协方差与相关系数

协方差与相关系数

例1在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量讨论随机变量(X,Y)的协方差.解

(1)无放回得情况

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

(1)无放回得情况

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例2设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布,求Cov(X,Y)、

解由已知条件于就是第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵一、协方差

1、协方差定义2、协方差得计算公式

例1在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量讨论随机变量(X,Y)的协方差.解

(2)有放回得情况

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵一、协方差

1、协方差定义

2、协方差得计算公式

3、协方差得性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵一、协方差

1、协方差定义

2、协方差得计算公式

3、协方差得性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数;(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵一、协方差

1、协方差定义

2、协方差得计算公式

3、协方差得性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数;(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);10大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵一、协方差

1、协方差定义

2、协方差得计算公式

3、协方差得性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数;(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);(6)

对任意得实数t,有又所以因此即特别

设(X,Y)为二维随机变量，如果E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}存在，D(X)>0，D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数.记作

XY.二、相关系数第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵

1、相关系数定义

2、相关系数性质

可以证明上式表明:均方误差就是|

XY|得严格单调递减函数,即当|

XY|较大时,e较小,说明X,Y线性联系紧密,特别|

XY|=1时,X,Y之间以概率1存在线性关系、从而

XY表征了X,Y之间线性关系得紧密程度、当|

XY|较大时,X,Y线性关系程度较好;当|

XY|较小时,X,Y线性关系程度较差、

3、随机变量得相关性

设随机变量X和Y得相关系数

XY得存在,如果

XY=0,则称X与Y不相关,否则,称X与Y相关;如果

XY>0,则称X,Y正相关;如果

XY

<0,则称X,Y负相关、

例3在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量讨论随机变量X与Y的相关系数.解

(1)无放回得情况

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

(1)无放回得情况

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例3在一盒中装有大小相同的2只黑球，4只白球，现从盒中连续取球两次，每次任取一只.设随机变量讨论随机变量X与Y的相关系数.解

(2)有放回得情况

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3

例4设(X,Y)服从二维正态分布,试求X与Y的相关系数

解

由已知条件我们有，即E(X)=

1，E(Y)=

2.

解

由已知条件我们有，即E(X)=

1，E(Y)=

2.

例4设(X,Y)服从二维正态分布,试求X与Y的相关系数密度函数数学期望

解

由已知条件我们有，即E(X)=

1，E(Y)=

2.

标准正态分布得密度函数标准正态分布得方差

例4设(X,Y)服从二维正态分布,试求X与Y的相关系数

解

由已知条件我们有，即E(X)=

1，E(Y)=

2.

例4设(X,Y)服从二维正态分布,试求X与Y的相关系数说明：如果(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y独立的充要条件是

第10讲协方差与相关系数矩、协方差矩阵三、矩与协方差矩阵

定义1设X和Y是随机变量，若存在,则称它为X的k阶原点矩.简称k阶矩；

若存在,则称它为X的k阶中心矩；

若

存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩；

若

存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.

定义2设n维随机变量的二阶混合中心矩都存在,则矩阵为n维随机变量的协方差矩阵.

例5设(X1,X2)服从二维正态分布,试求X与Y的协方差矩阵.

解

由已知条件我们有，即

.

例5设(X1,X2)服从二维正态分布,试求X与Y的协方差矩阵.

解

由已知条件我们有，即

.

自然将二维正态分布的定义推广到n维正态随机变量的情形.n维正态随机变量定义为n维正态随机变量得重要性质(1)n维正态随机变量的每一个分量Xi(i=1,2,

,n)都是正态随机变量;反之,若X1，X2，，Xn都是正态随机变量,且相互独立,则是n维正态随机变量．(2)n随机变量