1(

)2C上式容易推广到n维正态变量X1,X2,LXn)的情况X1

E(X1)

E(X)引入列向量：X 2

2 ⁝ ⁝ n

E( C是X1,X2,LXn)的协方差矩阵,X1,X2,LXn)的概率密度定义为：f(x,x,Lx) exp1(X

)TC1(

) C n维正态变量X1,X2,LXn)的每一个分量Xii12,Ln正态变量；反之，若X1,X2,LXn都是正态变量，且相互独立，则X1,X2,LXn)是n维正态变量；n维随机变量X1X2,LXn)服从nX1,X2,LXn的任意线性组合l1X1l2X2LlnXn其中l1,l2,Lln若X1,X2,LXn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,LYkXj(j12,Ln)的线性函数，则(Y1,Y2,LYk)设X1,X2,LXn)服从n则X1X2,LXn相互独立X1X2,LXn设有一批数据x

,L,

记

1

x,则

(xx0

n 已知随机变量X

32xx2x

,0

x 求EX试问下列哪种解法是正确的？解法解法

xfxdx

32xx2x

dx 32xx2EX0x

dx 0

x0

0xdx 0xdx (2)E(X2)=E(X.X)=E(X).设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6(1)设第i袋水泥的重量为Xi,i=1,2,…,100Xi～N(50,2.52),Y=∑Xi则(2)设一包水泥的重量为XX～N(50,2.52E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002*2.52 课件结束数理统关键词：§1背景

则对于任意

0都有：P

EX

EX

1仅就X为连续型时证之

x,f(x)

x

fx

x

x

fx

fx

DX

fn

A而P0.74

0.76

P

1

1

n 随机变量序列依概率收敛的定 X1,X2,X3,L,

0,m

Xn

52：X1X2

XnL nYn

Xkk10limn

1

limPn

nk

证明：由于EYnEnXk

n

,D

D1

kX

1

D

1n

k

k

2由契比雪夫不等式得：PnXk1 1

k limP Xk nk

lim

p

证明：利用契比雪夫不等式，因

bn,p,EnA

1E

1np

nA

1 1

n

D

2DnA

2npq n 于是，0有PnAp1lim

p

§2定理

独立同分布的中心极限定理设随机变量X1,X2,L,Xn,L

E

1Xi

X Xi

xR

limP

x

limP x

2答案：N(,答案：N(,X（近似）～N(nn

b

a从而，P(a

b) )

p0

p1,

t2lim b

e2np(1np(1PaPanAb( np(1 np(1

则X1X2,LXn,L

~

由于

X

LX

limPa b

e2np(1np(1 即:nA(近似)

N(np,

解：记16只电器元件的寿命分别为X1,X2,L,X1616只电器元件的寿命总和为XXi Xi

16Y

X1600近似服从N 4 P

1192010.8 解：设X为一年中投保老人的死亡数，则Xbnpn10000pP10000X10000200

P

npnp1p 0.9370.937解：设机器出故障的台数为X,则Xb4000.02P

0P

np4000.02

P

0P

P

21P(

1)11np 7 个体样本2tF引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究§1 fnx1,x2,Lxn

1 （二）设X1X2Xn样本均值X

Xi((

总体X

S2 n1

X)2S为样本标准

E(X),D(X)则E(X)

k阶矩：A1X

k1,

D(X) n,E(S2) k阶中心矩：B1

X

k1, 思考题：(一)设在总体N,2中抽取样本XXX其中已知，

X1X2X

2

X2

maxX1,X2,X3答：只有(4)4答：只有(4)

1X

5

2 定理.设X1,X2,L,Xn是相互独立的n又设y

gi

,L,

,

,L,

Rni,i12,Lk是k且有n1n2Lnk

则kY1g1X1,L,Xn

g2Xn1,L,Xn

gkXn1Lnk11,L,Xn 定理6.2设t个随机变量X11,L,Xn11LX1t,LXntt又设对每一个i12,Lt,ni个随机变量X1i,L,Xni是相互独立的，则随机变量X11,LXn1,LX1t,LXnt是相互独立的。 §2定义：设随机变量X1,X2,LXn相互独立，Xi

