2025届高三数学一轮总复习 第七章 第七讲 抛物线配套课件

第七讲抛物线2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形2.抛物线的标准方程和几何性质顶点坐标O(0，0)对称轴x轴y轴焦点坐标离心率e＝1范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R(续表)(续表)【名师点睛】如图7-7-1，设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则图7-7-1

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦.

考点一抛物线的定义及应用

[例1](1)(2023年泸州市期末)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q的坐标为(6，3)，则△PQF周长的最小值为()A.13B.12C.10D.8记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2.记P到l的距离为d，Q到l的距离为d′.所以|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋|QF|≥d′＋|QF|＝8＋5＝13.故选A.答案：A图7-7-2

(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.13 5

14C. 5D.3

解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，答案：A【题后反思】抛物线定义的应用规律提醒：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线问题的重要途径.【变式训练】1.(2023年宿迁市期中)若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离是()A.4B.6C.8D.10

解析：因为抛物线的方程为y2＝16x，所以2p＝16，解得p＝

所以点M到准线的距离为8，设点M到y轴的距离为m，则有m＋4＝8，所以m＝4.故选A.答案：Ay2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于P，Q两点(点P在第一象限).若|PF|＝4，则|QF|＝__________.图D81

考点二求抛物线的标准方程1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0)与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( A.x2＝－12y或y2＝16x

B.x2＝12y或y2＝－16x

C.x2＝9y或y2＝12x

D.x2＝－9y或y2＝－12x解析：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.故选A.答案：A

2.(2023年郑州市模拟)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行或重合；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光所在的直线经过该抛物线的焦点.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，一条平行于y轴的光线经过点A(1，4)，射向抛物线C上的点B，经过抛物线C的反射后过抛物线C的焦点F.若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是()A.y＝12B.y＝－1C.y＝－2D.y＝－4所以抛物线的准线方程为y＝－1.故选B.答案：B

3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4

，则抛物线的方程为____________.答案：y2＝8x【题后反思】求抛物线标准方程的方法(1)先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向.(2)再定形：根据条件求p的值.

考点三抛物线的几何性质

[例2](1)(2024年榆林市一模)如图7-7-3，设抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为l，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛()图7-7-3

解析：抛物线的准线l的方程为x＝－1，如图7-7-4，过A作AE⊥l，垂足为E，交y轴于点N.过B作BD⊥l，垂足为D，交y轴于点M.图7-7-4由抛物线的定义知|BF|＝|BD|，|AF|＝|AE|，答案：D

(2)(多选题)(2022年全国Ⅱ卷)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|＝|OF|C.|AB|＞4|OF|D.∠OAM＋∠OBM＜180°解析：如图7-7-5，

图7-7-5

∵|OA|2＋|AM|2＞|OM|2，|OB|2＋|BM|2＞|OM|2，

∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM＋∠OBM＜180°，故D正确.故选ACD.答案：ACD【题后反思】

在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

【变式训练】

1.(2021年焦作市期中)以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD有公共点，其中A(2，2)，B(4，2)，C(4，4)，则抛物线Ω的焦点F到准线l的最大距离为()A.B.4C.6D.8

解析：由题意可得D(2，4)，设抛物线Ω：x2＝2py，p>0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD有公共点，其临界状态应该是过B或过D，把B，D的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p×2，或大距离为4.答案：B

2.如图7-7-6所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()图7-7-6A.y2＝8xB.y2＝4xC.y2＝2xD.y2＝x

解析：如图D82，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，图D82答案：B⊙活用抛物线焦点弦的常用结论

1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的几个常用结论即为具体表现之一.(5)以AB为直径的圆与准线相切，切点为点M.(6)分别过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于(5)中的点M.[例3]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()答案：B【高分训练】1.设F为