高一一数学校本课程趣味数学

《趣味数学》书目

第1课时集合中的趣题一“集合”与“模糊数学............2

第2课时函数中的趣题——份购房合同....................3

第3课时函数中的趣题一孙悟空大战牛魔王................4

第4课时三角函数的趣题一直角三角形....................6

第5课时三角函数的趣题一月平均气温问题................7

第6课时数列中的趣题一柯克曼女生问题..................9

第7课时数列中的趣题一数列的应用......................11

第8课时不等式性质应用趣题一两边夹不等式的推广与趣例……13

第9课时不等式性质应用趣题一均值不等式的应用............15

第10课时立体几何趣题一正多面体拼接构成新多面风光数问题…16

第11课时立体几何趣题一球在平面上的投影...................19

12课时解析几何中的趣题一奇妙的莫比乌斯圈.................21

13课时解析几何中的趣题一最短途问题.......................22

14课时排列组合中的趣题一抽屉原理.........................23

15课时排列组合中的趣题一摸球嬉戏.........................24

第16课时概率中的趣题......................................25

第17课时简易逻辑中的趣题..................................28

第18课时解数学题的策略................................31

第1课时集合中的趣题一一

“集合”与“模糊数学”

教学要求：启发学生能够发觉问题和提出问题，擅长独立思索，学会分析问题和创

建地解决问题；

教学过程：

一、情境引入

1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开拓了一门新的数学分支一一

模糊数

学。

二、实例尝试，探求新知

模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必需由确

定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：

心(6=匕二：来描述。扎德将特征函数力八⑶改成所谓的“隶属函数”

〃八(x)：04〃e)4L，这里A称为“模糊函数"，为(x)称为X对A的“隶属度”。

经典集合论要求隶属度只能取0,1二值，模糊集合论则突破了这一限制，

4(x)=l时表示百分之百隶属于A；〃<x)=O时表示不属于A还可以有百分之二十隶

属于A,百分之八十不隶属于A……等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的

事物是非推断上的上的不确性供应了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石，

因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分

支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起

形成通常所称的模糊数学，模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论

上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。

例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参与，又举办了一次球

类运动会，这个班有12名同学参与，则这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑴假如有5名同学两次运动会都参与了，问这两次运动会这个班共有多少名同

学参赛？

⑵假如每一位同学都只参与一次运动会，问这两次运动会这个班共有多少名同

学参赛？

解析：可能有的同学两次运动会都参与了，因此，不能简洁地用加法解决这个

问题。

（1）因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减

去.8+12-5=15.

（2）8+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.

三、本课小结

通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学

习看法和勇于创新的精神而进步的。

四、作业

下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高

个子男生；（3）全部数学难题；（4）不等式x+2>0的解；

第2课时函数中的趣题——

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数与其图象解决简洁的实际问题，发展学生数学应用实力.

教学过程：

一、情境引入

最早把〃函数〃（）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（，1646-1716,

德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是〃像曲线上点的横坐标、纵坐

标、切线长度、垂线长度等全部与曲线上的点有关的量〃.1718年，瑞士数学家约

翰。贝努利（，1667-1748,欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的

一个定义，同时第一次运用了“变量〃这个词。他写到：”变量的函数就是变量和变量

以任何方式组成的量。“他的学生，瑞士数学家欧拉（，1707-1783,被称为历史上

最“多产〃的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》

中将函数定义为：”变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表

达式〃，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。

二、实例尝试，探求新知

例1、陈老师急匆忙的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容

是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴

28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对老师实行分期

付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%房地产

开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们

你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行询问，对方说算法是假设每一年付款为a元,则10

年后第一年付款的本利和为L0751元，同样的方法算得其次年付款的本利和为

1.0758a元、第三年为L0757a元，…,第十年为a元，然后把这10个本利和加起

来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759l.0758l.0757-=(72

X1000-28800-14400)X1.075、解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的

是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但

不妨用这种方法来说明：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10

年中一次都不付款，则第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a

元，还要付a元所产生的利息，共为L0759a元，同样，其次年应付的款额a元到

第10年付款时应付金额为L0751元，第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，

而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72X1000-28800-14400在10年后一次

付清时的本息是相等的。仍得到1.07591.07581.0757-=(72X1000-28800-14400)

X1.075Kl.用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元,

就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、修理等项支出共计40元。我

们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下

的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出

40*50=2000元,每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元

三、本课小结

通过本课学习我们相识到，生活是多面的，我们在探讨一个问题时，可以多角

度、多层次的思索，如若正面不行，亦可利用反面思索

四、作业

家用冰箱运用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量。呈指数函

数型变更，满意关系式。=。°/。颉5，，其中心是臭氧的初始量，f是所经过的时间.