N0,1i1,2,L,n则称

X

2nn yn

e

y 2

2 其中

fnnfnnn

y2分布的一些重要性质：

2n,则有E2nD2设Y2n,Y2n,且Y,Y相互独立，则有YY2nn 2

ni,且Y1,Y2,L,Ym相互独立，则Yi

ni

对给定的概率,0

fydy的点2n2n分布的上分位数上分位数2n 1：设总体XN,2,2已知。XX,LX是取自总体X 求(1)21

2 （2）设n=5,若a(XX)2b(2 则a,b,k

~2(k

YXi

i1,2,L, 显然Y1,Y2,L,Yn相互独立，且

N

i1,2,L,abkabk于是

(

n (XX

X1X

~N(0,

), ~

(2 X 2X3X

X

~N(0,

), ~

X1X2与2X3X4X5(XX (2 X 故 ＋ ~

t定义：设XN0,1,Y

2n,并且X,YYY

tn nt2n,t对给定的,0

n

ft,n

nfnnnfnnnf

t1

t(n)

tn

F分布定义：设X2n,Y2n,

且X,Y 则称随机变量F

Xn1服从自由度n

的F分布，记为F

Fn,nY/

~F(n,

),则

F

,n

fx;n,

Bn2,n2

n12n22x

x

ab

x其中Ba,b0 1

dx

a对于给定的,0

n1,n2

(n,n)[F(n,n n2,n2,n1n2n2

f F

Fn,n 此外,设

N0,1若Z满足条件

z 1.XN,2n-1

定理6.7设X,LX是总体N,2的样本，X和S2 均值和样本方差，则有 X

tnn1S

N

2nn1n1S/nX

nX

□tn6.

,L,

和Y

分别来自总体N,2和N,2

F 1

F

XY1211

3∘当

2

2

Y12

tn

1

n1S2n1S其中S2

2, nn n1S n1S

1□2n1, 2□2

且两者独立，由Fn1S 1 n 1

n1S

2S 2 n

由定理6.6,

~N(1,1),

~N(2,2 且X与Y相互独立，所以X

~N(12,12即

Y)(12)

11

3

X11

12

Nn1S n1S

2

1,

2

2

且它们相互独立,故有2n1S2n1SV

2n

2 由定理6.1知：U与V相互独立于是按tVn1n2Vn1n21

Y

2

tn

2 第七章参数估计例如：产品的质量指标X服从正态分布，其概率密度为：xfx;,2 e22 x但参数,2的值未知，要求估计,2，有时还希望以一定的可靠性来估计值是在某个范围内或者不低于某个数。§1

