高等数学课件方程

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齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.可得OMA=OAM=

例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

(h,k

为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:

上述方法可适用于下述更一般的方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:作业

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