拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题（七大题型）

拔高点突破01新情景、新定义下的数列问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：牛顿数列问题 3题型二：高考真题下的数列新定义 4题型三：数列定义新概念 6题型四：数列定义新运算 7题型五：数列定义新情景 9题型六：差分数列、对称数列 10题型七：非典型新定义数列 1103过关测试 131、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．2、解答与数列有关的新定义问题的策略：（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．题型一：牛顿数列问题【典例1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为.【典例1-2】记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)证明数列是等比数列并求；(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.【变式1-1】英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，则的值是（

）A．8 B．2 C． D．题型二：高考真题下的数列新定义【典例2-1】（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．【典例2-2】（2024·全国·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．【变式2-1】（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．【变式2-2】（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．【变式2-3】（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：①，且；②；③，．（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．题型三：数列定义新概念【典例3-1】（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”.(1)若，且，写出所有可能的的值；(2)若，证明：“”是“”的充要条件；(3)若，证明：或.【典例3-2】对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．(1)求的值：(2)若，求数列的前项和(3)对互不相等的质数，证明：，并求的值．【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”．(1)试写出“函数”，并求的值；(2)若“函数”，求n的最大值；(3)记函数，其导函数为，证明：“函数”．【变式3-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．(1)若，求；(2)求不等式的解集；(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．题型四：数列定义新运算【典例4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设．定义运算若，则，且．(1)设，用表示；(2)若，证明：：(3)若数列满足，数列满足，设，证明：．【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．(1)若，，，求，，，；(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；(3)若，，证明：当时，．【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．(1)若，用表示；(2)证明：；(3)若，，，证明：．【变式4-2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（

）A．170 B．168 C．130 D．172题型五：数列定义新情景【典例5-1】（多选题）（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（

）A．存在具有性质的B．存在具有性质的C．若具有性质，则中至少有两项相同D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同【典例5-2】（2024·河南·二模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质.(1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合；(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：.【变式5-1】（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.(1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；(2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；(3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.【变式5-2】（2024·北京朝阳·一模）若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：①，其中，表示，这个数中最大的数；②，其中，表示，这个数中最小的数.(1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；(2)若：是数列，且，，成等比数列，求；(3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数）题型六：差分数列、对称数列【典例6-1】（多选题）如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（

）A．若，则 B．若，则所有项的和为C．当时，所有项的和最大 D．所有项的和不可能为【典例6-2】若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列为项的“对称数列”；数列为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为的等差数列，数列的最大项等于，记数列的前项和为，若，则．【变式6-1】（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（

）A．7 B．9 C．11 D．13【变式6-2】（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（

）A．7 B．9 C．11 D．13题型七：非典型新定义数列【典例7-1】（2024·黑龙江·模拟预测）已知n行n列的数表中，满足：，.若数表满足当时，总有，则称此数表为典型数表，此时记.(1)若数表，，请直接写出M，N是否是典型数表；(2)当时，是否存在典型数表A使得，若存在，请写出一个数表A；若不存在，请说明理由；(3)若数表A为典型数表，求的最小值（直接写出结果，不需要证明）.【典例7-2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.(1)若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若，，求的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.【变式7-1】已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”.(1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；(2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；(3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值.【变式7-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.(1)已知数列满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列的前项和为，（i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；（ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.1．（2024·浙江绍兴·三模）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2024·上海·模拟预测）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（

）A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题3．数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（

）①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题4．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛.如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（

）A． B．C． D．5．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（

）A．等差数列是等差比数列B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列D．若数列是等比数列，则数列等差比数列6．（多选题）（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得7．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，（

）A．当时，则B．当时，数列单调递减C．若，且均不为1，则D．当时，从中任取两个数至少一个为奇数的概率为8．（2024·高三·河北保定·期中）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则9．（2024·江西九江·模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则.10．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，且，数列的前项和为.则.11．将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为.12．（2024·高三·甘肃兰州·开学考试）已知数表，，，其中分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．若数表，，且是的生成数表，则．13．，，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为．14．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是．①存在等差数列，使得是的“M数列”②存在等比数列，使得是的“M数列”③存在等差数列，使得是的“M数列”④存在等比数列，使得是的“M数列”15．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为．16．（2024·高三·山东日照·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示为数列满足：（m为正整数），.问：当时，试确定使得需要步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为.17．（2024·高三·北京朝阳·期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法