1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是削减？

2）多少年后将会有一半的臭氧消逝？

第3课时函数中的趣题一一

孙悟空大战牛魔王

教学要求：体会数学在实际问题中的应用价值.

教学过程：

一、故事引入

孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，

牛魔王不简洁，他会变。他见悟空紧紧追逐，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟

空一见，马上变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤

那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠然的

样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他立刻

变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得

分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝技，现

出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他

对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！马上身高

万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，连忙逃去。

孙悟空与牛魔王杀得震天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王

困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，

最终被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈

火，唐僧四人翻越山岭，接着往西天取经

二、实例尝试，探求新知

这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。

首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广阔，都能变。他们能

变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这

些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变更着的。既然

物质在变更，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变更了。这就告知我们，要

从变更的观点来探讨数和量以与它们之间的关系。

其次，我们再来看一看，是不是全部的量在任何状况下，都始终变更着的呢？

不是的。探讨问题的某个特定过程中，在确定的范围内，有的数量是保持不变的。

或者，虽然它也在变，但变更微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做

例子。孙悟空的本领最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一

看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把探讨某一问题过程中不断变更着的量叫

做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把确定范围内保持不变的量叫做常量，唐

僧就好象是一个“常量”。

例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契（约1170年〜约1250年）在他所著的

《算盘书》里提出了这样一个好玩的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一

雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。贝若年初时有1对小兔，

按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外状况，1年后将有多少对兔子？

解析：第一个月时，有小兔1对；其次个月时，小兔还没有长大，因此兔子数

仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对;

第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔

子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月诞生的小兔这时

也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；始终这样推算下去，可以得到

下面的表：假如细致视察，就不难发觉其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔

子对数都是前两个月的兔子对数之

和。表中兔子对数构成的一列数1,1,2,3,5,8…就称为斐波那契数列。斐波那

契数列有很好玩的性质和重要的应用。

例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树

以提高产量，但是假如多种树,则树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会削减.

依据阅历估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

解析：假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为丫(个)，依题意，果园共

有(100)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.

(100)(600-5x)5x2+10060000.5(10)*2+60500

即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500

三、本课小结

通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只

要我们留意，到处都充溢着数学的原理。

四、作业

某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦,

种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预料如下表：

作物品种每亩地所需职工数每亩地预料产值

蔬菜1/21100元

烟叶1/3750元

小麦1/4600元

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物

预料总产值最多。（设工人数）

第4课时三角函数的趣题一

直角三角形

教学要求：探究直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中

的应用。

教学过程：

一、情境引入

直角三角形就像一个万花筒，为我们呈现出了一个色调斑澜的世界.我们在观赏

了它奇妙的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们呈现了在它的世界中的

边角关系，它使我们现实生活中不行能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程

等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

二、例题分析

例1、海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，起先

在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，

之后，货轮接着往东航行，你认为货轮接着向东航行途中会有触礁的危急吗

解析：过A作的垂线，交于点D.得到△和△,从而

55°,=25°,由=,又=20海里.得

55°25°=20.

（55°25°）=20,

-----------------g20.79（海里）.

tan55°-tan25°

这样心20.79海里〉10海里，所以货轮没有触礁的危急

例2、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B

处，经16小时的航行到达，到达后必需马上卸货.此时.接到气象部门通知，一台风

中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的

圆形区域（包括边界）均受到影响.

（1）问：B处是否会受到台风的影响请说明理由.

（2）为避开受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物

解析：（1）过点B作_L.垂足为D.

依题意，得N=30°,在△中，ilx20X16=160<200,

22

，B处会受到台风影响.

（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交于E、F,由勾股定理可求得120.

160VL

160a-120,

.•.⑹"°=3.8（小时）.

40

因此，陵船应在3.8小时内卸完货物.

练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,

求山高.（结果精确到0.01m）

三、本课小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分

析和

解决实际问题的实力.