Xn对每一个未知参数ii12,Lk个统计量ˆ‸iXX,LX，作为参数 一

设总体X的分布函数为Fx;1,2,L,k1,2,L,k则有：EXv

,,L,

v12,Lk对于样本

X,X,L,X,

其v阶样本矩是：A1X

v1,2,L,

, ,

, 解此方程即得1,2,L,k的一个矩估计量‸1,‸2,L,ˆ XX,LX是取自X的一个样本，试求, EX,

EX2

A1XX A1X

n 令

(Xi Xfx

x

0x

0 X1,XL,Xn为取自X的样本，求

x

x

1令EX

X X

21 1 xPx;pnpxqnx

其中q

p,由假设知，p

1 Px,3192727Px,1272791x0P0127P031取p1 x1x2P219P2327,取p3

xx2,对每个x取px,使Px;px

ˆ设总体X的概率密度为fx,(或分布率p(x,)),1,2,L,k未知参数，为参数空间，即的取值范围。设x1x2,Lxn样本X1,X2,LXn

Lx1,x2,L,xn,

Lx1x2,Lxn,达到最大的值，称为

在求Lx1x2,Lxn,lnLx1,x2,L,xn,ln

Lx1x2,Lxn,通常记为L X

xi,

f

0

x

2 i

lnL

n

ln

1 n

2

lnxi ln lnXi

ex

x

0,是未知常量X1,LXn为X解

EX

x

x1ex

EX2x21exdx22xex

DXEX2E2XEX令

1(1(XiXDX1(

X 1(X1(XX

X2

x

1 1xiL,

n

xiQ

,故的取值范围最大不超过xminx1x2,Lxn1 另一方面，L,

xi

是的增函数，取到最大值时，L故

minX,X,L,X,

1

又

dlnL

1 X

ˆX

x1,x2,L,xn求出

0x因X

x; 0 0

,L,xndln

0,不能用微分法求 以下从定义出发求ˆ因为0

,故的取值范围最小为

maxx1,x2,L,xn又L1对 的是减函数，越小，L越大，故ˆ

n所以的极大似然估计量为ˆ

maxx,

,L,x2

1xdx

例6：设总体

其中

的概率分布率为 21-32现得到样本观测值2，3，2，1，3，求解

X

2

23(1

2)35令

2

13(23

ln163ln

dlnL()3 0

2表1例2，例4，例5ˆ 21 lnXi 1(XXn X 1(XXn ˆXXX§2定义：若参数的估计量

E

称为估计量若limE,则称是的n证明：样本均值X和样本方差S2分别是和2证：因X1,X2,L,Xn与X

11

1

EXi

1n

(S2(n1

X n

2 E

(

)

2ES

En1(

X)

n

E (

2

D

nDXn1

n nn 2 n n1

2X与极大似然估计量

Xn解：Q

U0,

,L,

n与X

E2X

2

EX

2nn

为考察ˆ n n

f

x

0x

E

n

xnxn1

X

n1X

,则n ,则

是由ˆX1,LXn所作的估计值的平均恰是，如果DD‸2对一切

U0,

X1,L,Xn是取自X的样本，已知

2X

n1Xn

解：D

D2X

n 0

x由 x

EXn

dx

n2n12

2 于是D2

EXnEXn

nn

2

D

比 nn

定义：设X1,L,Xn为参数的估计量，

依概率收敛于即

limP‸n

U0,

X1,L,Xn是取自X

2X

n1X

n

由契比雪夫不等式，0,当n

3n2同理：P‸2

nn2§3区间估该区间包含的可靠程度。假设X1,L,Xn是总体X

‸1X1,L,Xn

如果有两个统计量‸1‸1X1,LXn,

‸2X1,L,Xn

7则称随机区间‸1,‸2是的双侧1称1为在以上定义中，若将71P‸1X1,L,Xn1

72则称X1,L,Xn为又若将72P‸2X1,L,Xn1 7则称‸2X1,LXn为随机区间,‸2是1的一

X1,X

,L,

来自N,2X和S2分别为样本均值和方差置信度为1

X是的无偏估计,

X

N

有P

1答案:X-答案:X- 2即 PX

Z

X

Z21 X ,X 22

由X

tn

有

n1X

即 S S PX t2n1X t2n11 XSn1,XS n111n1S

~

n n1S

211有P1

n1 n11

即P

n1S

2

n1S

1

n

2

n1n1S n1S

n1, n1答案(n-1)S2(n答案(n-1)S2(n1)

12

22

解

n36,

15,由 PX1.96 X1.96

1.96

X1.96

151.96

2

n36,

PX SX S1

35

5

两种情况下

2

16,16,但第二种情形更实用,因为多数时候,2用t分布求的置信区间只依赖于样本数据及统计量XS

00.90.000.00 评估新苹果她随机挑选了25个测试重量单位：克其样本方

n1S2 1

24

0.00524

251

24

251又

2514.25

2514.25

二

两个正态总体N

,2,N

,2 X,X

来自N,2,Y,Y,L,Y来自N,2,

n n X X,Y Y S2和S2分别为第一,二个总体的样本方差置信度为1.1 2j

XY~N1212 n2XY121 1

2

Y

1 2

n22

1 此时由第六章定理 ~t1

Y

n

2 1 1

Sn1S2n1SS其 2

n1n2

,Sw1S S由 2

Fn11,n22 S2S 有PFn11,n21 2Fn11,n2111

2 S

S 即P1 11 1S2Fn1,n S2 n1,n1

S

S

1 ,1 S2Fn1,n1S2 n1,n1

例12：两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠得直径(毫米)如下:14.5设两机床生产的滚珠直径分别为X,Y,且

