第四章 三角函数与解三角形（测试）（含答案解析）

第四章三角函数与解三角形（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为所以或所以或者故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】由，利用正弦定理，，即,因,则或（不合题意舍去），故△ABC一定是等腰三角形.故选：A.3．如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由图可得：，则故选：D.4．如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（）A．R B．R C．R D．2R【答案】C【解析】设所对的圆心角为.则由题意，得.所以，所以，故选:C.5．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故选：C6．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．－2 D．2【答案】A【解析】由题意可知：，所以.故选：A.7．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（

）①函数的图象关于点成中心对称；②函数的解析式可以为；③函数在上的值域为；④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【解析】由图可知，所以，且，所以，又因为，所以只能，所以，对于①，，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，当时，，此时的取值范围是，从而函数在上的值域为，故③正确；对于④，若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是，故④错误；综上，正确的编号是②③.故选：B.8．在中，，是的中点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，在中，由正弦定理可得，则，且是的中点，则，又，则，则，又，则，所以，则，即的取值范围为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A：，故选项A不符合题意；选项B：，故选项B符合题意；选项C：，故选项C符合题意；选项D：，故选项C符合题意.故选：BCD.10．已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．函数的一个对称中心是B．C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象D．函数在上有5个零点，则的取值范围为【答案】ABC【解析】由题图可知，，所以，所以，由，得，由，解得，所以.对于A，令，则，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确；对于D，因为，得，令，则，由正弦函数图象可知，，解得，故D错误.故选：ABC.11．如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（

）

A．B．C．四边形面积的最大值为D．四边形面积的最大值为【答案】ABC【解析】因为，由正弦定理得，即，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，所以为等边三角形，可得，，所以A、B正确；设，在中，由余弦定理得，且，可得，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误.故选：ABC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】【解析】因为所以，所以故答案为：.13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B=.【答案】/【解析】因为，由正弦定理，即，又因为，可得，、所以，因为，可得，所以，即，又因为，所以.故答案为：.14．已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，当时，.因为函数在区间上的值域均为，而，，所以.又因为，,所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）由题知，因为，所以．又为第二象限角，所以，可得．（8分）（2）.（13分）16．（15分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)若，求角的大小；(2)若，求边上的高.【解析】（1）由正弦定理，，即，因，故,即是锐角，故；（7分）（2）如图，由余弦定理，，（9分）知角是锐角，则，作于点，在中，,即边上的高是.（15分）17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，求的值和的面积；(2)在（1）的条件下，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，化简得，解得或(舍)，，，的面积.（5分）（2），，.（10分）（3）在中，由正弦定理得，，化简得，由余弦定理得，，解得（负值舍去），所以.（15分）18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角B的大小；(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；(3)若，且外接圆的半径为2，圆心为O，P为圆O上的一动点，试求的取值范围．【解析】（1）依题意，所以由余弦定理有，整理得，故，因为，所以.（5分）（2）因为，，所以由正弦定理，即，得，所以，又为锐角三角形，所以有，（9分）则，又由，所以，所以，故的周长的取值范围为.（11分）（3）由正弦定理知，得，则，又由，则，则为等边三角形，取AB的中点M，如图所示，则，由，则，则.（17分）19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.(1)若.①求；②若的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；(2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.【解析】（1）①因为，且，所以，所以，即，因为，，所以，，所以，因为，所以；（5分）②因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，且，由，得，设