数学同步训练：角的概念的推广VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章基本初等函数(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．1。1角的概念的推广知识点一：任意角的概念1．不相等的角的终边位置A．一定不相同B．一定相同C．可能相同D．以上都不对2．时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．知识点二：与任意角α终边相同的角3．与405°角终边相同的角是A．k·360°－45°,k∈ZB．k·360°－405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°,k∈Z4．集合A＝｛α｜α＝k·90°－36°，k∈Z｝，B＝{β|－180°〈β〈180°｝，则A∩B等于A．{－36°，54°｝B．｛－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°,144°｝D．{－126°，54°}5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α〈360°,k∈Z｝的形式为__________．6．与1991°终边相同的最小正角是__________，绝对值最小的角是__________．7．角α和β终边关于直线y＝x对称，且α＝30°，则β＝__________。知识点三：象限角8．若α是第二象限的角，则180°－α是A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角9．如果角α终边上有一点P(0，－2)，那么α是A．第三象限角B．第四象限角C．终边落在y轴负半轴上的角D．既是第三又是第四象限角10．给出下面的角．60°，120°，210°,300°，420°，460°，660°,－300°，－240°，570°，－150°，－60°。其中,(1)第一象限的角是__________；(2）第二象限的角是__________;（3）第三象限的角是__________；（4)第四象限的角是__________．能力点一：角的有关概念的理解11．下列说法正确的是A．第二象限的角是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－831°是第二象限的角D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角12．A＝｛小于90°的角｝,B＝｛第一象限的角}，则A∩B等于A．｛锐角}B．｛小于90°的角}C．｛第一象限角}D．以上都不对13．已知角的顶点与坐标系的原点重合,始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．(1）－75°；(2)855°；（3）－510°.能力点二：终边相同角的综合应用14．如图，终边落在阴影部分的角的集合是A．{α|－45°≤α≤120°｝B．{α|120°≤α≤315°}C．｛α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°,k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z｝15．若集合M＝{x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝｛x｜x＝k·45°＋90°,k∈Z}，则A．M＝NB．MNC．MND．M∩N＝16．与－642°终边相同的最大负角为__________．17．已知角α的终边与角60°的终边重合，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°之间的角．18。已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断eq\f（α，3）是第几象限角．19．写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β〈720°的元素β写出来．20．如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处?21．已知直线l1：y＝eq\f（\r(3),3）x及直线l2：y＝－eq\r（3）x，且l1与l2垂直，如图所示，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．答案与解析1．C2．－480°时针走1小时,分针顺时针转360°；每分钟分针顺时针转6°,则20分钟转120°,∴分针转过的角为－（360°＋120°)＝－480°.3．C4．C对于α＝k·90°－36°,k∈Z,分别令k＝－1,0,1,2得α＝－126°，－36°，54°,144°.5．195°＋（－3）·360°6．191°－169°与1991°终边相同的角为k·360°＋1991°＝(k＋5）·360°＋191°（k∈Z），当k＝－5时，191°是最小正角；当k＝－6时，－169°是绝对值最小的角．7．60°＋k·360°,k∈Z由对称性知，60°与30°的终边关于直线y＝x对称，∴与60°角的终边相同的所有角60°＋k·360°，k∈Z均满足条件．8．