四、作业

如图，△是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为12m,它的坡角为45°,为了

提高该堤的防洪实力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡，求的长.（结果保留

根号）

第5课时三角函数的趣题一

月平均气温问题

教学要求：选择生活中学生感爱好的题材，使学生能主动参与数学活动，提高学习

数学、学好数学的欲望.

教学过程：

一、谈话导入

数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数

学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。

二、典例分析

例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常状况下，船在

涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是

时间t（。”424,单位：时）的函数，记作（t）,下面是该港口在某季节每天水深的

数据。

t（时）24

y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

依据数据求出⑴的拟合函数，,Tgp"。，一般状况下，船舶航行时，船

底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是平安的（船舶停靠时，船底只需不碰

海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，假如该船想在同一天

内平安进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽视进出港所需时间）

解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3皿/"1,

血三弓，2"+"*'次"3,得12msi2*+即=），在同一天内，取0或w

或13£”17,所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时

退出，在港口内最多停留16小时。

例2、某工厂因生产须要，要生产1200个如图形态的三角形铁片，已知在4ABC

中，乐祖….勺问要生产这些三角形铁片共须要铁片的面积（精

确到I2）.

解析：AA=华，①(AA)z=+

1

:.2AA=一五0°<A<180°,A>0,A<0.

3

(AA)\I.AA=T,

V6-

AA=^2~.②

①+②，得人=-4,

S.C♦乂B”ir>4=:x2x3xY”;VF.=3("\/2-t-V6)(cm^).

要生产这些三角形铁片共须要铁片的面积为：1皿剑2+V6)«3477(cm2).

答：所以要生产这些三角形铁片共须要铁片的面积约34772.

三、本课小结

三角函数不但应用于数学的各个分支，也广泛应用于其他的学科与社会生产实

践中，.在实际生活中，也会常常遇到一些须要运用三角函数来解决的问题,特殊是

一些线段的度量和角的计算等问题我们要敏捷运用

四、作业

把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面

积最大？

第6课时数列中的趣题一

柯克曼女生问题

教学要求：通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习探讨数列的主动性.

教学过程：

一、问题引入：

有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的漫步，要使每个女生在一周内的

每天做三人行漫步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同

一小组，应怎样支配?

二、典例分析

例1、大楼共〃层，现每层指定一人，共〃人集中到设在第4层的临时会议室开会,

问A如何确定能使〃位参与人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼

梯长相等)

分析：设相邻两层楼梯长为a,则

分〃为奇数和〃为偶数两类探讨.

例2、某地区荒山2200亩，从1995年起先每年春季在荒山植树造林，第一年植树

100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

(1)若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化

(2)若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%,

则全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S,求S的表达式.

(3)若1.28-4.3,计算S(精确到1立方米).

分析：由题意可知，各年植树亩数为：100,150,200,……成等差数列

三、本课小洁：下面回到课前问题，设15位女生用下面15个符号表示：X,

al,a2,bl,b2,cl,c2,dl,d2,el,e2,fl,f2,gl2;将它们

排成七行，每天五个三人行小组(共十五人)，使x处于七行中的最前一位置上：

(12);(12);(12);(12);(12);(12);(12).

于是只须安排14个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个

元素a,b,c,d,e,f,g进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出

项两次。即

现在来填下标，假如在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中中，b

出现两次，可标上不同的脚标bl2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同

一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为1。得到解：

(12),(bill),(b211),(cl22),(c222);

:(12),(al22),(a222),(cl11),(c211);

:(12),(alll),(a211),(bl22),(b222);

:(12),(al22),(a221),(b212),(cl21);

:(12),(alll),(a212),(b212),(c221)

:(12),(al21),(a221),(bl21),(c212);

:(12),(al12),(a212),(b221),(cl12)

三、作业

某林场有荒山3250亩，从96年起先，每年春季在荒山上植树造林，第一年植

100亩，支配以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活).

(1)需几年可将此荒山全部绿化.

(2)已知新植树苗每亩木材量为2m3树木每年的自然增长率为10%,设荒山全部绿

化后的年底木材总量为S,求S的最简表达式

第7课时数列中的趣题一

数列的应用

教学要求：培育学生的创新精神和创建实力。它要求老师给学生供应探讨的问题与

背景，让学生自主探究学问的发生发展过程

教学过程：

一、诗词引入

先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子

进一步探究数列的定义与其蕴含的数量关系

二、典例分析

例1、、有一序列图形P⑵…….已知巴是边长为1的等边三角形，将R的每条边三等

分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得

…・.，将।的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形,

再将中间部分的线段去掉得试分别求的周长和面积.

