2025届高三数学一轮总复习 第三章 第一讲 弧度制及任意角的三角函数配套课件VIP

第一讲弧度制及任意角的三角函数2025年高考一轮总复习第三章

三角函数、解三角形1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，

【名师点睛】

(1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

(3)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.(4)象限角的集合考点一角的概念及其集合表示1.(2023年长宁区期末)与2023°终边相同的角是()A.－137°B.227°C.－227°D.137°

解析：因为2023°＝－137°＋6×360°，故－137°与2023°的终边相同.故选A.

答案：AA.M＝NC.N⊆MB.M⊆ND.M∩N＝∅答案：B答案：一或三

【题后反思】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.(2)判断象限角的两种方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；

②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.考点二弧度制及其应用[例1](2023年银川市校级开学)已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长；(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.解：(1)设扇形的弧长为l，(2)由题设条件知，l＋2r＝16，l＝16－2r(0＜r＜8)，∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16.【题后反思】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常将问题转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【变式训练】

1.(2023年北京市校级期中)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到弧田面积的计算问题，如图3-1-1所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，图3-1-12π 3，如图D16所

解析：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为示，过点O作OD⊥AB，垂足为D，

图D16答案：A

2.(2023年佛山市校级月考)《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图3-1-2所示，则其所在扇形的圆心角大小为(单位：弧度)()注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.

图3-1-2A.4B.5C.6D.7解析：设内弧半径为r，外弧半径为R，扇形的圆心角为θ，θ＝6.故选C.

答案：C考点三三角函数的概念A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案：C

【反思感悟】(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解. (2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.

(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.【变式训练】解得x＝±2(舍去负值)，x＝2.故选B.答案：B

⊙三角函数线的应用

解析：要使函数有意义，必须使cosx－sinx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[－π，π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图3-1-3所示.图3-1-3

【反思感悟】利用三角函数线比较大小或解不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sinx≥b，cosx≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围.【高分训练】1.已知点