17.1.1勾股定理(精练)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

勾股定理一．选择题1．已知△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高AD＝8cm，则边BC的长为（）A．21cm B．9cm或21cm C．13cm D．13cm或21cm【分析】利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理得，BD＝＝＝15（cm），CD＝＝＝6（cm），分两种情况：①如图1，BC＝CD+BD＝21cm，②如图2，BC＝BD﹣CD＝9cm，故选：B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分线BD交AC于D，DE∥AB交BC于E，点F为AB上一点，连接DF，EF．已知DC＝5，CE＝12，则△DEF的面积是（）A．30 B．32.5 C．60 D．78【分析】作BM⊥DE于E，则∠M＝90°，由勾股定理求出DE，由角平分线和平行线的性质证出∠2＝∠3，得出BE＝DE＝13，因此BM＝DC＝5，即可求出△DEF的面积．【解答】解：作BM⊥DE于E，如图所示：则∠M＝90°，∵∠C＝90°，∴DE＝＝13，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠3＝∠1，∴∠2＝∠3，∴BE＝DE＝13，∴BM＝DC＝5（等腰三角形两腰上的高相等），∴△DEF的面积＝×13×5＝32.5；故选：B．3．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．1﹣【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∴OC＝﹣1，∴点C的横坐标为﹣1．故选：C．4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故选：C．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2【分析】根据勾股定理得a2+b2＝c2，再根据已知条件由完全平方公式即可得出ab的值，即可得出结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a+b＝14cm，c＝10cm，∴（a+b）2＝196，即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96，∴，∴Rt△ABC的面积是24cm2，故选：A．二．填空题6．如图，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别是25，169和B，则B的值是．【分析】根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：AB2＝AD2﹣DE2＝169﹣25＝144，∴B的值是144，故答案为：144．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（1，），则OA的长为．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由点的坐标、勾股定理得，OA＝＝2，故答案为：2．8．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是．【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面积是＝3，又∵直角三角形的面积是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．故答案是：25．9．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．【分析】在直角△BCD中，已知BC，CD，根据勾股定理即可计算BD的长，已知，AD＝AC＝12，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC＝10，CD＝2AC＝24，∴BD＝＝26，∵风车的外围周长为4（BD+AD）＝4（26+12）＝152．故答案为152．三．解答题10．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝20，AC＝15，AD＝9．（1）求CD的长；（2）求AB的长．【分析】（1）（2）根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，CD＝＝12；（2）在Rt△BCD中，BD＝＝16，则AB＝AD+BD＝25．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求BC．【分析】利用勾股定理求出BC的长即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝12．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，求BC的长．【分析】根据题意直接利用勾股定理求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2．13．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按图4，图5所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理．【解答】解：由图可知大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，图中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的长方形，根据面积相等得：（a+b）2＝a2+b2+4×ab，由右图可得（a+b）2＝c2+4×ab．所以a2+b2＝c2．14．将图①沿中间的小正方形的对角线剪开，得到图②所示的梯形，请利用图②面积的两种表示式验证勾股定理．【分析】根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列式整理即可得证．【解答】解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，所以，a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，所以，a2+b2＝c2．15．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a．BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′C的面积证明勾股定理．【分析】根据梯形面积公式表示梯形BCC′D′的面积；【解答】解：梯形BCC′D′的面积＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab．SRt△CC'A＝c2，SRt△ABC＝SRt△AD′C＝ab；（3）由图形可知S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，则（a+b）（a+b）＝c2+2×ab∴（a2+b2）+ab＝c2+ab．因此，a2+b2＝c2．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC比AC大2，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC的延长线于E．求：（1）AC，BC的长；（2）CE的长．【分析】（1）在Rt△ACB中，设AC＝x，根据勾股定理列等式x2+（x+2）2＝102，据此即可求出AC和BC的长；（2）证出△ACB∽△ADE，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，设AC＝x，有AC2+BC2＝AB2，∵x2+（x+2）2＝102，即（x﹣6）（x+8）＝0，解得，x1＝6，x2＝﹣8（舍去）．∴AC＝6，BC＝6+2＝8．（2）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE，∴△ACB∽△ADE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴CE＝AE﹣AC＝﹣6＝﹣＝．17．已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，求AD的长．【分析】如图，过点D分别作AC、AB的高线DE、DF，垂足分别是E、F．过C点作CH⊥AB于点H，勾股定理可得BC长度，利用面积法可得DE，即可得AD．【解答】解：如图，过点D分别作AC、AB的高线DE、DF，垂足分别是E、F．∵AD是△ABC的角平分线，∴DF＝DE．过C点作CH⊥AB于点H．∵在直角△AHC中，AC＝2，∠A＝60°，∴AH＝AC•cos60°＝AC＝1，CH＝AC•sin60°＝．又∵AB＝3，∴BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2，∴在直角△CBH中，由勾股定理得到BC＝＝＝．∴AB•CH＝AB•DF+AC•DE＝（AB+AC）•DE，即×3×＝×（2+3）×DE，解得DE＝，又∵在直角△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝．即AD＝．18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题：（1）点A的坐标是，点B的坐标是；（2）分别求出线段OB和线段AB的长度．【分析】（1）根据平面直角坐标系、点的坐标的确定方法解答；（2）根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）点A的坐标是（4，3），点B的坐标是（﹣2，﹣5）；（2）OB＝＝，AB＝＝10．19．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B的坐标分别为A（5，1），B（2，﹣2）．（1）请在图中建立合适的直角坐标系；（2）连接AB，则线段AB的长为；（3）设O为坐标原点，连接OA，OB，求△ABO的面积．【分析】（1）根据A点坐标画出平面直角坐标系xOy即可；（2）由勾股定理可求出答案；（3）利用分割法避实就虚面积转化为矩形面积减去三个三角形面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵A（5，1），B（2，﹣2），∴AB＝＝3，故答案为：3；（3）如图，S△AOB＝5×3﹣×5×1﹣×3×3＝6．20．在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝1，AB＝x，求代数式（x﹣1）2+2x的值．【分析】分AC是直角边，AC是斜边两种情况，根据勾股定理得出x的值，进而代入解答即可．【解答】解：①AC是直角边时，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵AB＝x，∴x＝，∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝5+1＝6；②AC是斜边时，在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵AB＝x，∴x＝，∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝3+1＝4．∴代数式（x﹣1）2+2x的值是6或4．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的长．【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设AB＝AC＝x，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴CD＝＝1，∴AD＝x﹣1，在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，解得，x＝5，即AB＝5．22．如图所示的是由5个边长是1的正方形组成的图形．（1）求BA12，BA22，BA32的值；（2）从（1）中寻找规律，当有10个正方形时