解析：这序列图形的边数构成的数列为：3,3X4,3X42,...,3X4”1..；

它们的边长构成的数列为：斗看…,击，….

S2比&多3个面积为凡的正三角形.即

9

例2.在E1000,2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解析：不妨设%=3”,b,“=4〃?+1(m,nGN*),

则｛｝为｛｝与｛｝的公共项构成的等差数列(1000WW2000)

=，即：341令3,则2且有上式可知：12

，9+12(p1)(pN)

711

由1000WW2000解得：83—</?<166—

1212

取84、85、...、166共83项。

三、本课小结

依据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、

归纳的方法迁移到新情境中，将新的学问内化到学生原有的认知结构中去。

四、作业

1.一梯形两底边长分别为1222,将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的

直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.

2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%若初时含杂质

0.2%,每过滤一次可使杂质削减工，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求

3

第8课时不等式性质应用趣题一

“两边夹不等式”的推广与趣例

教学要求：理解“两边夹不等式”的推广与应用

教学过程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若g=£,则@="£=£。若将条件中的等式改为不

bdbb+dd

等式，如幺＜£,则结论如何呢课本上有这样一道练习：己知a,O,c,d都是正数，且

bd

bc＞ad,则@＜土上＜£（中学数学其次册（上）（人教版）），在平常的教学过程中，

bb+dd

稍不留意，其丰富的内涵和探讨价值便被忽视了。下面为了说明问题的便利，称不

等式@＜穿＜二为两边夹不等式。当然这个不等式的证明是简洁的，而探讨

这个不等式却别有一番风味.对该不等式的探讨是从它的一个简洁应用起先的.

二、“两边夹不等式”理解推广

1、两边夹不等式的两种理解

解：（1）实际意义的理解：有同种溶液（如糖水）A、B,已知溶液A的浓度为巴，溶

b

液B的浓度现将两种溶液混合成溶液C,此时溶液浓度为土上，由日常生活

db+d

阅历知道有

bb+dd

（2）几何意义的理解：由分式联

想到直线的斜率，设

0A=（b,a）,OB=（d,c）则直线、斜

率分别是q,-（如图1）,则

bd

OA+OB^（b+d,a+c）,它表示图中

的。a明显直线的斜率介于、的斜

进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如丽=。么+20月=S+2乩a+2c）得到

不等式0<土吆£<£,仿此还可到几个不等式链：

bb+2dd

/八。a+ca+2ca+3ca+ncc

Cl)—<---<-----<----<•••<-----<•••<—

hb+db+2db+3db+ndd

xaQ+C2Q+C3a+Cna-\-cc

(/2n)—<---<-----<----<,••<-----<•••<一

bb+d2b+d3b+dnb+dd

(3)-<+<..■<-(其中九〃eN*)

bmb+ndd

2.两边夹不等式的一个简洁应用

练习1、利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知a,瓦加都

是正数，且a<b,求证：巴<丝~

bh+m

分析：:.q<i='，由两边夹不等式马上得@<史”.

bmbb+m

3.两个有意义的推广

推论1(等比定理的推广)：已知a,,4€/?+(;1,2,3,…，n),若立<竺

仇b2bn

则包<旦_<”。

i=I

利用两边夹不等式可以简洁得到证明，这里从略。

由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，则将g与工的分子

ha

分母各乘以非零实数％,%又有什么结论呢

推论2(一般性推广)：若正数a,。,c,d与非零实数4，〃满意0<£,则

hd

+4c

一a<------—<c—

b+A2dd

'"F日日a4]ac42cac

1:,厂布厂行，~b<~d

：.由两边夹不等式马上得£<”<£

b4匕+42dd

练习2、无限夹数嬉戏

(1)给你随意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗

如！与_1,,与2,2与_1等。

323552

依据两边夹不等式可以得到

2介于工与L之间，

532

3介于'与2之间，

835

3介于2与1之间。

752

三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解与两种推广。

四、作业：探求“黄金分割数”