A∵α是第二象限角,∴－α是第三象限角,－α与180°－α的终边互为反向延长线．∴180°－α是第一象限角．9．C10．（1）60°，420°，－300°（2）120°，460°,－240°（3)210°，570°，－150°(4）300°，660°，－60°把各个角写成α＋k·360°（α∈[0°，360°））的形式，判断α所在象限即可．能力提升11．D∵984°40′＝264°40′＋2×360°，－95°20′＝264°40′＋(－1)×360°.∴选项D正确．12．D13．解：如图所示．由图可知，(1）－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角的终边相同．(2）855°在第二象限，在0°～360°范围内与135°角的终边相同，（3）－510°在第三象限,在0°～360°范围内与210°角的终边相同．14．C15．C∵M＝｛x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝｛x|x＝45°·（2k＋1)，k∈Z}，N＝｛x｜x＝k·45°＋90°,k∈Z}＝｛x|x＝45°·（k＋2），k∈Z｝,∴MN.16．－282°－642°＝－360°－282°。17．解：与60°角的终边重合的角的集合为S＝｛α｜α＝60°＋k·360°,k∈Z}，当k＝0时，α＝60°；当k＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以集合S在－360°～360°之间的角为60°，－300°.18．解：∵α与150°角的终边相同,∴与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z｝,此时eq\f（α，3）＝k·120°＋50°（k∈Z）．若k＝3n（n∈Z），则eq\f（α,3)＝n·360°＋50°(n∈Z)，此时eq\f(α,3）在第一象限;若k＝3n＋1(n∈Z)，则eq\f（α，3）＝n·360°＋170°（n∈Z),此时eq\f(α，3）在第二象限；若k＝3n＋2（n∈Z）,则eq\f（α，3）＝n·360°＋290°（n∈Z）,此时eq\f（α,3)在第四象限．故eq\f(α,3)可能为第一、二、四象限角．19．解:如图，在直角坐标系中画出直线y＝x,可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内,终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°,因此,终边在直线y＝x上的角的集合S＝｛β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°,k∈Z}＝｛β|β＝45°＋k·180°,k∈Z}．S中适合－360°≤β<720°的元素β是45°－2×180°＝－315°,45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°,45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°。20．解:∵α是第三象限的角，∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z。∴－270°－k·360°<－α〈－180°－k·360°，360°＋2k·360°〈2α<540°＋2k·360°,k∈Z。∴－α的终边落在第二象限,2α的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上．拓展探究21．解:由题意知,终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z｝；在0°～360°的角中,终边落在直线y＝－eq\r（3)x上的角为:120°或300°，所以终边落在直线l2上的角的集合为M2＝｛α|α＝120°＋k·360°,k∈Z｝∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝＝{α|α＝120°＋k·180°,k∈Z｝．所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z｝＝｛α|α＝30°＋2k·90°,k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1）·90°，k∈Z}＝｛α｜α＝30°＋k·90°，k∈Z｝．1．1。2弧度制和弧度制与角度制的换算基础巩固1．D2。2弧度3。B4．D－1485°＝－1485×eq\f（π，180)＝－eq\f（33π,4)＝－10π＋eq\f(7π，4）.5．B∵eq\f(7π,12)＝（eq\f（7,12)×180）°＝105°，465°＝360°＋105°,∴B项正确．6.(1)－eq\f（5π,3)eq\f(3π，8）(2)288（1）∵1°＝eq\f（π，180)rad，∴－300°＝（－300）×eq\f（π,180)＝－eq\f（5π,3）；∵67°30′＝(67eq\f（1,2））°，∴67°30′＝eq\f（π,180)×67eq\f（1,2)＝eq\f（3π，8)。（2)∵1rad＝（eq\f（180,π)）°，∴eq\f（8π,5)＝(eq\f（8π，5)×eq\f(180，π））°＝288°.7．