高中数学 第2章 2.5圆锥曲线的统一定义同步训练 苏教版选修2-1

§2.5圆锥曲线的统一定义一、基础过关1．双曲线x2－y2＝1的准线方程为__________．2．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点到左准线的距离是4.5，则该点到右准线的距离是________．3．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为eq\f(1,2)的椭圆的标准方程是________________．4．抛物线y2－2x＝0的准线方程为__________．5．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1＝3PF2，则P点到左准线的距离是________．6．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．7．点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝eq\f(25,4)的距离的比是常数eq\f(4,5)，求点M的轨迹．二、能力提升8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为eq\r(3)的直线交C于A，B两点．设FA>FB，则eq\f(FA,FB)＝________.9．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且Beq\o(F,\s\up6(→))＝2Feq\o(D,\s\up6(→))，则C的离心率为________．10．在双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．11．在抛物线y2＝2x和定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))，抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．12．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．三、探究与拓展13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4,0)，过点F2作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B＋F2B＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：F2A、F2B、F2(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标．

答案1．x＝±eq\f(\r(2),2)2．83．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝14．x＝－eq\f(1,2)5．66．y2＝4x7．解如图，设d是点M到直线l：x＝eq\f(25,4)的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P＝{M|eq\f(|MF|,d)＝eq\f(4,5)}，由此得eq\f(\r(x－42＋y2),|\f(25,4)－x|)＝eq\f(4,5).将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，即eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．8．39．eq\f(\r(3),3)10．解设P点的坐标为(x，y)，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点．∵双曲线的准线方程为x＝±eq\f(16,5)，∴eq\f(PF1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,5))))＝eq\f(PF2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(16,5)))).∵PF1＝2PF2，∴P在双曲线的右支上．∴eq\f(2PF2,x＋\f(16,5))＝eq\f(PF2,x－\f(16,5))，∴x＝eq\f(48,5).把x＝eq\f(48,5)代入方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，得y＝±eq\f(3,5)eq\r(119).∴P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,5)，±\f(3,5)\r(119))).11．解如图所示，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))在抛物线y2＝2x的外部由抛物线的定义可知，d1＋d2＝PA＋PF≥AF＝eq\f(25,6)(其中F为抛物线的焦点)显然A、P、F三点共线时，d1＋d2最小，最小值为eq\f(25,6).直线FA的方程为4x－3y－2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3y－2＝0，,y2＝2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2))，此时P点的坐标为(2,2)．12．解(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得b＝eq\r(2)，a＝eq\r(3).(2)方法一由c＝eq\r(a2－b2)＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由MF1＝MP，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此轨迹是抛物线．方法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以MF1＝MP，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.13．解(1)由椭圆定义及条件知，2a＝F1B＋F2B得a＝5，又c＝4，所以b＝eq\r(a2－c2)＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由点B(4，yB)在椭圆上，得F2B＝yB＝eq\f(9,5).因为椭圆右准线方程为x＝eq\f(25,4)，离心率为eq\f(4,5)，根据椭圆定义，有F2A＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)－x1))，F2C＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)－x2))，由F2A、F2B、F2eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a