在0、1之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的

规律进行：第一个数为此时得到两个区间Al=（0,；）,Bl=（；,l）在区间

Bl内利用两边夹不等式得到其次个数a2=-；此时a2又将区间B1分成两个区间

3

A2=（L2）2=（2,I）在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数2,依此类推，可以

2335

得到数列｛%｝,数列｛%｝的极限称为黄金分割数，求此极限。（1皿%=垦1）

2

第9课时不等式性质应用趣题一

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不

等式。前两类不等式的应用与其对应函数与方程的应用如出一辙，而平均值不等式

在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理

的应用。

在生产和建设中，很多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解

决。平均值不等式学问在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经验，但从电视、报纸

等新闻媒体与我们所做的应用题中不难发觉，均值不等式和极值定理通常可有如下

几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）

实践活动已知条件最优方案解决方法

设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一

经营成本各项费用单价与销售量成本最低函数、极值定理二

车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出

速度、各项费用与相应最低成本，再由此

比例关系计算出最低票价

（票价=最低票价++平均利润）

例1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形态是等边圆柱（如右图所示），

若容积确定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是

什么关系时用料最省（即表面积最小）？

分析：容积确定=>”「（定值）

=>2Jir+2JI2JI（r）=2JI（r22）

22JI3（rh）/4=32JIV（当且仅当r2=〉2r时取等号），

,应设计为的等边圆柱体.

例2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h,若体积为定值V,且上下底

厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最

省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得2d（计算过程请读者自己

写此本文从略）.•.应设计为2d的圆柱体.

第10课时立体几何趣题一一

正多面体拼接构成新多面风光数问题

教学要求：训练学生空间想象实力，动手动脑实力，提高学习数学爱好

教学过程：

一、问题提出

在《数学（高二下册）》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一

道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一

个表面重合，所得的新多面体有多少个面”对于这个问题学生们表现出了极大的爱

好.他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者

各有一个面重叠，因此削减两个面，所以重合之后的新多面体有10个面.

二、故事介绍

老师乘着学生深厚的爱好讲了一个与这道例题有关的故事.多年前美国的一次

数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，全部棱长都相等，问重

合一个面后还有几个面高校教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三

棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有一个面重叠，削减两个面，所以重合之后还

有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合

而被判错误，对此丹尼尔始终有所怀疑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和

正四棱锥实物模型，结果正如他所推断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型

提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。

三、操作确认

故事讲完后学生马上对丹尼尔的结论进行了激烈地探讨.于是老师建议：请同

学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作（模型组合）来确

认自己的结论.学生展示大小不一的实物模型.老师让每个组的学生代表在讲台上

演示实物模型的组合过程.通过视察、探讨，全班同学明白丹尼尔结论的缘由所在.同

时也视察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上

一节课通过直观感知所得的结论是不一样的。缘由在于他们发觉在重合过程中正四

面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了.

四、思辩论证

老师要求学生利用立体几何的相关学

A

问，对操作实物模型得出的结论进行证明。

学生比照实物模型提出了证明思路：将正八

面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两

个半平面拼接成一个平面即表示这两个半

平面所构成的二面角为180。.证明如下：如

图1,在正八面体中，连结交平面于点0.设

正八面体的棱长为1,的中点为D,连结、，

易得/为二面角A—-C的平面角。322、口^="由余弦定理得COSNADC=」。

2V443

仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角。的余弦值为工。

3

由上可知6+/4OC=180",因此新多面体是七面体。

五、问题扩展

理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生的多向思

维.证明结结束后，马上就有学生向老师提出了问题：假如再拼一个同样的正四面

体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，老师马上利用学生的实物模

型进行操作确认，从而发觉新多面体的面数并不确定，而是依靠于拼接四面体在八

面体上的位置.进一步，当拼接更多的四面体时问题更困难了，但却激发了学生更

大的爱好.在激烈地争辩中，师生的思索一度陷入僵局.余是老师提出能否看看不

同状况下新多面体可能新多面体最少面数.这一问题得到了学生的认可，新一轮实

物模型的操作确认起先，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少

为6个面，构成一个六面体（如图2）.

当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面，构成一个棱台如图（3）.

当拼接四个正四面体时，新多面体最少为4个面构成一个正四面体（如图4）.

本节小结：学习数学不要只靠我们的直觉，而要有推理论证检验。

第11课时立体几何趣题一一

球在平面上的投影

教学要求：明白球在不同光照下的投影

教学过程:

放在水平面上的球与水平面切于点A,一束光线投射

到球上，则球的影子的轮廓是什么曲线切点A与轮

廓曲线的关系又是什么

一、平行光线下球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点

止，与水平面所成角为a（々工90。）的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是

以A为一个焦点的椭圆.

