第07讲尺规作图（7种题型）（原卷版）

第07讲尺规作图（7种题型）【知识梳理】一、线段垂直平分线的尺规作图求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．二、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.二、用尺规作三角形1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．图4－4－16求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；图4－4－17(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；图4－4－18(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；图4－4－19图4－4－20(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．[点析]我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.作法：(1)作∠DAF＝∠α；图4－4－22图4－4－23(2)在射线AF上截取线段AB＝c；图4－4－24(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．[点析]我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．3、已知三角形的三条边，求作这个三角形已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．图4－4－25求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.作法：(1)作一条线段BC＝a；图4－4－26(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；图4－4－27(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．图4－4－28[点析]我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等【考点剖析】题型一：作线段例1.使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹，用水笔描黑）(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为．【变式1】按要求作图(1)如图（1），在平行四边形ABCD中，AC为对角线，，AE是的中线，①在AD取一点F使得；②画出的高CH．（仅使用无刻度的直尺画图）．(2)如图（2），四边形ABCD是平行四边形，画线段BE，使得BE平分，并且点E在CD上（用直尺和圆规画图）【变式2】如图，在正方形中，点是边上的定点．(1)如图1中仅用圆规分别在、上作点、，使，且，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：，且．题型二：作一个角等于已知角或角的和与差例2．如图，已知．用三种不同的方法作等于．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法．【变式1】如图，已知，求作：，使．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

题型三：过直线外一点作这条直线的平行线例3.题目：（1）下图是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“的四边形是平行四边形”；（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图．【变式】已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行．题型四：作三角形例4.已知：线段c和求作：，使得（不写作法，但保留作图痕迹）【变式1】已知线段及锐角，用直尺和圆规作，使，．【变式2】如图，线段，利用直尺和圆规按照下列要求作出图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）作一个等边三角形，边长为；（2）在第（1）题的图中，作一个，使．【变式3】已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.图4－4－29题型五：作角平分线例5.如图，已知，用三种不同的方法画出的平分线．要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）【变式2】如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）题型六：作垂线例6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．作图：作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；【变式1】如图，已知线段AB和射线AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）(1)在图①中，在射线AC上求作一点D，使得DA＝DB；(2)在图②中，在射线AC上求作一点E，使得∠BAC＝2∠EBA．【变式2】已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．(1)①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PDAC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）(2)若∠BPD＝32°，连接PC，则∠ACP＝°．题型七：作等腰三角形例7.尺规作图：如图，射线OM⊥射线ON，A为OM上一点，请以OA为一边作等腰直角三角形．保留作图痕迹，标上顶点字母，并写出所画的三角形．【变式1】已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PDAC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝°．【变式2】（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形；（2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（

）

A．100° B．115° C．125° D．135°2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点C、A在上，小明利用尺规作出了如图所示的图形，根据作图可知的根据是(

)A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行4．（2023春·浙江宁波·八年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）下列所给条件中，能画出唯一的的是（

）A． B．C． D．5．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是(

)A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：

①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，则的周长为．

8．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，的面积为24，依据尺规作图的痕迹判断，的长为．

9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，则根据作图痕迹，可知的度数为，的度数为．

10．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为．

11．（2021春·浙江·八年级期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是．三、解答题12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点为上一点．(1)画，垂足为；(2)画的平分线，交于；(3)过点画，交于点．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）13．（2023·浙江·八年级假期作业）已知：如图，和上的一点P．(1)求作直线，使直线过点P且；(2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角．14．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，请保留作图痕迹，不写作法．15．（2023·浙江·八年级假期作业）已知，D为上一点，．(1)尺规作图：在边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)求的度数．16．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，

(1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）中，连接，若，，求的周长17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在直线l上求作一点C，使得（保留作图痕迹）．

18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的中线，请用尺规作图法在上找一点P，使得点P到线段、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

19．（2023·浙江·八年级假期作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高线．(2)用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(3)求的面积．20．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知和线段a，求作，使，

21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知线段m，n和∠α，求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠B＝∠α．22．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作，使，，．23．（2023·浙江·八年级假期作业）已知：线段，，如图所示，作，使，，．保留作图痕迹，不必写画法和证明)

24．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．25．（2023·浙江·八年级假期作业）如图：

(1)在的内部利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线的位置关系26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示,已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作：（1）∠α+∠β（2）∠α∠β.27．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．28．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知，请按下列要求作图：（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．29．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知点D是射线OA上一点且(1)过点E作OA的平行线EF；(2)若，求的度