2024届山西省吕梁市高三第三次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由复数满足，可得，则，则复数对应的点为位于第四象限.故选：D.2.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，取为基底，则，因为点分别为的中点，,所以，所以.故选：B.3.设，则对任意实数，则是的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数与均为递增函数，所以在单调递增，因为函数为奇函数，所以在也为单调递增函数，又因为，所以函数在上单调递增，由，可得，所以，所以，故对任意实数，则是的充要条件.故选：C4.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，当时，的可能取值为，且，所以.故选：C.5.已知a，，若，，则b的可能值为（）A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由得，设，则，又，当时，，单调递增，当时，，单调递减．因为，所以．结合选项可知B正确，ACD错误.故选：B.6.设，当变化时的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在上，在上，设到准线的垂线交准线于点，轴于.，又为焦点与上点的距离，设，因为，所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，最小，所以，，令，显然在上单调递增，又，所以，所以，所以的最小值为.故选：C.7.在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.4.5〖答案〗A〖解析〗由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，所以焦距为，即，由椭圆定义可知长轴长为，即，所以到中点距离的最大值为短半轴长，所以中，，，所以，又，所以当垂直平面时四面体体积最大，最大值为，故选：A.8.设函数.若存在实数使得对任意恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗函数，依题意，对任意恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当最大B.使得成立的最小自然数C.D.中最小项为〖答案〗BD〖解析〗根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.10.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.11.已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（）A.若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B.平面平面C.若，则的最小值为D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗对于，如图：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则则，因为所以，故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确；对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图：由得，即，故为线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，如下图：易知：，则.在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确；对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图：连接并与交于点.当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当在线段（不含点）上时，如图：延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为，所以.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为___________(用数字作答)〖答案〗15〖解析〗由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为.13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________.〖答案〗〖解析〗设到直线的距离为，因为，可得，所以，所以，即且，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则，所以，则，联立方程组，解得，由抛物线的定义，可得.14.对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足,则a的值为________.〖答案〗或〖解析〗当时，，由可得，此时；当时，，或.若，则由可得，因，故无解；若，则由可得，此时，即；当时，，因区间的长度至少为，故，而显然不成立,故舍去；综上，a的值为或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).附参考数据与公式：则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解：（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：，由频率分布直方图得内，解得中位数(分).（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家，其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，可能取值为，,,,∴Y的分布列为：Y012P.（3）由题意得,,∴(家)，∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.解：（1）的定义域为，令，又，，当，即时，，此时在上单调递增，当，即时，令，解得，其中，当时，，所以在单调递增，在单调递减；当时，，故在单调递减，单调递增.综上：在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令，当时，恒成立，，若恒成立，符合题意，，当恒成立，令则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，当所以不存在满足条件的.综上所述：.法二：.令，则只需在单调递增，即恒成立，，令，则恒成立；又，①当时，在单调递增成立；②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；③当时，由得在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以，解得，综上，.17.如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.（1）求证：，并求三棱锥的体积；（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.（1）证明：设，连接，为底面圆的内接正三角形，为中点，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又平面，又平面，又平面，所以，又平面，平面平面平面；为中点，，即，又平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）解：为中点，又，为中点，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，；设平面的法向量，则，令，解得：，设直线与平面所成角为，，令，则，，当，即时，，，此时，，点到平面的距离.18.如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）设为椭圆上任意一点，由得则，且，可得，由题意可得：，解得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）因为点在椭圆上，则，即，结合在圆上一点处的切线方程猜测椭圆上的一点处的切线方程为，下面证明这个猜想：联立方程，消去y整理得，即，整理得，解得，可知直线与椭圆有且仅有一个交点，即切线的方程为，令得，令知：得，因为，则直线，①又因为，则直线，②由①②知：，点的轨迹方程为，即存在定点，使得为定值6，即的坐标为或.19.对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.（1）解：数列的通项公式为，对任意的，都有，取，则，所以是“数列”.（2）①解：若是“数列”，，且，则，对任意的，，由题意存在，使得，即，显然，所以，即，.所以是8的正约数，即，时，；时；时；时.综上，的可能值为.②证明：若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列公差为，则，可得，对任意，则，取，可得，所以数列是“数列”.山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由复数满足，可得，则，则复数对应的点为位于第四象限.故选：D.2.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，取为基底，则，因为点分别为的中点，,所以，所以.故选：B.3.设，则对任意实数，则是的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数与均为递增函数，所以在单调递增，因为函数为奇函数，所以在也为单调递增函数，又因为，所以函数在上单调递增，由，可得，所以，所以，故对任意实数，则是的充要条件.故选：C4.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，当时，的可能取值为，且，所以.故选：C.5.已知a，，若，，则b的可能值为（）A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由得，设，则，又，当时，，单调递增，当时，，单调递减．因为，所以．结合选项可知B正确，ACD错误.故选：B.6.设，当变化时的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在上，在上，设到准线的垂线交准线于点，轴于.，又为焦点与上点的距离，设，因为，所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，最小，所以，，令，显然在上单调递增，又，所以，所以，所以的最小值为.故选：C.7.在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.4.5〖答案〗A〖解析〗由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，所以焦距为，即，由椭圆定义可知长轴长为，即，所以到中点距离的最大值为短半轴长，所以中，，，所以，又，所以当垂直平面时四面体体积最大，最大值为，故选：A.8.设函数.若存在实数使得对任意恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗函数，依题意，对任意恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当最大B.使得成立的最小自然数C.D.中最小项为〖答案〗BD〖解析〗根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.10.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.11.已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（）A.若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B.平面平面C.若，则的最小值为D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗对于，如图：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则则，因为所以，故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确；对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图：由得，即，故为线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，如下图：易知：，则.在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确；对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图：连接并与交于点.当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当在线段（不含点）上时，如图：延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为，所以.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为___________(用数字作答)〖答案〗15〖解析〗由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为.13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________.〖答案〗〖解析〗设到直线的距离为，因为，可得，所以，所以，即且，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则，所以，则，联立方程组，解得，由抛物线的定义，可得.14.对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足,则a的值为________.〖答案〗或〖解析〗当时，，由可得，此时；当时，，或.若，则由可得，因，故无解；若，则由可得，此时，即；当时，，因区间的长度至少为，故，而显然不成立,故舍去；综上，a的值为或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).附参考数据与公式：则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解：（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：，由频率分布直方图得内，解得中位数(分).（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家，其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，可能取值为，,,,∴Y的分布列为：Y012P.（3）由题意得,,∴(家)，∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.解：（1）的定义域为，令，又，，当，即时，，此时在上单调递增，当，即时，令，解得，其中，当时，，所以在单调递增，在单调递减；当时，，故在单调递减，单调递增.综上：在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令，当时，恒成立，，若恒成立，符合题意，，当恒成立，令则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，当所以不存在满足条件的.综上所述：.法二：.令，则只需在单调递增，即恒成立，，令，则恒成立；又，①当时，在单调递增成立；②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；③当时，由得在单调递减，在单调递增，因为恒成立，所以，解得，综上，.17.如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且