2025届高三数学一轮总复习 第七章 第一讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程配套课件

第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：0°≤α<180°.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan

α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝3.直线的方向向量(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k).名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1

和直线y＝y1

4.直线方程的五种形式名称方程适用范围截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用(续表)提醒：截距是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而距离是一个非负数.α0k0k>0不存在k<0【名师点睛】(1)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：(2)直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图7-1-1.图7-1-1(3)特殊直线的方程①过点P1(x1，y1)且垂直于x轴的直线方程为x＝x1；②过点P1(x1，y1)且垂直于y轴的直线方程为y＝y1；③y轴的方程为x＝0；④x轴的方程为y＝0.

考点一直线的倾斜角与斜率图7-1-2答案：A

(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，

)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为______________.图7-1-3【题后反思】

(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围【变式训练】(多选题)如图7-1-4，直线l1，l2，l3

的斜率分别为k1，k2，k3，)倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(

图7-1-4A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1解析：如题图，直线l1，l2，l3

的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜为钝角，所以α3<α2<α1.故选AD.答案：AD

考点二直线方程的求法[例2](1)已知点

M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是()A.x＋y－3＝0C.3x－y＋6＝0B.x－3y－2＝0D.3x＋y－6＝0

解析：设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝

2＋11－2×1＝－3，又点M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.答案：D(2)求满足下列条件的直线的方程：③经过点(5，10)，且到原点的距离为5.③由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x＝5.

当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得原点到直线的距离为综上所述，直线方程为x＝5或3x－4y＋25＝0.【题后反思】(1)已知直线的斜率与直线上某一点的坐标时，用点斜式.(2)已知直线上两点的坐标时，用两点式，或先利用斜率公式求出斜率，再利用点斜式写出直线方程.(3)用待定系数法时，一般选取直线的一般式或斜截式.(4)若直线可能与x轴垂直时，应避免选用与斜率相关的形式，【变式训练】1.(2023年内江市校级期中)已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x＋3y＋1＝0平行，则直线l的方程是()A.2x＋3y－7＝0C.2x－3y－1＝0B.3x＋2y－8＝0D.3x－2y－4＝0

解析：直线l与直线2x＋3y＋1＝0平行，则可设直线l的方程为2x＋3y＋k＝0，∵直线l经过点P(2，1)，∴2×2＋3×1＋k＝0，解得k＝－7，故直线l的方程为2x＋3y－7＝0.故选A.答案：A

2.求过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.考点三直线方程的综合应用

[例3]已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解：(方法一)设直线l的方程为y－1＝k·(x－2)，所以k<0.【题后反思】(1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求最值.

(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题.【变式训练】

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a的值为________.

解析：由题知，直线l1，l2

恒过定点P(2，2)，直线l1

在y轴上的截距为2－a，直线l2

在x轴上的截距为a2＋2，0<a<2，如图D68.图D68⊙巧构造，妙用斜率求解问题

解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图7-1-5所示，可知当x＞0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，

因为a＞b＞c＞0，图7-1-5【反思感悟】对于求形如的问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解.【高分训练】大值和最小值.解：如图D69，