2025届高三数学一轮总复习 第五章 第四讲 平面向量的综合应用配套课件

第四讲平面向量的综合应用2025年高考一轮总复习第五章

平面向量与复数1.向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ为实数.

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：

a∥b

⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：

a⊥b

⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式：2.平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.考点一平面向量在平面几何中的应用图5-4-1图5-4-2【题后反思】用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.【变式训练】△ABC为()A.等边三角形C.等腰三角形

B.直角三角形D.三边均不相等的三角形答案：A考点二平面向量在解析几何中的应用

[例2]在平面直角坐标系xOy中，已知点F(0，1)，直线l：y＝－1.P是平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且(1)求点P的轨迹方程；(2)记点P的轨迹为曲线C，过点F作直线m，与曲线C交于【题后反思】向量在解析几何中的两个作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，推导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.

(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法.

【变式训练】所以|QN|＝|QP|.由|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，可得|NQ|＋|QM|＝4，所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆.图D25(2)如图D26，直线l：y＝kx＋1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，图D26考点三平面向量在物理中的应用

[例3](1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________.即三个力的合力所做的功为－40.答案：－40

(2)如图5-4-3所示，粗糙的水平地面上有一质量为m的小木块A，小木块与桌面间的动摩擦系数μ＝0.5.对小木块施加一个向右上方的、大小恒为F的拉力，使木块在地面上运动.当小木块加速度最大时，拉力与水平面的夹角为θ，求tanθ的值.图5-4-3解：如图5-4-4所示，小木块对地面的压力的大小为mg－F·sinθ.图5-4-4小木块与桌面间的滑动摩擦力的大小为μ(mg－F·sinθ)＝0.5(mg－F·sinθ).小木块受到水平向右的合力的大小为

其中tanφ＝2.

当小木块受到水平向右的合力最大时，加速度最大，此时【题后反思】用向量方法解决物理问题的步骤①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题.

【变式训练】

(多选题)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1

与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是()竖直方向没有分力与重力平衡，不成立.所以θ∈[0，π)，B错误.故选ACD.

答案：ACD⊙三角形的四“心”A.外心B.内心C.重心D.垂心同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心.答案：D(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，所以点P图5-4-5的轨迹一定通过△ABC的内心.答案：B定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心答案：B)通过△ABC的( A.重心 C.内心

B.垂心D.外心∴P∈AM，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.答案：A【反思感悟】三角形各心的概念介绍【高分训练】1.点P为△ABC所在平面内一点.的平行四边形的对角线互相垂直.∴点P在线段AB的中垂线上，∴点P必过△ABC的外心.答案：垂心