N

,2,Y

N

,2

10.18,

24

若

若1若12未知，求1的置信度为0.90解：n x S20.0457；n y S2

当

0.18,

1 1

1.645,从而所求区间为0.0182

1 1 X

2n1

2

11

从而所求区间为0.0443

平，差差S S平，差差1 ,1 S2

n1,

S2F

n1,

1度 度 8, 8,

说明说明义0.227当1的置信区间包含1可以认为两个总体的方差之间没有显著差异。待 其体参 参体

W的分 置信区 单侧置信体1总体X有容量为n的样本X

Xi样本方差S2 (XX)2,n1

有性质EX

E(X),ES2

课件结束随机过§1eX

e(X(e),Y

即X,Y)——e(X1(e),X2(e),LXn

即X1,X2,L,Xn)——ne(X1(e),X2

即X1,X2L)——e(X(e,

t(,

即X(tt())——定义：设T(eteStT是对应于e和t的实数，即为定义在S和T上的二元函数。若此函数对任意固定的tT,

et则称X(eteStT是对于随机过程X(eteStT进行一次试验，即e给定，T为参数集，对固定的e和tX(et)称为X(et)所有可能的值的全体称为状态空间今后将X(et)简记为XX(t)

当出现当出现

t，其中P(H)

P(T)解：对任意固定的t,X(t)是随机变量，取值为cost和P(X(t)cost)

P(X(t)t)XXXX2X1

cost,X2(t)

X(tcos(tt式中和正常数,是在(02)上服从均匀分布的随机变量,对每一固定的时刻t,X(t)cos(t)是随机变量从而也是随机变量。它的状态空间是[-,x(t)cos(t这族样本函数的差异在于它们相位的不同,

t其中V在[0,1]上服从均匀分布,则X(t)对每一固定的t，X

Vcost是随机变量V就得到相应的一个样本函数

以X(t)表示时间间隔0t内接到的呼叫次数，

的随机变量，于是X(t

x2x(1)设Xn是第n次(n1)抛掷的点数，对于n12,LXn是随机变量，服从相同的分布，PXn

i)1,

因而Xnn1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,

例子如下：若只在时间集

□t2□t,Ln□t,L上观察X(t)随机序列X1X2,LXn,LXn

X(n□t)§2

两种描述特征数

设随机过程X(ttT对每一固定的tTFX(xtPX(tx，xR，称为随机过程X(ttT的FX(xttT称为FX(x1,x2,Lxn；FX(x1,x2,Lxn；t1,t2,Ltn)PX(t1)x1,X(t2)x2,LX(tn)FX(x1x2,Lxn;t1,t2,Ltn)tiT称为X(t),tT的n一般地(x1,x2,Lxn;t1,t2,Ltn),n1, tiT称为随机过程X(ttT的有限维分布函数族costX(t)

t，设P(H)

P(T)1

F(x1,x2; x解：X(0)

出现出现

故F(x0)

0x

x xX

出现出现

故F(x;1) 1x xcostX(t)

t，设P(HP(T1

XX2XXX2X1x2 X(0),X 0,

出现 x1且x x1或x故F(x,x;0,1)

x1且x 1 例2：设随机过程X(tVcostt，V在[0,1]求在

0,,

,时X(t) 解：对给定的t若cost0记acost，则X(taV1 0x x;t

1

acos0

于是

0 x;0

x acos

2

x;

2

xacos

2

fXx;

acos

X x;

1

xacos

PX

0(二)给定随机过程X(tt(tEX(t均值函数2(t

EX2t 2(tD(tEX(t