2025版高考数学一轮复习单元评估检测二第四章文含解析北师大版

PAGE12-单元评估检测(二)(第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于其次象限的点Pcosα,35,则cosA.15 B.-15 C.75【解析】选B.由随意角三角函数的定义知sinα=35,又α是其次象限角,所以cosα=-1-sin因此cosα+sinα=-152.(2024·榆林模拟)若角α的终边过点A(2,1),则sin32A.-255 C.55 D.【解析】选A.由三角函数定义,cosα=25=255,sin32π3.(2024·榆林模拟)函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为π2,则fπ6A.-3 B.33 C.1 D.【解析】选D.由题意可知该函数的周期为π2所以πω=π2,ω=2,f(x)=tan所以fπ6=tanπ3=4.(2024·全国卷Ⅰ)tan255°= ()A.-2-3 B.-2+3 C.2-3 D.2+3【解析】选D.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-5.(2024·威海模拟)函数y=sin2x+π3的图像可由y=cos2xA.向左平移π12B.向右平移π12C.向左平移π6D.向右平移π6【解析】选B.y=sin2xcos2x+=cos2x-π12,所以把y=cos2x的图像向右平移π12个单位,6.下列函数中,是周期函数且最小正周期为π的是 ()A.y=sinx+cosx B.y=sin2x-3cos2xC.y=cos|x| D.y=3sinx2cos【解析】选B.对于A,y=sinx+cosx=2sinx+π4的最小正周期是2π,不符合题意;对于B,y=sin2x-3cos2x=12(1-cos2x)-32(1+cos2x)=1-32-1+32cos2x的最小正周期是π,符合题意;对于C,y=cos|x|=cosx的最小正周期是2π,不符合题意;对于D,函数y=3sinx27.(2024·淮南模拟)已知sin2α=13,则cos2α-πA.-13 B.13 C.-23【解析】选D.cos2α-π4=1+cos2α-π22=12+12sin8.(2024·洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sinα-A.-45 B.-35 C.35【解析】选C.因为角α的终边经过点P(3,4),所以sinα=45,cosα=3所以sinα-2=sinα+π2=cosα9.(2024·铜川模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=23,则b= (A.14 B.6 C.14 D.【解析】选D.因为bsinA=3csinB⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1,所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×23=6,所以b=610.已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin2α-2cos2α= ()A.25 B.-65 C.-45【解析】选A.由已知tanα=2,所以sin2α-2cos2α=2sinαcosα-2【变式备选】已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则cos2α+1A.35B.-35C.-3【解析】选A.由sinα+3cosα3cosα-sinα=5得tanα+33-tanα=5,解得tanα=2,所以cos11.(2024·西安模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为35,45和-45,A.-2425 B.-725 C.0 【解析】选A.由三角函数定义得cosα=35,sinα=45,cosβ=-45,sinβ=35,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin12.函数f(x)=2x-sinx在区间[-10π,10π]上的零点的个数是 世纪金榜导学号()A.10 B.20 C.30 【解析】选A.画出函数y=2x和y=sinx的部分图像,依据图像可得函数f(x)=2x-sinx在区间[-10π,10π]上的零点的个数是10,所以选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2024·蚌埠模拟)化简:sin235【解析】sin235°-1答案:-114.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于点E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2所以AC=AP·sin30°=1(km),DE=AC=1设BD=hkm,则DP=BD=hkm,BE=(h-1)km,所以BP=2hkm.因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=(2h-2)km.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°=AP2+BP2-AB2答案:215.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28℃,12月份的平均气温最低,【解析】由已知,a=28+182=23,A=28-182=5,所以y=23+5cosπ6(x答案:20.516.(2024·安康模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.世纪金榜导学号

【解析】由正弦定理asinA=得sinB=ba·sinA=27×32由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得7=4+c2-4c×cos60°,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).答案:217三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024·嘉兴模拟)已知函数f(x)=sinxsin(x+φ),φ∈[0,π].(1)若fπ6=34,求φ(2)当φ=3π4时,求f(x)在区间0【解析】(1)fπ6=sinπ6sinπ6+φ=34,sinπ6+φ=32,由φ∈[0,(2)f(x)=22(sinxcosx-sin2=12sin2x+π4-24所以2x+π4∈π4,5π4,即sin2x+π18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+【解析】(1)在△ABC中,因为a>b,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=所以b的值为13,sinA的值为313(2)由(1)及a<c,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+19.(12分)(2024·芜湖模拟)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=4sin2B2(1)求cosB.(2)若b=2,△ABC面积为2,求a+c的值.【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=4sin2B2,所以sinB=2(1-cos上式两边平方,整理得5cos2B-8cosB+3=0,解得cosB=1(舍去),cosB=35(2)由cosB=35,得sinB=4又S△ABC=12acsinB=2,则由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=(a+c)2-16=4.所以a+c=25.(负值舍去)20.(12分)(2024·遵义模拟)已知锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-bc(1)求角C的大小.(2)求函数y=sinA+sinB的值域.【解析】(1)由2a-bc=cosBcosC及正弦定理得2sinAcosC-sin即2sinAcosC=sin(C+B)=sinA,因为sinA≠0,所以cosC=12,因为C∈0,π2,(2)y=sinA+sinB=sinA+sinπ-π3-A=sinA+32cosA+12sinA=3sinA+π6,因为A+B=2π3,0<A<π2,0<B<π2,所以π6<A<π2,所以π3<A+π21.(12分)(2024·湖南师大附中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=34,B=2A,b=3. (1)求a;(2)已知点M在边BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面积.【解析】(1)由0<A<π,cosA=34,得sinA=74,所以sinB=sin2sinAcosA=2×74×34=378,(2)cosB=cos2A=2cos2A-1=2×342-1=18,在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得2c2-c-10=0,解得c=5S△ABC=12bcsinA=15因为S△ACMS△ABM=|CM|所以S△ABM=511S△ABC=511×15722.(12分)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现打算在湿地内建立一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的马路(长度均超过2千米),在两条马路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建立两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2(1)求线段MN的长度.(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解题指南】(1)在△AMN中,利用余弦定理得到MN.(2)设∠PMN=α,得到∠PNM=120°-α,利用正弦定理将PM+PN用α表示,结合三角函数的有界性求最值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos120°=22+22-2×2×2×-1所以MN=23(2)设∠PMN=α,因为∠MPN