分析：明显，当太阳光垂直于水平面，即a=90“时，球在水平面上的投影是以

为A圆心，R为半径的圆；当0。<q<90。时，球在水平面上的投影是以A为一个焦

点的椭圆，如图1.

如图1所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆0,则光线在水

平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线『设与水平面平行且与球相切的

平面/与球相切于点D,与圆柱面的交线为小P为4上的随意一点，经过点P的光

线为‘，（P\为光线与平面/的交点），且与球相切于点C,过点D作与光线平行

2R

的直线交水平面于点B,连结，易知，’C,,即知‘,又石为确定值，则知点P

2R

在以为焦点，长轴长为盛工的椭圆上，

二、点光源下的球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A,与水平面距离为h的点光源S（S

在球面外）投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A

为圆心的圆，且其形态与大小与光源到水平面的距离h与与水平面所成角有关.

1.当过点S,球心0的直线与水平面垂时,

必有h>2R.球在水平面上的投影是以球与

面的切点为圆心的圆（图略），

2.当过点S、球心0的直线与水平面不垂

时.

①若h>2R,则球在水平面上的投影是

为一个焦点的椭圆，如图2.

如图2所示，与球。相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆0Z球。।与

圆锥面与水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆Q,与水平面的切点为B；P

为球在水平面的投影线上的随意一点，过P的光线与球0、01的切点分别为D,C,

则有、，易知为两圆锥母线之差（为确定

值）.即（定值），所以，球在水平面上的

投影是以A、B为焦点的椭圆.

②若2R,则球在水平面上的投影

是以A为焦点的抛物线，如图3.

如图3所示，与球0相切的光线构

成一个圆锥面.设切点的集合为圆；

过S、0,A的平面与水平面交于；

圆所在的平面/与水平面的交线为L；P

为球在水平面的投影线上的随意一点，过P与/平行的平面与圆锥面交于圆。2所以,

球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线.

若h〈2R,则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4.

如图4所示，与球。相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆02；球

与圆锥面与

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03,与水平面的切点为月；户为球

在水平面的投影线上的随意一点，过户的光线与球0、的切点分别为G、打，则有

二、二，且易知为两圆锥母线之和（为确定值）.即（定值），所以，球在水平面上的

投影是以为焦点的双曲线的一支.

三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球在光线的投射下的轮廓线是一个圆，

且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下

的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的椭圆.

当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面

的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影

是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线.

12课时解析几何中的趣题一

奇妙的莫比乌斯圈

教学要求：利用几何方法解决生活问题

教学过程：

一、故事引入

老国王的问题奇妙的莫比乌斯圈

一个年老的国王有五个儿子，他临死前把五个儿子叫到身边，准备把自己的国土平

均分给每个儿子，但为了要儿子们团结，他希望每片国土的边界线都相连。假如你

是帝国宰相的话，请问你如何来执行老国王的遗嘱？

二、学习例题找寻方法

例1假定你在赤道上饶了地球一周，这时你的头顶要比你的脚底多跑多少路？

分析与解答:

你的脚底一共走了2位的路，R是地球半径。你的头呢却走了2万（/?+1.7）的路，

1.7是你的身高。因此头比脚多走2万（R+1.7）-2或=2万xl.7，10.7米

例2假定把一条铁丝困到地球赤道上，然后把这条铁丝放长一米，问这条松下来的

铁丝和地球之间能不能让一只老鼠穿过？

分析与解答：

一般人都会回答这个间隙会比一根头发还小，一米同地球赤道的40000000米相

比简直相差太大了。事实上，这个间隙大小为图。16厘米，不仅老鼠，甚至大猫也

2万

可以过去。

三、全课总结

下面回到课前的问题，拿一张纸条，假设四个顶点，为了区分这两个面，我们

不妨把一面涂成兰色，而一面涂成红色使A与B；C与D重合地粘接起来，我们就

得到了一个一般有两个面的曲面假如让一只蚂蚁在这个曲面的某一面上爬行，不让

它绕过曲面的边缘，也不让它穿过曲面，则无论它怎么爬，它也爬不到另一面上去。

现在，把纸条从粘接处分开，扭转180。，再使A与C、B与D重新地粘接起来,

我们就得到了只有一个面的曲面，已经无所谓里外了在这个圈上，能玩出无限的小

把戏。前面说的那个5个儿子分土地就是其一。你猜猜把这个带子延中间切开、再

切呢？玩过吗？就是把第一次切得到的两个圆再切呢？大家回家去试一下吧，很好

玩.