解：（1)如题图（1)中以OB为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度,即－eq\f（π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180）＝eq\f（5π,12)，∴阴影部分内角的集合为｛θ|2kπ－eq\f(π,6)<θ〈2kπ＋eq\f（5π，12），k∈Z｝．(2）如题图（2)中以OB为终边的角225°，可看成－135°，化为弧度,即－eq\f(3π,4），而OA为终边的角135°＝135×eq\f(π，180）＝eq\f（3π,4),∴阴影部分角的集合为｛θ|2kπ－eq\f（3π，4）〈θ<2kπ＋eq\f（3π,4),k∈Z}．(3)如题图（3)，∵30°＝eq\f（π，6）,210°＝eq\f(7π,6)，∴{θ|2kπ＋eq\f(π，6）<θ<2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z}∪｛θ|2kπ＋eq\f(7π,6)〈θ<2kπ＋eq\f（3π,2），k∈Z｝，即｛θ｜2kπ＋eq\f(π，6)〈θ<2kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1）π＋eq\f（π，6）<θ〈（2k＋1)π＋eq\f(π,2），k∈Z｝，∴｛θ|kπ＋eq\f（π，6)〈θ<kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z｝．8．C设弦AB＝R，且AB所对的圆周角为α，则圆心角为∠AOB＝2α或2π－2α,由于弦AB等于半径，∴∠AOB＝eq\f（π,3），可得2α＝eq\f(π，3)或2π－2α＝eq\f（π,3），解得α＝eq\f（π,6）或eq\f（5π，6）。9．C10．311．解:设扇形圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S。由题意知，α＝eq\f（2π，5）,r＝20（cm)，∴l＝α·r＝8π（cm)，S＝eq\f(1,2）lr＝eq\f(1，2）×8π×20＝80π(cm2）．能力提升12．C13．B分针转过的角度数为－（2×360°＋120°）＝－840°，即eq\f（π，180）×（－840)＝－eq\f（14π,3)。14．解：(1）202°30′＝202.5°＝（eq\f（405，2））×eq\f（π，180）＝eq\f(9π,8).（2)－eq\f(5π，12)＝－（eq\f(5π,12）×eq\f（180,π）)°＝－75°.（3）方法一(化为弧度）:α＝15°＝15×eq\f(π，180）＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180）＝eq\f(7π，12）.显然eq\f（π，12)〈eq\f（π，10)<1<eq\f（7π，12).故α〈β〈γ〈θ＝φ.方法二(化为角度)：β＝eq\f（π,10）＝(eq\f（π，10)×eq\f(180,π）)°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝（eq\f(7π,12）×eq\f(180，π））°＝105°.显然，15°<18°〈57。30°<105°.故α<β<γ〈θ＝φ。15．D16．B∵N＝｛x|x＝kπ－eq\f（π，4）,k∈Z}＝{x｜x＝eq\f(π,2)（2k－1）＋eq\f（π，4）,k∈Z}，M＝{x|x＝eq\f(π，2）·k＋eq\f(π,4），k∈Z},∴MN.17。eq\f（2π,5)，eq\f（9π,10)，eq\f(7π,5），eq\f（19π，10）θ＝eq\f(8π,5）＋2kπ,k∈Z。所以eq\f(θ，4）＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ，2），k∈Z。当k＝0,1,2，3时，eq\f（θ，4）＝eq\f（2π,5），eq\f（9π,10），eq\f(7π,5),eq\f（19π，10）且eq\f(θ，4)∈[0,2π］．18．解:θ与－eq\f（π,6）的终边共线，∴θ的终边落在－eq\f（π，6）的终边或终边的反向延长线上．若θ与－eq\f(π，6)终边相同，则θ＝2kπ－eq\f(π,6）(k∈Z)；若θ与－eq\f(π，6）的终边反向延长线相同,则θ＝2kπ＋π－eq\f(π，6）(k∈Z)．可知：θ＝nπ－eq\f(π,6)（n∈Z)．∵θ∈（0°，360°）,即θ∈（0,2π)，∴n＝1或2。∴θ＝eq\f(5π,6）或eq\f（11π，6）。19．D20。eq\f(1，2sin\f(1,2）2）如图，过O作OC⊥AB，垂足为C.在Rt△OAC中，∠AOC＝eq\f(1，2)rad，AC＝1,∴OA＝eq\f(AC，sin∠AOC)＝eq\f(1,sin\f（1，2））.∴＝OA＝eq\f（1,sin\f（1,2)).∴面积S＝eq\f（1,2）×eq\f(1,sin\f(1,2)）×eq\f（1,sin\f（1,2）)＝eq\f（1,2sin\f（1，2)2)。21．137.5设扇形的面积为S,剩余(也是扇形)面积为S′，则eq\f（S,S′)＝eq\f(\f(1,2）r2·α,\f(1，2）r2·2π－α）＝0.618，∴α＝0.618×(2π－α）．∴α＝0.764πrad≈137.5°。22．解:设圆心角为α,圆半径为r,由题意,得2r＋α·r＝C