四、作业

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

13课时解析几何中的趣题一

最短途问题

教学要求：利用几何图形的有关性质求最小值问题

教学过程:

一、谈话引入

路程短了在相同速度下可以节约时间，因此，求最短路程成为生产生活中最优方案

而被采纳。

二、学习例题找寻方法

例1一个牧人从帐篷A处牵马去河边饮水，然后去B处赶集，在河的同侧。问他怎

样走路成最短？

分析：由轴对称原理找对称点，然后两点间距离最短。

例2长宽高分别是4、2、1米的长方体。现有一小虫从顶点A动身沿长方体表面爬

到对角顶点G，间小虫爬行最短路程是多少？

分析：我们把这两点所在的两个面绽开，置于一个平面内，依据绽开面不同分

三种状况探讨。

三、全课总结

最短途问题归结为数学问题，解决方法，通常是利用几何图形的有关性质将图

形作各种几何变换利用不等量关系求解。

四、作业

在全部三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在始终线一欧拉

线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离

两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

14课时排列组合中的趣题一

抽屉原理

教学要求：引导学生视察、分析驾驭一个最简洁的最基本的推理原则一一抽屉原理

教学过程：

一、事实引入

把5个苹果放进4个抽屉无论怎么放，至少有一个抽屉放进的苹果个数不少于2,

这是任何人都确信无疑的事实，在解答某些排列组合问题时都必需用它，这种方法

称为抽屉原理。

二、学习例题找寻方法

原理1：将m个元素，依据某种规则分成n各集合（＞,m、n、为自然数），则至少

有一个集合有2个或2个以上的元素。

原理2：将m个元素，依据某种规则分成n个集合（〃〉如，m、n、k为自然数），

则至少有一个集合含有1个或1以上的元素。

例1一副扑克牌（52张）有4种花色，每种花色有13张，从中随意抽牌，最少要

抽多少张牌，才能保证有4张是同一花色的？

解析：抽出的牌按花色分类，可分4类，〃=4。由原理2知：1=4,得k=3。

此时，所取出的牌的张数为m,m应满意＞=12,故m=13,14,15……，因此至少

须要抽13张牌才能保证有4张是同一花色的。

例2、某校高一一班有55个同学，老师说至少有两个同学在同一周内过生日，老师

的话正确么？

解析：平年是365天最多分布在53周内；闰年是366天最多分布在54周内，

把54周当作54个抽屉，把55个同学当作55个元素，由抽屉原理1老师说的至少

有两个同学在同一周内过生日是正确的。

三、全课总结

本节课要求我们应用抽屉原理将需状态进行分类，即“制造抽屉”。“抽屉”造的好

即可得出志向结果。

四、作业

证明：在随意人群中，确定有2个人，他们在这群人中的挚友一样多

15课时排列组合中的趣题一

摸球嬉戏

教学要求：培育学生在视察的基础上进行归纳猜想和发觉的实力，进而引导学生去

探求事物的内在的本质的联系.

教学过程

一、嬉戏引入

大约十年前，在北京西直门立交桥旁边，曾有一个摆摊摸球的人。当时围观的

人们觉得很簇新，曾有很多人参与摸球。现在看来，这不过是一个小型的赌博嬉戏

罢了。这个嬉戏的规则很简洁：他先摆出了12个台球一般大小的小球，其中有6

个红色球和6个白色球。当着观众的面，他把全部12个色球装进一个一般的布袋中，

然后怂恿大家来摸。怎么个摸法呢就是从这个装12个球的布袋中，随意摸出6个球

来，看看其中有几个是红球，有几个是白球。当然，摸球者只能把手伸进袋口中

把球一个一个地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。大家想一想共有多少种摸法？

哪一种的概率大呢？

二、学习例题找寻方法

例1某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必需是1

男1女，共有多少种不同的搭配方法？

分析：每一种搭配都须要2男2女，先把4名队员选出来有种选法，然后

考虑4人的排法，故乘以武

例2